3.3 : Pente d'une ligne
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Déterminer la pente d'une ligne
- Tracez une droite en fonction d'un point et de la pente
- Tracez une ligne en utilisant sa pente et son intersection
- Choisissez la méthode la plus pratique pour tracer une ligne
- Représenter graphiquement et interpréter les applications de la pente et de l'interception
- Utiliser les pentes pour identifier les lignes parallèles et perpendiculaires
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
Trouvez la pente d'une ligne
Lorsque vous tracez des équations linéaires, vous remarquerez peut-être que certaines lignes s'inclinent vers le haut lorsqu'elles vont de gauche à droite et que d'autres s'inclinent vers le bas. Certaines lignes sont très raides et d'autres plus plates.
En mathématiques, la mesure de la raideur d'une ligne s'appelle la pente de la droite.
Le concept de pente a de nombreuses applications dans le monde réel. Dans la construction, l'inclinaison d'un toit, l'inclinaison des tuyaux de plomberie et la raideur des escaliers sont autant d'applications de la pente. Et lorsque vous descendez une colline à ski ou en faisant du jogging, vous faites certainement l'expérience de la pente.
Nous pouvons attribuer une valeur numérique à la pente d'une droite en déterminant le rapport entre la montée et la course. L'augmentation est la variation de la distance verticale pendant que la course mesure la variation horizontale, comme le montre cette illustration. La pente est un taux de variation. Voir la figure.
La pente d'une ligne est\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
La hausse mesure la variation verticale et la course mesure la variation horizontale.
Pour déterminer la pente d'une droite, nous localisons deux points sur la droite dont les coordonnées sont des nombres entiers. Ensuite, nous dessinons un triangle droit où les deux points sont des sommets, un côté est horizontal et un côté est vertical.
Pour déterminer la pente de la ligne, nous mesurons la distance le long des côtés verticaux et horizontaux du triangle. La distance verticale s'appelle la montée et la distance horizontale est appelée course,
- Localisez deux points sur la ligne dont les coordonnées sont des nombres entiers.
- En commençant par un point, esquissez un triangle droit, en allant du premier point au deuxième point.
- Comptez la montée et la course sur les jambes du triangle.
- Prenez le rapport entre la montée et la course pour trouver la pente :\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
Déterminez la pente de la ligne affichée.
- Réponse
-
Localisez deux points du graphe dont les
coordonnées sont des nombres entiers.\((0,5)\)et\((3,3)\) À partir de\((0,5)\), esquissez un triangle droit
\((3,3)\) comme indiqué sur ce graphique.
Comptez la hausse : puisqu'elle baisse, elle est négative. La hausse est\(−2\). Comptez le nombre de courses. La course est de 3. Utilisez la formule de pente. \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) Remplacez les valeurs de la hausse et de la course. \(m=−23\) Simplifiez. \(m=−23\) La pente de la ligne est\(−23\). Donc y diminue de 2 unités lorsque x augmente de 3 unités.
Déterminez la pente de la ligne affichée.
- Réponse
-
\(-\frac{4}{3}\)
Déterminez la pente de la ligne affichée.
- Réponse
-
\(-\frac{3}{5}\)
Comment déterminer la pente des lignes horizontales et verticales ? Pour déterminer la pente de la ligne horizontale\(y=4\), nous pourrions tracer la ligne, y trouver deux points et compter la montée et la course. Voyons ce qui se passe lorsque nous faisons cela, comme le montre le graphique ci-dessous.
\( \begin{array} {ll} {\text{What is the rise?}} &{\text{The rise is }0.} \\ {\text{What is the run?}} &{\text{The run is }3.} \\ {\text{What is the slope?}} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m=\frac{0}{3}} \\ {} &{m=0} \\{}&{\text{The slope of the horizontal line } y=4 \text{ is }0.} \\ \end{array} \nonumber\)
Considérons également une ligne verticale, la ligne\(x=3\), comme indiqué sur le graphique.
\( \begin{array} {ll} {\text{What is the rise?}} &{\text{The rise is }0.} \\ {\text{What is the run?}} &{\text{The run is }3.} \\ {\text{What is the slope?}} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m=\frac{2}{0}} \\ \end{array} \nonumber\)
La pente n'est pas définie car la division par zéro n'est pas définie. Nous disons donc que la pente de la ligne verticale n'\(x=3\)est pas définie.
Toutes les lignes horizontales ont une pente de 0. Lorsque les coordonnées y sont identiques, la hausse est de 0.
La pente d'une ligne verticale n'est pas définie. Lorsque les coordonnées x d'une ligne sont toutes identiques, l'intervalle est égal à 0.
La pente d'une ligne horizontale,\(y=b\), est de 0.
La pente d'une ligne verticale,\(x=a\), n'est pas définie.
Déterminez la pente de chaque ligne : ⓐ\(x=8\) ⓑ \(y=−5\).
- Réponse
-
ⓐ\(x=8\)
Il s'agit d'une ligne verticale. Sa pente n'est pas définie.
ⓑ\(y=−5\)
Il s'agit d'une ligne horizontale. Il a une pente 0.
Déterminez la pente de la ligne :\(x=−4\).
- Réponse
-
indéfini
Déterminez la pente de la ligne :\(y=7\).
- Réponse
-
0
Parfois, nous aurons besoin de déterminer la pente d'une droite entre deux points alors que nous n'avons pas de graphique pour compter la hausse et la course. Nous pourrions tracer les points sur du papier quadrillé, puis compter la montée et la course, mais comme nous le verrons, il existe un moyen de trouver la pente sans représenter graphiquement. Avant d'y aller, nous devons introduire une notation algébrique.
Nous avons vu qu'une paire ordonnée (x, y) (x, y) donne les coordonnées d'un point. Mais lorsque nous travaillons avec des pentes, nous utilisons deux points. Comment utiliser le même symbole (x, y) (x, y) pour représenter deux points différents ? Les mathématiciens utilisent des indices pour distinguer les points.
\( \begin{array} {ll} {(x_1, y_1)} &{\text{read “} x \text{ sub } 1, \space y \text{ sub } 1 \text{”}} \\ {(x_2, y_2)} &{\text{read “} x \text{ sub } 2, \space y \text{ sub } 2 \text{”}} \\ \end{array} \nonumber\)
Nous utiliserons\((x_1,y_1)\) pour identifier le premier point et\((x_2,y_2)\) pour identifier le second point.
Si nous avions plus de deux points, nous pourrions utiliser\((x_3,y_3)\)\((x_4,y_4)\), et ainsi de suite.
Voyons comment la montée et la course sont liées aux coordonnées des deux points en examinant à nouveau la pente de la ligne entre les points\((2,3)\) et\((7,6)\), comme le montre ce graphique.
\( \begin{array} {ll} {\text{Since we have two points, we will use subscript notation.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}} \\ {} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text{On the graph, we counted the rise of 3 and the run of 5.}} &{m=\frac{3}{5}} \\ {\text{Notice that the rise of 3 can be found by subtracting the}} &{} \\ {y\text{-coordinates, 6 and 3, and the run of 5 can be found by}} &{} \\ {\text{subtracting the x-coordinates 7 and 2.}} &{} \\ {\text{We rewrite the rise and run by putting in the coordinates.}} &{m=\frac{6-3}{7-2}} \\ {} &{} \\ {\text{But 6 is } y_2 \text{, the y-coordinate of the second point and 3 is }y_1 \text{, the y-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So we can rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{7-2}} \\ {\text{Also 7 is the x-coordinate of the second point and 2 is the x-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So again we rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ \end{array} \nonumber\)
Nous avons montré qu'il\(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\) s'agit vraiment d'une autre version de\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\). Nous pouvons utiliser cette formule pour déterminer la pente d'une droite lorsque nous avons deux points sur la ligne.
La pente de la ligne entre deux points\((x_1,y_1)\) et\((x_2,y_2)\) est la suivante :
\(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\).
La pente est la suivante :
\[y\text{ of the second point minus }y\text{ of the first point} \nonumber\]\[\text{over} \nonumber\]\[x\text{ of the second point minus }x\text{ of the first point} \nonumber\]
Utilisez la formule de pente pour déterminer la pente de la ligne passant par les points\((−2,−3)\) and \((-7,4)\).
- Réponse
-
\( \begin{array} {ll} {\text{We’ll call (−2,−3) point #1and (−7,4) point #2.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}} \\ {\text{Use the slope formula.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ {\text{Substitute the values.}} &{} \\ {\text{y of the second point minus y of the first point}} &{} \\ {\text{x of the second point minus x of the first point}} &{m=\frac{4-(-3)}{-7-(-2)}} \\{\text{Simplify}}&{m=\frac{7}{-5}} \\ {} &{m=\frac{-7}{5}} \\ \end{array} \nonumber\)
Vérifions cette pente sur le graphique présenté.
\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\]\[m=\frac{7}{−5} \nonumber\]\[m=\frac{−7}{5} \nonumber\]
Utilisez la formule de pente pour déterminer la pente de la ligne passant par la paire de points :\((−3,4)\) et\((2,−1)\).
- Réponse
-
\(-1\)
Utilisez la formule de pente pour déterminer la pente de la ligne passant par la paire de points :\((−2,6)\) et\((−3,−4)\).
- Réponse
-
10
Tracez une droite en fonction d'un point et de la pente
Jusqu'à présent, dans ce chapitre, nous avons tracé des lignes en traçant des points, en utilisant des interceptions et en reconnaissant des lignes horizontales et verticales.
Nous pouvons également tracer une ligne lorsque nous connaissons un point et la pente de la droite. Nous allons commencer par tracer le point, puis utiliser la définition de la pente pour dessiner le graphique de la droite.
Tracez la ligne passant par le point\((1,−1)\) dont la pente est\(m=\frac{3}{4}\).
- Réponse
-
Vous pouvez vérifier votre travail en trouvant un troisième point. Comme la pente est\(m=34\), elle peut également être écrite de la manière suivante\(m=\frac{−3}{−4}\) (le négatif divisé par le négatif est positif !). Retournez à\((1,−1)\) et comptez la hausse\(−3\), et la course,\(−4\).
Tracez la ligne passant par le point\((2,−2\) avec la pente\(m=\frac{4}{3}\).
- Réponse
-
Tracez la ligne passant par le point\((−2,3)\) with the slope \(m=\frac{1}{4}\).
- Réponse
-
- Tracez le point donné.
- Utilisez la formule\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) de pente pour identifier la montée et la course.
- À partir du point donné, comptez la montée et la course pour marquer le deuxième point.
- Reliez les points par une ligne.
Tracez une ligne en utilisant sa pente et son intersection
Nous avons représenté graphiquement des équations linéaires en traçant des points, en utilisant des points d'intersection, en reconnaissant les lignes horizontales et verticales et en utilisant un point et la pente de la droite. Une fois que nous aurons vu comment une équation sous forme pente-intersection et son graphe sont liés, nous aurons une autre méthode que nous pourrons utiliser pour tracer des lignes.
Voir la figure. Examinons le graphique de l'équation\(y=12x+3\) et déterminons sa pente et son intersection y.
Les lignes rouges du graphique nous indiquent que la hausse est de 1 et que la course est de 2. Substituer dans la formule de pente :
\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\]\[m=\frac{1}{2} \nonumber\]
L'intersection y est\((0,3)\).
Regardez l'équation de cette droite.
Regardez la pente et l'intersection en y.
Lorsqu'une équation linéaire est résolue pour y, le coefficient du terme x est la pente et le terme constant est la coordonnée y de l'intersection y. Nous disons que l'équation\(y=12x+3\) est sous forme de pente et d'intersection. Parfois, la forme pente-intersection est appelée « forme y ».
La forme pente-intersection d'une équation d'une droite avec une pente m et une intersection y,\((0,b)\) est\(y=mx+b\).
Entraînons-nous à trouver les valeurs de la pente et de l'intersection y à partir de l'équation d'une droite.
Identifiez la pente et l'intersection y de la droite à partir de l'équation :
ⓐ\(y=−\frac{4}{7}x−2\) ⓑ\(x+3y=9\)
- Réponse
-
ⓐ Nous comparons notre équation à la forme pente-intersection de l'équation.
Écrivez la forme pente-intersection de l'équation de la droite. 
Écrivez l'équation de la droite. 
Identifiez la pente. 
Identifiez l'intersection y. 
ⓑ Lorsque l'équation d'une droite n'est pas donnée sous forme pente-intersection, notre première étape consiste à résoudre l'équation de y.
Résolvez pour y. x+3 y=9 x+3 y=9 Soustrayez x de chaque côté. 
Divisez les deux côtés par 3. 
Simplifiez. 
Écrivez la forme pente-intersection de l'équation de la droite. 
Écrivez l'équation de la droite. 
Identifiez la pente. 
Identifiez l'intersection y. 
Identifiez la pente et l'intersection y à partir de l'équation de la droite.
ⓐ\(y=\frac{2}{5}x−1\) ⓑ\(x+4y=8\)
- Réponse
-
ⓐ\(m=\frac{2}{5}\) ;\((0,−1)\)
ⓑ\(m=−\frac{1}{4}\) ;\((0,2)\)
Identifiez la pente et l'intersection y à partir de l'équation de la droite.
ⓐ\(y=−\frac{4}{3} x+1\) ⓑ\(3x+2y=12\)
- Réponse
-
ⓐ\(m=−\frac{4}{3}\) ;\((0,1)\)
ⓑ\(m=−\frac{3}{2}\) ;\((0,6)\)
Nous avons tracé une ligne à l'aide de la pente et d'un point. Maintenant que nous savons comment déterminer la pente et l'intersection y d'une droite à partir de son équation, nous pouvons utiliser l'intersection y comme point, puis compter la pente à partir de là.
Tracez la droite de l'équation\(y=−x+4\) using its slope and y -intercept.
- Réponse
-
\(y=mx+b\) L'équation se présente sous la forme pente-intersection. \(y=−x+4\) Identifiez la pente et l'intersection y. \(m=−1\)
y -intercept est\((0,4)\)Tracez l'intersection y. Voir le graphique. Identifiez la hausse au fil du temps. \(m=−11\) Comptez la montée et la course pour marquer le deuxième point. lever\(-1\), courir\(1\)
Tracez la ligne comme indiqué sur le graphique.
Tracez la droite de l'équation\(y=−x−3\) en utilisant sa pente et son intersection y.
- Réponse
-
Tracez la droite de l'équation\(y=−x−1\) en utilisant sa pente et son intersection y.
- Réponse
-
Maintenant que nous avons tracé des lignes à l'aide de la pente et de l'intersection y, résumons toutes les méthodes que nous avons utilisées pour tracer des lignes.
Choisissez la méthode la plus pratique pour tracer une ligne
Maintenant que nous avons vu plusieurs méthodes que nous pouvons utiliser pour tracer des lignes, comment savoir quelle méthode utiliser pour une équation donnée ?
Bien que nous puissions tracer des points, utiliser la forme pente-intersection ou trouver les points d'intersection pour n'importe quelle équation, si nous trouvons le moyen le plus pratique de représenter graphiquement un certain type d'équation, notre travail sera plus facile.
En général, tracer des points n'est pas la méthode la plus efficace pour tracer une ligne. Examinons quelques modèles qui vous aideront à déterminer la méthode la plus pratique pour tracer une ligne.
Voici cinq équations que nous avons tracées dans ce chapitre, ainsi que la méthode que nous avons utilisée pour représenter graphiquement chacune d'elles.
\[ \begin{array} {lll} {} &{\textbf{Equation}} &{\textbf{Method}} \\ {\text{#1}} &{x=2} &{\text{Vertical line}} \\ {\text{#2}} &{y=−1} &{\text{Horizontal line}} \\ {\text{#3}} &{−x+2y=6} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#4}} &{4x−3y=12} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#5}} &{y=−x+4} &{\text{Slope–intercept}} \\ \end{array} \nonumber\]
Les équations #1 et #2 n'ont chacune qu'une seule variable. N'oubliez pas que dans les équations de cette forme, la valeur de cette variable est constante ; elle ne dépend pas de la valeur de l'autre variable. Les équations de cette forme comportent des graphes qui sont des lignes verticales ou horizontales.
Dans les équations #3 et #4, x et y sont tous deux du même côté de l'équation. Ces deux équations sont de la forme Ax+By=C.Ax+By=C. Nous avons substitué y=0y=0 pour trouver l'intersection x et x=0x=0 pour trouver l'intersection y, puis nous avons trouvé un troisième point en choisissant une autre valeur pour x ou y.
L'équation #5 est écrite sous forme pente-intersection. Après avoir identifié la pente et l'intersection y à partir de l'équation, nous les avons utilisées pour tracer la droite.
Cela conduit à la stratégie suivante.
Réfléchissez à la forme de l'équation.
- S'il ne comporte qu'une seule variable, il s'agit d'une ligne verticale ou horizontale.
- \(x=a\)est une ligne verticale passant par l'axe x en a.
- \(y=b\)est une ligne horizontale passant par l'axe y en b.
- Si y est isolé d'un côté de l'équation, dans le formulaire\(y=mx+b\), tracez un graphique en utilisant la pente et l'intersection y.
- Identifiez la pente et l'intersection y, puis tracez un graphique.
- Si l'équation est de la forme\(Ax+By=C\), trouvez les points d'intersection.
- Trouvez les points d'intersection x et y, un troisième point, puis tracez un graphique.
Déterminez la méthode la plus pratique pour représenter graphiquement chaque ligne :
ⓐ\(y=5\) ⓑ\(4x−5y=20\) ⓒ\(x=−3\) ⓓ\(y=−\frac{5}{9}x+8\)
- Réponse
-
ⓐ\(y=5\)
Cette équation ne comporte qu'une seule variable, y. Son graphique est une ligne horizontale traversant l'axe y en\(5\).
ⓑ\(4x−5y=20\)
Cette équation est de la forme\(Ax+By=C\). Le moyen le plus simple de le représenter graphiquement sera de trouver les interceptions et un point de plus.
ⓒ\(x=−3\)
Il n'y a qu'une seule variable, x. Le graphique est une ligne verticale traversant l'axe x en\(−3\).
ⓓ\(y=−\frac{5}{9}x+8\)
Comme cette équation est sous\(y=mx+b\) forme, il sera plus facile de tracer cette droite en utilisant la pente et les interceptions y.
Déterminez la méthode la plus pratique pour représenter graphiquement chaque ligne :
ⓐ\(3x+2y=12\) ⓑ\(y=4\) ⓒ\(y=\frac{1}{5}x−4\) ⓓ\(x=−7\).
- Réponse
-
ⓐ intercepte ⓑ ligne horizontale ⓒ intersection inclinée ⓓ ligne verticale
Déterminez la méthode la plus pratique pour représenter graphiquement chaque ligne :
ⓐ\(x=6\) ⓑ\(y=−\frac{3}{4}x+1\) ⓒ\(y=−8\) ⓓ\(4x−3y=−1\).
- Réponse
-
ⓐ ligne verticale ⓑ intersection en pente ⓒ ligne horizontale
ⓓ interceptions
Applications graphiques et interprétatives de Slope-Intercept
De nombreuses applications du monde réel sont modélisées par des équations linéaires. Nous allons examiner quelques applications ici afin que vous puissiez voir comment les équations écrites sous forme d'interception de pente sont liées à des situations réelles.
Généralement, lorsqu'un modèle d'équation linéaire utilise des données du monde réel, différentes lettres sont utilisées pour les variables, au lieu d'utiliser uniquement x et y. Les noms des variables nous rappellent les quantités mesurées.
De plus, nous devrons souvent étendre les axes de notre système de coordonnées rectangulaires à des nombres positifs et négatifs plus grands pour intégrer les données de l'application.
L'équation\(F=\frac{9}{5}C+32\) est utilisée pour convertir les températures, C, sur l'échelle Celsius en températures, F, sur l'échelle Fahrenheit.
ⓐ Trouvez la température Fahrenheit pour une température Celsius de 0.
ⓑ Trouvez la température Fahrenheit pour une température Celsius de 20.
ⓒ Interprétez la pente et l'intersection F de l'équation.
ⓓ Tracez l'équation.
- Réponse
-
ⓐ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 0.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=0.}} &{F=\frac{9}{5}(0)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=32} \\ \end{array} \nonumber\)
ⓑ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 20.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=20.}} &{F=\frac{9}{5}(20)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=36+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=68} \\ \end{array} \nonumber\)
ⓒ
Interprétez la pente et l'intersection F de l'équation.
Même si cette équation utilise F et C, elle est toujours sous forme d'interception de pente.
La pente,\(\frac{9}{5}\), signifie que la température Fahrenheit (F) augmente de 9 degrés lorsque la température Celsius (C) augmente de 5 degrés.
L'intersection F signifie que lorsque la température est\(0°\) sur l'échelle Celsius, elle est\(32°\) sur l'échelle Fahrenheit.
ⓓ Tracez l'équation.
Nous devrons utiliser une échelle plus grande que d'habitude. Commencez par l'intersection F\((0,32)\), puis comptez la hausse de 9 et la série de 5 pour obtenir un deuxième point, comme indiqué sur le graphique.
L'équation\(h=2s+50\) is used to estimate a woman’s height in inches, h, basée sur sa pointure, s.
ⓐ Estimez la taille d'un enfant qui porte une pointure 0 pour femme.
ⓑ Estimez la taille d'une femme avec une pointure 8.
ⓒ Interprétez la pente et l'intersection h de l'équation.
ⓓ Tracez l'équation.
- Réponse
-
ⓐ 50 pouces
ⓑ 66 pouces
ⓒ La pente, 2, signifie que la hauteur, h, augmente de 2 pouces lorsque la pointure de la chaussure, s, augmente de 1. L'intersection h signifie que lorsque la pointure de la chaussure est 0, la hauteur est de 50 pouces.
ⓓ
L'équation\(T=\frac{1}{4}n+40\) is used to estimate the temperature in degrees Fahrenheit, T, basée sur le nombre de gazouillis de grillon, n, en une minute.
ⓐ Estimez la température lorsqu'il n'y a pas de gazouillis.
ⓑ Estimez la température lorsque le nombre de gazouillis en une minute est de 100.
ⓒ Interprétez la pente et l'intersection en T de l'équation.
ⓓ Tracez l'équation.
- Réponse
-
ⓐ 40 degrés
ⓑ 65 degrés
ⓒ La pente,\(\frac{1}{4}\), signifie que la température Fahrenheit (F) augmente de 1 degré lorsque le nombre de chirps, n, augmente de 4. L'intersection T signifie que lorsque le nombre de chirps est de 0, la température est de 40°.
ⓓ
Le coût de fonctionnement de certains types d'entreprises comporte deux éléments : un coût fixe et un coût variable. Le coût fixe est toujours le même quel que soit le nombre d'unités produites. Il s'agit du coût du loyer, de l'assurance, de l'équipement, de la publicité et des autres éléments qui doivent être payés régulièrement. Le coût variable dépend du nombre d'unités produites. C'est pour le matériel et la main-d'œuvre nécessaires à la production de chaque article.
Sam conduit un fourgon de livraison. L'équation\(C=0.5m+60\) modélise la relation entre son coût hebdomadaire, C, en dollars et le nombre de miles, m, qu'il parcourt.
ⓐ Trouvez le coût d'une semaine pour Sam lorsqu'il parcourt 0 miles.
ⓑ Trouvez le coût pour une semaine lorsqu'il parcourt 250 miles.
ⓒ Interprétez la pente et l'intersection C de l'équation.
ⓓ Tracez l'équation.
- Réponse
-
ⓐ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 0 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=0.}} &{C=0.5(0)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=60} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{60 when he drives 0 miles.}} \\ \end{array} \nonumber \)
ⓑ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 250 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=250.}} &{C=0.5(250)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=185} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{185 when he drives 250 miles.}} \\ \end{array} \nonumber \)
ⓒ Interprétez la pente et l'intersection C de l'équation.
La pente, 0,5, signifie que le coût hebdomadaire, C, augmente de 0,50$ lorsque le nombre de miles parcourus, n, augmente de 1.
Le C-intercept signifie que lorsque le nombre de miles parcourus est de 0, le coût hebdomadaire est de 60$.
ⓓ Tracez l'équation.
Nous devrons utiliser une échelle plus grande que d'habitude. Commencez par l'intersection \((0,60)\)C.Pour compter la pente\(m= 0.5\), nous la réécrivons sous la forme d'une fraction équivalente qui facilitera notre représentation graphique.
\( \begin{array} {ll} {} &{m=0.5} \\ {\text{Rewrite as a fraction.}} &{m=\frac{0.5}{1}} \\ {\text{Multiply numerator and}} &{} \\ {\text{denominator by 100}} &{m=\frac{0.5(100)}{1(100)}} \\ {\text{Simplify.}} &{m=\frac{50}{100}} \\ \end{array} \nonumber \)
Donc, pour représenter graphiquement le point suivant, montez de 50 à partir de l'intersection de 60, puis vers la droite 100. Le deuxième point sera\((100, 110)\).
Stella possède une entreprise à domicile qui vend des pizzas gastronomiques. L'équation\(C=4p+25\) modélise la relation entre son coût hebdomadaire, C, en dollars et le nombre de pizzas, p, qu'elle vend.
ⓐ Trouvez le coût d'une semaine pour Stella lorsqu'elle ne vend pas de pizzas.
ⓑ Trouvez le coût pour une semaine lorsqu'elle vend 15 pizzas.
ⓒ Interprétez la pente et l'intersection C de l'équation.
ⓓ Tracez l'équation.
- Réponse
-
ⓐ 25$
ⓑ 85$
ⓒ La pente, 4, signifie que le coût hebdomadaire, C, augmente de 4$ lorsque le nombre de pizzas vendues, p, augmente de 1. L'intercept C signifie que lorsque le nombre de pizzas vendues est de 0, le coût hebdomadaire est de 25$.
ⓓ
Loreen a une entreprise de calligraphie. L'équation\(C=1.8n+35\) modélise la relation entre son coût hebdomadaire, C, en dollars et le nombre d'invitations de mariage, n, qu'elle écrit.
ⓐ Trouvez le coût d'une semaine pour Loreen lorsqu'elle n'écrit aucune invitation.
ⓑ Trouvez le coût pour une semaine lorsqu'elle rédige 75 invitations.
ⓒ Interprétez la pente et l'intersection C de l'équation.
ⓓ Tracez l'équation.
- Réponse
-
ⓐ 35$
ⓑ 170$
ⓒ La pente,\(1.8\), signifie que le coût hebdomadaire, C, augmente\($1.80\) lorsque le nombre d'invitations, n, augmente de 1.
Le C -intercept signifie que lorsque le nombre d'invitations est de 0, le coût hebdomadaire est de 35$.
ⓓ
Utiliser les pentes pour identifier les lignes parallèles et perpendiculaires
Deux lignes qui ont la même pente sont appelées lignes parallèles. Les lignes parallèles ont la même pente et ne se croisent jamais.
Nous le disons de manière plus formelle en termes de système de coordonnées rectangulaires. Deux lignes qui ont la même pente et des interceptions y différentes sont appelées lignes parallèles. Voir la figure.
Vérifiez que les deux lignes ont la même pente et des interceptions y différentes.\(m=\frac{2}{5}\)
Qu'en est-il des lignes verticales ? La pente d'une ligne verticale n'étant pas définie, les lignes verticales ne correspondent pas à la définition ci-dessus. Nous disons que les lignes verticales qui ont des interceptions x différentes sont parallèles, comme les droites montrées sur ce graphique.
Les lignes parallèles sont des lignes situées dans le même plan qui ne se croisent pas.
- Les lignes parallèles ont la même pente et des intersections y différentes.
- Si m1m1 et m2m2 sont les pentes de deux lignes parallèles, alors m1 = m2.m1 = m2.
- Les lignes verticales parallèles ont des points d'intersection x différents
Puisque les droites parallèles ont la même pente et des interceptions y différentes, il suffit maintenant de regarder la forme pente-intersection des équations des droites et de décider si les droites sont parallèles.
Utilisez les pentes et les interceptions y pour déterminer si les lignes sont parallèles :
ⓐ\(3x−2y=6\) et\(y=\frac{3}{2}x+1\) ⓑ\(y=2x−3\) et\(−6x+3y=−9\).
- Réponse
-
ⓐ
\( \begin{array} {llll} {} &{3x−2y=6} &{\text{and}} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{−2y=−3x+6} &{} &{} \\ {\text{Solve the first equation for y.}} &{\frac{-2y}{-2}=\frac{-3x+6}{-2}} &{} &{} \\ {\text{The equation is now in slope–intercept form.}} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{} \\ {\text{The equation of the second line is already}} &{} &{} &{} \\ {\text{in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {Identify the slope andy-intercept of both lines.} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=\frac{3}{2}} &{} &{y=\frac{3}{2}} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,1)} \\ \end{array} \nonumber\)
Les lignes ont la même pente et des intersections y différentes, elles sont donc parallèles.
Vous pouvez représenter graphiquement les lignes pour vérifier si elles sont parallèles.
ⓑ
\( \begin{array} {llll} {} &{y=2x−3} &{\text{and}} &{−6x+3y=−9} \\ {\text{The first equation is already in slope–intercept form.}} &{y=2x−3} &{} &{} \\ {} &{} &{} &{−6x+3y=−9} \\ {} &{} &{} &{3y=6x−9} \\ {\text{Solve the second equation for y.}} &{} &{} &{\frac{3y}{3}=\frac{6x−9}{3}} \\ {} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{The second equation is now in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=2x−3} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{Identify the slope andy-intercept of both lines.}} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=2} &{} &{m=2} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,-3)} \\ \end{array} \nonumber\)
Les lignes ont la même pente, mais elles ont également les mêmes interceptions y. Leurs équations représentent la même droite et nous disons que les droites coïncident. Ils ne sont pas parallèles ; ils forment la même ligne.
Utilisez les pentes et les intersections y pour déterminer si les lignes sont parallèles :
ⓐ\(2x+5y=5\) et\(y=−\frac{2}{5}x−4\) ⓑ\(y=−\frac{1}{2}x−1\) et\(x+2y=−2\).
- Réponse
-
ⓐ parallèle ⓑ pas parallèle ; même ligne
Utilisez les pentes et les intersections y pour déterminer si les lignes sont parallèles :
ⓐ\(4x−3y=6\) et\(y=\frac{4}{3}x−1\) ⓑ\(y=\frac{3}{4}x−3\) et\(3x−4y=12\).
- Réponse
-
ⓐ parallèle ⓑ pas parallèle ; même ligne
Utilisez les pentes et les intersections y pour déterminer si les lignes sont parallèles :
ⓐ\(y=−4\) et\(y=3\) ⓑ\(x=−2\) et\(x=−5\).
- Réponse
-
ⓐ\(y=−4\) et\(y=3\)
Nous reconnaissons tout de suite à partir des équations qu'il s'agit de lignes horizontales, et nous savons donc que leurs pentes sont toutes deux nulles.
Puisque les lignes horizontales croisent l'axe y en y=−4y=−4 et en y=3, y=3, nous savons que les interceptions y sont (0, −4) (0, −4) et (0,3). (0,3).
Les lignes ont la même pente et des intersections y différentes et sont donc parallèles.ⓑ\(x=−2\) et\(x=−5\)
Nous reconnaissons tout de suite à partir des équations qu'il s'agit de lignes verticales, et nous savons donc que leurs pentes ne sont pas définies.
Puisque les lignes verticales croisent l'axe x en\(x=−2\) et\(x=−5\), nous savons que les interceptions y sont\((−2,0)\) et\((−5,0)\).
Les lignes sont verticales et ont des interceptions x différentes, elles sont donc parallèles.
Utilisez les pentes et les intersections y pour déterminer si les lignes sont parallèles :
ⓐ\(y=8\) et\(y=−6\) ⓑ\(x=1\) et\(x=−5\).
- Réponse
-
ⓐ parallèle ⓑ parallèle
Utilisez les pentes et les intersections y pour déterminer si les lignes sont parallèles :
ⓐ\(y=1\) et\(y=−5\) ⓑ\(x=8\) et\(x=−6\).
- Réponse
-
ⓐ parallèle ⓑ parallèle
Regardons les lignes dont les équations sont\(y=\frac{1}{4}x−1\) et\(y=−4x+2\), illustrées sur la figure.
Ces lignes se situent dans le même plan et se croisent à angle droit. Nous appelons ces lignes perpendiculaires.
Si nous examinons la pente de la première ligne et la pente de la deuxième ligne\(m_2=−4\), nous pouvons voir que ce sont des réciproques négatifs l'un de l'autre.\(m_1=\frac{1}{4}\) Si on les multiplie, leur produit l'est\(−1\).
\[\begin{array} {l} {m_1·m_2} \\ {14(−4)} \\ {−1} \\ \end{array} \nonumber\]
Cela est toujours vrai pour les lignes perpendiculaires et nous amène à cette définition.
Les lignes perpendiculaires sont des lignes situées dans le même plan et qui forment un angle droit.
- Si\(m_1\) et\(m_2\) sont les pentes de deux droites perpendiculaires, alors :
- leurs pentes sont réciproques négatives l'une de l'autre,\(m_1=−\frac{1}{m_2}\).
- le produit de leurs pentes est\(−1\),\(m_1·m_2=−1\).
- Une ligne verticale et une ligne horizontale sont toujours perpendiculaires l'une à l'autre
Nous avons pu examiner la forme pente-intersection des équations linéaires et déterminer si les droites étaient parallèles ou non. Nous pouvons faire de même pour les lignes perpendiculaires.
Nous trouvons la forme pente-intersection de l'équation, puis nous voyons si les pentes sont opposées et réciproques. Si le produit des pentes est égal à\(−1\), les lignes sont perpendiculaires.
Utilisez les pentes pour déterminer si les lignes sont perpendiculaires :
ⓐ\(y=−5x−4\) et\(x−5y=5\) ⓑ\(7x+2y=3\) et\(2x+7y=5\)
- Réponse
-
ⓐ
La première équation est sous forme de pente et d'interception. Résolvez la deuxième équation pour .Identifiez la pente de chaque ligne. Y=−5X−4YYM1=−5X−4=MX+B=−5X−5Y−5Y−5Y−5Y=5=−X+5=−X+5−5=15X−1YYM2=15X−1=MX+B=15X−1YYM2=MX+B=15X−1YYM2=MX+B=15X−1YYM2=MX+B=15X−1YYM2=La première équation est sous forme pente-interception. Y=−5x−4Résolvez la deuxième équation pour y.x−5y=5−5y=−5y=−x+5−5y−5=−x+5 −5y=15x−1Identifiez la pente de chaque ligne. y=−5x−4y=mx+bm1=−5y=15x−1y=mx+bm2=15
Les pentes sont des réciproques négatives les unes des autres, de sorte que les droites sont perpendiculaires. On vérifie en multipliant les pentes, puisque −5 (15) =−1, −5 (15) =−1, ça vérifie.
ⓑ
Résolvez les équations pour. Identifiez la pente de chaque ligne. 7X+2Y2Y2Y2Y=3=−7X+3=−7X+32=−72x+32YM1=MX+B=−7Y7Y7Y7Y7Y=5=−2x+5=−2x+57=−27x+57YM1=MX+B=−27Résoudre les équations pour Y.7x+2Y=32Y=−7x+32Y2=−7x+32Y=−72x+322x+7Y=57Y=−2x+57Y7=−2x+57Y=−27x+57Identifier la pente de chaque ligne. y=mx+bm1=−72y=mx+bm1=−27
Les pentes sont réciproques, mais elles ont le même signe. Comme ce ne sont pas des réciproques négatifs, les lignes ne sont pas perpendiculaires.
Utilisez les pentes pour déterminer si les lignes sont perpendiculaires :
ⓐ\(y=−3x+2\) et\(x−3y=4\) ⓑ\(5x+4y=1\) et\(4x+5y=3\).
- Réponse
-
ⓐ perpendiculaire ⓑ non perpendiculaire
Utilisez les pentes pour déterminer si les lignes sont perpendiculaires :
ⓐ\(y=2x−5\) et\(x+2y=−6\) ⓑ\(2x−9y=3\) et\(9x−2y=1\).
- Réponse
-
ⓐ perpendiculaire ⓑ non perpendiculaire
Concepts clés
- Pente d'une ligne
- La pente d'une ligne est\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
- La hausse mesure la variation verticale et la course mesure la variation horizontale.
- Comment trouver la pente d'une ligne à partir de son graphique en utilisant\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
- Localisez deux points sur la ligne dont les coordonnées sont des nombres entiers.
- En commençant par un point, esquissez un triangle droit, en allant du premier point au deuxième point.
- Comptez la montée et la course sur les jambes du triangle.
- Prenez le rapport entre la montée et la course pour trouver la pente :\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
- Pente d'une droite entre deux points.
- La pente de la ligne entre deux points\((x_1,y_1)\) et\((x_2,y_2)\) est la suivante :
\[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\].
- La pente de la ligne entre deux points\((x_1,y_1)\) et\((x_2,y_2)\) est la suivante :
- Comment tracer une ligne en fonction d'un point et de la pente.
- Tracez le point donné.
- Utilisez la formule\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) de pente pour identifier la montée et la course.
- À partir du point donné, comptez la montée et la course pour marquer le deuxième point.
- Reliez les points par une ligne.
- Forme d'intersection de pente d'une équation d'une droite
- La forme pente-intersection d'une équation d'une droite avec une pente m et une intersection y,\((0,b)\) est\(y=mx+b\)
- Lignes parallèles
- Les lignes parallèles sont des lignes situées dans le même plan qui ne se croisent pas.
Les lignes parallèles ont la même pente et des intersections y différentes.
Si\(m_1\) et\(m_2\) sont les pentes de deux lignes parallèles alors\(m_1=m_2\).
Les lignes verticales parallèles ont des interceptions x différentes.
- Les lignes parallèles sont des lignes situées dans le même plan qui ne se croisent pas.
- Lignes perpendiculaires
- Les lignes perpendiculaires sont des lignes dans le même plan qui forment un angle droit.
- Si\(m_1\) et\(m_2\) sont les pentes de deux droites perpendiculaires, alors :
leurs pentes sont réciproques négatives l'une de l'autre,\(m_1=−\frac{1}{m_2}\).
le produit de leurs pentes est\(−1\),\(m_1·m_2=−1\). - Une ligne verticale et une ligne horizontale sont toujours perpendiculaires l'une à l'autre.
Lexique
- lignes parallèles
- Les lignes parallèles sont des lignes situées dans le même plan qui ne se croisent pas.
- lignes perpendiculaires
- Les lignes perpendiculaires sont des lignes dans le même plan qui forment un angle droit.