3.2E : Exercices

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La pratique rend la perfection

Tracer des points dans un système de coordonnées rectangulaires

Dans les exercices suivants, tracez chaque point dans un système de coordonnées rectangulaires et identifiez le quadrant dans lequel se trouve le point.

1. a.$(−4,2)$ b.$(−1,−2)$ c.$(3,−5)$ d.$(−3,0)$
e.$(53,2)$

Réponse: $Cette figure montre les points tracés sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Le point marqué a se trouve à 4 unités à gauche de l'origine et à 2 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué b se trouve à 1 unité à gauche de l'origine et à 2 unités en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant III. Le point marqué c se trouve à 3 unités à droite de l'origine et à 5 unités en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant IV. Le point marqué d se trouve à 3 unités à gauche de l'origine et à 5 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué e se trouve à 1 unité et demie à droite de l'origine et à 2 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant I.$

2. a.$(−2,−3)$ b.$(3,−3)$ c.$(−4,1)$ d.$(4,−1)$
e.$(32,1)$

3. a.$(3,−1)$ b.$(−3,1)$ c.$(−2,0)$ d.$(−4,−3)$
e.$(1,145)$

Réponse: $Cette figure montre les points tracés sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Le point marqué a se trouve à 3 unités à droite de l'origine et à 1 unité en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant IV. Le point marqué b se trouve à 3 unités à gauche de l'origine et à 1 unité au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué c se trouve à 2 unités à gauche de l'origine et à 2 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué d se trouve à 4 unités à gauche de l'origine et à 3 unités en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant III. Le point marqué e se trouve à 1 unité à droite de l'origine et aux 3 et 4 cinquièmes unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant I.$

4. a.$(−1,1)$ b.$(−2,−1)$ c.$(2,0)$ d.$(1,−4)$
e.$(3,72)$

Dans les exercices suivants, pour chaque paire ordonnée, décidez

a. La paire ordonnée est-elle une solution à l'équation ? b. Le point est-il en jeu ?

5. $y=x+2$;

A :$(0,2)$ ; B :$(1,2)$ ; C :$(−1,1)$ ; D :$(−3,−1)$.

$Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 3, négatif 1), (négatif 2, 0), (négatif 1, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4) et (3, 5).$

Réponse: a. A : oui, B : non, C : oui, D : oui b. A : oui, B : non, C : oui, D : oui

6. $y=x−4$;

A :$(0,−4)$ ; B :$(3,−1)$ ; C :$(2,2)$ ; D :$(1,−5)$.

$Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 3, négatif 7), (négatif 2, négatif 6), (négatif 1, négatif 5), (0, négatif 4), (1, négatif 3), (2, négatif 2) et (3, négatif 1).$

7. $y=12x−3$;
A :$(0,−3)$ ; B :$(2,−2)$ ; C :$(−2,−4)$ ; D :$(4,1)$.

$Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 4, négatif 5), (négatif 2, négatif 4), (0, négatif 3), (2, négatif 2), (4, négatif 1) et (6, 0).$

Réponse: a. A : oui, B : oui, C : oui, D : non b. A : oui, B : oui, C : oui, D : non

8. $y=13x+2$;
A :$(0,2)$ ; B :$(3,3)$ ; C :$(−3,2)$ ; D :$(−6,0)$.

$Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 6, 0), (négatif 3, 1), (0, 2), (3, 3), (6, 4) et (9, 5).$

Tracez une équation linéaire en traçant des points

Dans les exercices suivants, tracez un graphique en traçant des points.

9. $y=x+2$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 3, négatif 1), (négatif 2, 0), (négatif 1, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4) et (3, 5).$

10. $y=x−3$

11. $y=3x−1$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 3, négatif 10), (négatif 2, négatif 7), (négatif 1, négatif 4), (0, négatif 1), (1, 2), (2, 5), (3, 8) et (4, 11).$

12. $y=−2x+2$

13. $y=−x−3$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 3, 0), (négatif 2, négatif 1), (négatif 1, négatif 2), (0, négatif 3), (1, négatif 4), (2, négatif 5), (3, négatif 6) et (4, négatif 7).$

14. $y=−x−2$

15. $y=2x$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 3, négatif 6), (négatif 2, négatif 4), (négatif 1, négatif 2), (0, 0), (1, 2), (2, 4) et (3, 6).$

16. $y=−2x$

17. $y=12x+2$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 6, négatif 2), (négatif 4, 0), (négatif 2, 1), (0, 2), (2, 3), (4, 4) et (6, 5).$

18. $y=13x−1$

19. $y=43x−5$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (moins 3, moins 9), (0, moins 5), (3, moins 1), (6, 3) et (9, 7).$

20. $y=32x−3$

21. $y=−25x+1$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 10, 5), (négatif 5, 3), (0, 1), (5, négatif 1) et (10, négatif 3).$

22. $y=−45x−1$

23. $y=−32x+2$

Réponse: $Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 4, 8), (négatif 2, 5), (0, 2), (2, négatif 1), (4, négatif 4) et (6, négatif 7).$

24. $y=−53x+4$

Tracez des lignes verticales et horizontales

Dans les exercices suivants, tracez chaque équation.

25. a.$x=4$ b.$y=3$

Réponse

un.

$Cette figure montre une ligne droite verticale tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (4, moins 1), (4, 0) et (4, 1).$

$Cette figure montre une ligne droite horizontale tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (moins 1, 3), (0, 3) et (1, 3).$

26. a.$x=3$ b.$y=1$

27. a.$x=−2$ b.$y=−5$

Réponse

un.

$Cette figure montre une ligne droite verticale tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 2, négatif 1), (négatif 2, 0) et (négatif 2, 1).$

$Cette figure montre une ligne droite horizontale tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (moins 1, moins 5), (0, moins 5) et (1, moins 5).$

28. a.$x=−5$ b.$y=−2$

Dans les exercices suivants, tracez chaque paire d'équations dans le même système de coordonnées rectangulaires.

29. $y=2x$et$y=2$

Réponse: $La figure montre les graphes d'une ligne droite horizontale et d'une ligne droite inclinée sur le même plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne horizontale passe par les points (0, 2), (1, 2) et (2, 2). La ligne inclinée passe par les points (0, 0), (1, 2) et (2, 4).$

30. $y=5x$et$y=5$

31. $y=−12x$et$y=−12$

Réponse: $La figure montre les graphes d'une ligne droite horizontale et d'une ligne droite inclinée sur le même plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne horizontale passe par les points (0, moins 1 divisé 2), (1, moins 1 divisé 2) et (2, moins 1 divisé 2). La ligne inclinée passe par les points (0, 0), (1, moins 1 divisé par 2) et (2, moins 1).$

32. $y=−13x$et$y=−13$

Trouvez les interceptions x et y

Dans les exercices suivants, trouvez les points d'intersection x et y sur chaque graphique.

33.
$La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 6, 9), (négatif 3, 6), (0, 3), (3, 0) et (6, négatif 3).$

Réponse: $(3,0),(0,3)$

34.
$La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 6, 4), (négatif 4, 2), (négatif 2, 0), (0, négatif 2), (2, négatif 4) et (4, négatif 6).$

35.
$La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 1, négatif 6), (0, négatif 5), (2, négatif 3), (5, 0) et (7, 2).$

Réponse: $(5,0),(0,−5)$

36.
$La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 2, négatif 4), (négatif 1, négatif 2), (0, 0), (1, 2) et (2, 4).$

Dans les exercices suivants, trouvez les points d'intersection pour chaque équation.

37. $x−y=5$

Réponse: $x$-int :$(5,0)$,$y$ -int :$(0,−5)$

38. $x−y=−4$

39. $3x+y=6$

Réponse: $x$-int :$(2,0)$,$y$ -int :$(0,6)$

40. $x−2y=8$

41. $4x−y=8$

Réponse: $x$-int :$(2,0)$,$y$ -int :$(0,−8)$

42. $5x−y=5$

43. $2x+5y=10$

Réponse: $x$-int :$(5,0)$,$y$ -int :$(0,2)$

44. $3x−2y=12$

Tracez une ligne à l'aide des interceptions

Dans les exercices suivants, tracez un graphique à l'aide des interceptions.

45. $−x+4y=8$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (moins 8, 0), (0, 2), (4, 3) et (8, 4).$

46. $x+2y=4$

47. $x+y=−3$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (moins 3, 0), (0, moins 3) et (3, moins 6).$

48. $x−y=−4$

49. $4x+y=4$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (0, 4), (1, 0) et (2, moins 4).$

50. $3x+y=3$

51. $3x−y=−6$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 2, 0), (négatif 1, 3) et (0, 6).$

52. $2x−y=−8$

53. $2x+4y=12$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (0, 3), (2, 2) et (6, 0).$

54. $3x−2y=6$

55. $2x−5y=−20$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (moins 10, 0), (0, 4) et (10, 8).$

56. $3x−4y=−12$

57. $y=−2x$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (moins 1, 2), (0, 0) et (1, moins 2).$

58. $y=5x$

59. $y=x$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 1, négatif 1), (0, 0) et (1, 1).$

60. $y=−x$

Pratique mixte

Dans les exercices suivants, tracez chaque équation.

61. $y=32x$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (moins 2, moins 3), (0, 0) et (2, 3).$

62. $y=−23x$

63. $y=−12x+3$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (moins 2, 4), (0, 3), (2, 2), (4, 1) et (6, 0).$

64. $y=14x−2$

65. $4x+y=2$

Réponse: $La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 1, 6), (0, 2), (1, négatif 2) et (2, négatif 4).$

66. $5x+2y=10$

67. $y=−1$

Réponse: $La figure montre une ligne droite horizontale tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 2, négatif 1), (0, négatif 1) et (1, négatif 1).$

68. $x=3$

Exercices d'écriture

69. Expliquez comment vous choisiriez trois valeurs x pour créer un tableau afin de représenter graphiquement la ligne$y=15x−2$.

Réponse: Les réponses peuvent varier.

70. Quelle est la différence entre les équations d'une droite verticale et d'une ligne horizontale ?

71. Préférez-vous utiliser la méthode de traçage des points ou la méthode utilisant les points d'interception pour représenter graphiquement l'équation$4x+y=−4$ ? Pourquoi ?

Réponse: Les réponses peuvent varier.

72. Préférez-vous utiliser la méthode de traçage des points ou la méthode utilisant les points d'interception pour représenter graphiquement l'équation$y=23x−2$ ? Pourquoi ?

Auto-vérification

a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

$Ce tableau comporte 6 lignes et 4 colonnes. La première ligne est une ligne d'en-tête et elle étiquette chaque colonne. Le premier en-tête de colonne est « Je peux... », le second est « En toute confiance », le troisième est « Avec de l'aide » et le quatrième est « Non, je ne comprends pas ». Sous la première colonne se trouvent les phrases « tracer des points sur un système de coordonnées rectangulaires », « tracer une équation linéaire en traçant des points », « tracer des lignes verticales et horizontales », « trouver des points d'intersection x et y » et « tracer une ligne à l'aide d'interceptions ». Les autres colonnes sont laissées vides afin que l'apprenant puisse indiquer son niveau de maîtrise pour chaque sujet.$

b. Si la plupart de vos chèques étaient :

En toute confiance. Félicitations ! Vous avez atteint les objectifs de cette section. Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées afin de pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Soyez précis.

Avec de l'aide. Cela doit être abordé rapidement, car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. En mathématiques, chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de vous assurer d'avoir une base solide avant de passer à autre chose. À qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des professeurs de mathématiques sont disponibles ? Vos compétences en matière d'études peuvent-elles être améliorées ?

Non, je ne comprends pas. Il s'agit d'un signe d'avertissement et vous devez y remédier. Vous devriez obtenir de l'aide immédiatement, sinon vous serez rapidement dépassé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour obtenir l'aide dont vous avez besoin.