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3.2 : Représenter graphiquement des équations linéaires à deux variables

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Tracer des points dans un système de coordonnées rectangulaires
    • Tracez une équation linéaire en traçant des points
    • Tracez des lignes verticales et horizontales
    • Trouvez les\(x\) - et\(y\) -intercepts
    • Tracez une ligne à l'aide des interceptions
    Avant de commencer

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    1. Évaluez\(5x−4\) quand\(x=−1\).
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
    2. Évaluez\(3x−2y\) quand\(x=4,y=−3\).
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
    3. Résolvez pour\(y: 8−3y=20\).
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].

    Tracer des points sur un système de coordonnées rectangulaires

    Tout comme les cartes utilisent un système de grille pour identifier les emplacements, un système de grille est utilisé en algèbre pour montrer une relation entre deux variables dans un système de coordonnées rectangulaires. Le système de coordonnées rectangulaires est également appelé «\(xy\) plan de coordonnées » ou « plan de coordonnées ».

    Le système de coordonnées rectangulaires est formé de deux lignes numériques qui se croisent, l'une horizontale et l'autre verticale. La ligne numérique horizontale est appelée\(x\) axe. La ligne numérique verticale est appelée\(y\) axe. Ces axes divisent un plan en quatre régions, appelées quadrants. Les quadrants sont identifiés par des chiffres romains, en commençant en haut à droite et en continuant dans le sens antihoraire. Voir la figure\(\PageIndex{1}\).

    Cette figure montre une grille carrée. Une ligne numérique horizontale au milieu est étiquetée x. Une ligne numérique verticale au milieu est étiquetée y. Les lignes numériques se croisent à zéro et divisent ensemble la grille carrée en 4 petits carrés de taille égale. Le carré en haut à droite est étiqueté I. Le carré en haut à gauche est étiqueté II. Le carré en bas à gauche est étiqueté III. Le carré en bas à droite est étiqueté IV.
    Figurine\(\PageIndex{1}\)

    Dans le système de coordonnées rectangulaires, chaque point est représenté par une paire ordonnée. Le premier nombre de la paire ordonnée est la\(x\) coordonnée du point et le second est la\(y\) coordonnée du point. L'expression « paire ordonnée » signifie que la commande est importante.

    Paire commandée

    Une paire ordonnée\((x,y)\) donne les coordonnées d'un point dans un système de coordonnées rectangulaires. Le premier chiffre est la\(x\) coordonnée. Le deuxième nombre est la\(y\) coordonnée.

    Cette figure montre l'expression (x, y). La variable x est nommée coordonnée X. La variable y est étiquetée coordonnée y.

    Quelle est la paire ordonnée du point où les axes se croisent ? À ce stade, les deux coordonnées sont nulles, donc leur paire ordonnée est\((0,0)\). Le point\((0,0)\) porte un nom spécial. C'est ce qu'on appelle l'origine.

    L'origine

    Le point\((0,0)\) s'appelle l'origine. C'est le point où l'\(x\)axe -et l'\(y\)axe -se croisent.

    Nous utilisons les coordonnées pour localiser un point sur le\(xy\) plan. Tracons le point à\((1,3)\) titre d'exemple. Tout d'abord, localisez 1 sur l'\(x\)axe -et tracez légèrement une ligne verticale\(x=1\). Ensuite, localisez\(3\) sur l'\(y\)axe -et tracez une ligne horizontale jusqu'à\(y=3.\) maintenant, trouvez le point où ces deux lignes se rencontrent, c'est-à-dire le point avec les coordonnées\((1,3)\). Voir la figure\(\PageIndex{2}\).

    Cette figure montre un point tracé sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Le point (1, 3) est étiqueté. Une ligne verticale en pointillés traverse le point et coupe l'axe X en xplus1. Une ligne horizontale en pointillés traverse le point et coupe l'axe Y en yplus3.
    Figurine\(\PageIndex{2}\)

    Notez que la ligne verticale\(x=1\) et la ligne horizontale ne\(y=3\) font pas partie du graphique. Nous les avons simplement utilisés pour nous aider à localiser le point\((1,3)\).

    Lorsque l'une des coordonnées est nulle, le point se trouve sur l'un des axes. Dans\(\PageIndex{3},\) la figure, le point\((0,4)\) se trouve sur l'\(y\)axe -et le point\((−2,0)\) se trouve sur l'\(x\)axe -.

    Cette figure montre les points tracés sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Le point (négatif 2, 0) est étiqueté et se trouve sur l'axe X. Le point (0, 4) est étiqueté et se trouve sur l'axe Y.
    Figurine\(\PageIndex{3}\)
    POINTS SUR LES AXES
    • Les points dont la\(y\) coordonnée est égale à se\(0\) trouvent sur l'\(x\)axe des points et ont des coordonnées\((a,0)\).
    • Les points dont la\(x\) coordonnée est égale à se\(0\) trouvent sur l'\(y\)axe des points et possèdent des coordonnées\((0,b)\).
    Exemple\(\PageIndex{1}\)

    Tracez chaque point du système de coordonnées rectangulaires et identifiez le quadrant dans lequel se trouve le point :

    a.\((−5,4\)) b.\((−3,−4)\) c.\((2,−3)\) d.\((0,−1)\)\((3,\dfrac{5}{2})\) e.

    Solution

    Le premier numéro de la paire de coordonnées est la\(x\) coordonnée et le second est la\(y\) coordonnée. Pour tracer chaque point, tracez une ligne verticale passant par la\(x\) coordonnée et une ligne horizontale passant par la\(y\) coordonnée. Ce qui compte, c'est leur intersection.

    1. Depuis\(x=−5\), le point se trouve à gauche de l'\(y\)axe. De plus\(y=4\), puisque le point se trouve au-dessus de l'\(x\)axe. Le point\((−5,4)\) se trouve dans le quadrant II.
    2. Depuis\(x=−3\), le point se trouve à gauche de l'\(y\)axe. De plus\(y=−4\), puisque le point se trouve en dessous de l'\(x\)axe. Le point\((−3,−4)\) se trouve dans le quadrant III.
    3. Depuis\(x=2\), le point se trouve à droite de l'\(y\)axe. Depuis\(y=−3\), le point se trouve en dessous de l'\(x\)axe. Le point\((2,−3)\) se trouve dans le quadrant IV.
    4. Depuis\(x=0\), le point dont les coordonnées\((0,−1)\) se trouvent se trouve sur l'\(y\)axe.
    5. Depuis\(x=3\), le point se trouve à droite de l'\(y\)axe. Depuis\(y=\dfrac{5}{2})\), le point se trouve au-dessus de l'\(x\)axe. (Il peut être utile d'écrire\(\dfrac{5}{2})\) sous forme de nombre mixte ou décimal.) Le point\((3,\dfrac{5}{2})\) se trouve dans le quadrant I.

    Cette figure montre les points tracés sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Les points suivants sont étiquetés : (3, 5 divisé par 2), (négatif 2, 3), négatif 5, 4), (négatif 3, négatif 4) et (2, négatif 3).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{1}\)

    Tracez chaque point dans un système de coordonnées rectangulaires et identifiez le quadrant dans lequel se trouve le point :

    a.\((−2,1)\) b.\((−3,−1)\) c.\((4,−4)\) d.\((−4,4)\) e.\((−4,\dfrac{3}{2})\)

    Réponse

    Cette figure montre les points tracés sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Le point marqué a se trouve à 2 unités à gauche de l'origine et à 1 unité au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué b se trouve à 3 unités à gauche de l'origine et à 1 unité en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant III. Le point marqué c se trouve à 4 unités à droite de l'origine et à 4 unités en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant IV. Le point marqué d se trouve à 4 unités à gauche de l'origine et à 4 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué e se trouve à 4 unités à gauche de l'origine et à 1 unité et demie au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II.

    Essayez-le ! \(\PageIndex{2}\)

    Tracez chaque point dans un système de coordonnées rectangulaires et identifiez le quadrant dans lequel se trouve le point :

    a.\((−4,1)\) b.\((−2,3)\) c.\((2,−5)\) d.\((−2,5)\) e.\((−3,\dfrac{5}{2})\)

    Réponse

    Cette figure montre les points tracés sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Le point marqué a se trouve à 4 unités à gauche de l'origine et à 1 unité au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué b se trouve à 2 unités à gauche de l'origine et à 3 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué c se trouve à 2 unités à droite de l'origine et à 5 unités en dessous de l'origine et se trouve dans le quadrant IV. Le point marqué d se trouve à 2 unités à gauche de l'origine et à 5 unités au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II. Le point marqué e se trouve à 3 unités à gauche de l'origine et à 2 unités et demie au-dessus de l'origine et se trouve dans le quadrant II.

    Les signes de la\(x\) coordonnée et de la\(y\) coordonnée affectent l'emplacement des points. Vous avez peut-être remarqué certaines tendances lorsque vous avez représenté les points dans l'exemple précédent. Nous pouvons résumer les modèles de signes des quadrants de la manière suivante :

    QUADRANTS
    Quadrant I Quadrant II Quadrant III Quadrant IV
    \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
    \((+,+)\) \((−,+)\) \((−,−)\) \((+,−)\)

    Cette figure montre le plan de coordonnées x y avec les quatre quadrants étiquetés. En haut à droite de l'avion se trouve le quadrant I étiqueté (plus, plus). En haut à gauche de l'avion se trouve le quadrant II étiqueté (moins, plus). En bas à gauche de l'avion se trouve le quadrant III étiqueté (moins, moins). En bas à droite de l'avion se trouve le quadrant IV étiqueté (plus, moins).

    Jusqu'à présent, toutes les équations que vous avez résolues étaient des équations avec une seule variable. Dans presque tous les cas, lorsque vous avez résolu l'équation, vous avez obtenu exactement une solution. Mais les équations peuvent comporter plusieurs variables. Les équations à deux variables peuvent être de la forme\(Ax+By=C\). Une équation de cette forme est appelée équation linéaire à deux variables.

    Équation linéaire

    Une équation de la forme\(Ax+By=C\), où\(A\) et ne\(B\) sont pas tous les deux nuls, est appelée équation linéaire à deux variables.

    Voici un exemple d'équation linéaire à deux variables,\(x\) et\(y\).

    \ (\ begin {align*} {\ color {BrickRed} A} x + {\ color {RoyalBlue} B} y &= {\ color {forestgreen} C} \ \ [5pt]
    x+ {\ color {RoyalBlue} 4} y &= {\ color {forestgreen} 8} \ end {align*} \)

    \({\color{BrickRed}A = 1}\),\({\color{RoyalBlue}B = 4}\),\({\color{forestgreen}C=8}\)

    L'équation\(y=−3x+5\) est également une équation linéaire. Mais cela ne semble pas être dans la forme\(Ax+By=C\). Nous pouvons utiliser la propriété d'addition d'égalité et la réécrire sous\(Ax+By=C\) forme.

    \[ \begin{array} {lrll} {} &{y} &= &{-3x+5} \\ {\text{Add to both sides.} } &{y+3x} &= &{3x+5+3x} \\ {\text{Simplify.} } &{y+3x} &= &{5} \\ {\text{Use the Commutative Property to put it in} } &{} &{} &{} \\ {Ax+By=C\text{ form.} } &{3x+y} &= &{5} \end{array} \nonumber\]

    En réécrivant\(y=−3x+5\) comme\(3x+y=5\), nous pouvons facilement voir qu'il s'agit d'une équation linéaire à deux variables car elle est de la forme\(Ax+By=C\). Lorsqu'une équation est dans la forme\(Ax+By=C\), nous disons qu'elle est sous la forme standard d'une équation linéaire.

    Forme standard a de l'équation linéaire

    Une équation linéaire est sous forme standard lorsqu'elle est écrite\(Ax+By=C\).

    La plupart des gens préfèrent avoir\(A,\)\(B,\) et\(C\) être des nombres entiers et\(A \geq 0\) lorsqu'ils écrivent une équation linéaire sous forme standard, bien que cela ne soit pas strictement nécessaire.

    Les équations linéaires offrent une infinité de solutions. Pour chaque nombre qui est remplacé,\(x\) il y a une\(y\) valeur correspondante. Cette paire de valeurs est une solution à l'équation linéaire et est représentée par la paire ordonnée\((x,y)\). Lorsque nous substituons ces valeurs de\(x\) et\(y\) dans l'équation, le résultat est une déclaration vraie, car la valeur du côté gauche est égale à la valeur du côté droit.

    Solution d'une équation linéaire à deux variables

    Une paire ordonnée\((x,y)\) est une solution de l'équation linéaire\(Ax+By=C\), si l'équation est une déclaration vraie lorsque les\(y\) valeurs\(x\) - et - de la paire ordonnée sont substituées dans l'équation.

    Les équations linéaires offrent une infinité de solutions. Nous pouvons tracer ces solutions dans le système de coordonnées rectangulaires. Les points s'aligneront parfaitement en ligne droite. Nous relions les points par une ligne droite pour obtenir le graphique de l'équation. Nous plaçons des flèches aux extrémités de chaque côté de la ligne pour indiquer que la ligne continue dans les deux sens.

    Un graphique est une représentation visuelle de toutes les solutions de l'équation. C'est un exemple du dicton : « Une image vaut mille mots ». La ligne vous montre toutes les solutions à cette équation. Chaque point de la ligne est une solution de l'équation. Et chaque solution de cette équation se trouve sur cette ligne. Cette ligne s'appelle le graphe de l'équation. Les points qui ne sont pas en jeu ne sont pas des solutions !

    GRAPHIQUE D'UNE ÉQUATION LINÉAIRE

    Le graphique d'une équation linéaire\(Ax+By=C\) est une ligne droite.

    • Chaque point de la ligne est une solution de l'équation.
    • Chaque solution de cette équation correspond à un point sur cette ligne.
    Exemple\(\PageIndex{2}\)

    Le graphique de\(y=2x−3\) est affiché.

    Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités et passe par les points (négatif 3, moins 9), (négatif 2, négatif 7), (négatif 1, négatif 5), (0, négatif 3), (1, négatif 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5), (5, 7) et (6, 9). La ligne est étiquetée y plus 2 x moins 3.

    Pour chaque paire commandée, décidez :

    1. La paire ordonnée est-elle une solution à l'équation ?
    2. Est-ce que le but est en jeu ?

    A :\((0,−3)\) B :\((3,3)\) C :\((2,−3)\) D :\((−1,−5)\)

    Solution :

    Remplacez les\(y\) valeurs\(x\) - et - dans l'équation pour vérifier si la paire ordonnée est une solution à l'équation.

    un.

    L'exemple A montre la paire ordonnée (0, moins 3). En dessous se trouve l'équation y plus 2 x moins 3. En dessous de cette équation, moins 3 est égal à 2 fois 0 moins 3. Les négatifs 3 et 0 sont de la même couleur que les négatifs 3 et 0 dans la paire ordonnée en haut. Il y a un point d'interrogation au-dessus du signe plus. En dessous se trouve l'équation moins 3 plus moins 3. En dessous, l'énoncé (0, négatif 3) est une solution. L'exemple B montre la paire ordonnée (3, 3). En dessous se trouve l'équation y plus 2 x moins 3. En dessous de cela, l'équation 3 est égale à 2 fois 3 moins 3. Les 3 et 3 sont de la même couleur que les 3 et 3 de la paire ordonnée en haut. Il y a un point d'interrogation au-dessus du signe plus. En dessous se trouve l'équation 3 plus 3. En dessous se trouve la déclaration (3, 3) qui est une solution. L'exemple C montre la paire ordonnée (2, moins 3). En dessous se trouve l'équation y plus 2 x moins 3. En dessous de cela, l'équation moins 3 est égale à 2 fois 2 moins 3. Les négatifs 3 et 2 sont de la même couleur que les négatifs 3 et 2 dans la paire ordonnée en haut. Il y a un point d'interrogation au-dessus du signe plus. En dessous se trouve l'inégalité négative 3 n'est pas égale à 1. En dessous, l'énoncé (2, négatif 3) n'est pas une solution. L'exemple D montre la paire ordonnée (négatif 1, négatif 5). En dessous se trouve l'équation y plus 2 x moins 3. En dessous de cette équation, moins 5 est égal à 2 fois moins 1 moins 3. Le négatif 1 et le négatif 5 sont de la même couleur que le négatif 1 et le négatif 5 dans la paire ordonnée en haut. Il y a un point d'interrogation au-dessus du signe plus. En dessous se trouve l'équation moins 5 plus moins 5. En dessous, l'énoncé (négatif 1, négatif 5) est une solution.

    b. Tracez les points\((0,−3)\)\((3,3)\),\((2,−3)\), et\((−1,−5)\).

    Cette figure montre le graphique de l'équation linéaire y plus 2 x moins 3 et de certains points représentés sur le plan de coordonnées x y. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités et passe par les points (moins 1, moins 5), (0, moins 3) et (3, 3). Le point (2, moins 3) est également tracé mais pas sur la ligne.

    Les points\((0,3)\)\((3,−3)\), et\((−1,−5)\) sont sur la ligne\(y=2x−3\), mais le point n'\((2,−3)\)est pas sur la ligne.

    Les points qui sont des solutions\(y=2x−3\) sont sur la ligne, mais le point qui n'est pas une solution n'est pas sur la ligne.

    Essayez-le ! \(\PageIndex{3}\)

    Utilisez le graphique de\(y=3x−1\). Pour chaque paire commandée, décidez :

    a. La paire ordonnée est-elle une solution à l'équation ?
    b. Le point est-il en jeu ?

    A\((0,−1)\) B\((2,5)\)

    Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités et passe par les points (négatif 3, moins 10), (négatif 2, moins 7), (négatif 1, négatif 4), (0, négatif 1), (1, 2), (2, 5) et (3, 8). La ligne est étiquetée y plus 3 x moins 1.

    Réponse

    a. oui b. oui

    Essayez-le ! \(\PageIndex{4}\)

    Utilisez le graphique de\(y=3x−1\). Pour chaque paire commandée, décidez :

    a. La paire ordonnée est-elle une solution à l'équation ?
    b. Le point est-il en jeu ?

    A\((3,−1)\) B\((−1,−4)\)

    Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités et passe par les points (négatif 3, moins 10), (négatif 2, moins 7), (négatif 1, négatif 4), (0, négatif 1), (1, 2), (2, 5) et (3, 8). La ligne est étiquetée y plus 3 x moins 1.

    Réponse

    a. non b. oui

    Tracez une équation linéaire en traçant des points

    Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour représenter graphiquement une équation linéaire. La première méthode que nous utiliserons est appelée traçage des points, ou méthode de traçage par points. Nous trouvons trois points dont les coordonnées sont des solutions à l'équation, puis nous les traçons dans un système de coordonnées rectangulaires. En reliant ces points sur une ligne, nous obtenons le graphique de l'équation linéaire.

    Exemple\(\PageIndex{3}\): How to Graph a Linear Equation by Plotting Points

    Tracez l'équation\(y=2x+1\) en traçant des points.

    Solution :

    L'étape 1 consiste à trouver trois points dont les coordonnées sont des solutions à l'équation. Vous pouvez choisir n'importe quelle valeur pour x ou y. Dans ce cas, comme y est isolé sur le côté gauche des équations, il est plus facile de choisir des valeurs pour x. Choisissez x plus 0. Nous la substituons dans l'équation y plus 2 x plus 1 pour obtenir y plus 2 fois 0 plus 1. Cela se simplifie à y plus 0 plus 1. Donc y plus 1. Choisir x plus 1. Nous la substituons dans l'équation y plus 2 x plus 1 pour obtenir y plus 2 fois 1 plus 1. Cela se simplifie à y plus 2 plus 1. Donc, y plus 3. Choisir x plus négatif 2. Nous la substituons dans l'équation y plus 2 x plus 1 pour obtenir y plus 2 fois moins 2 plus 1. Cela se simplifie en y plus moins 4 plus 1. Le y plus moins 3. Ensuite, nous voulons organiser les solutions dans un tableau. Pour ce problème, nous allons mettre les trois solutions que nous venons de trouver dans un tableau. Le tableau comporte 5 lignes et 3 colonnes. La première ligne est une ligne de titre avec l'équation y plus 2 x plus 1. La deuxième ligne est une ligne d'en-tête avec les en-têtes x, y et (x, y). La troisième ligne contient les numéros 0, 1 et (0, 1). La quatrième rangée contient les numéros 1, 3 et (1, 3). La cinquième ligne contient les nombres négatifs 2, moins 3 et (moins 2, moins 3).L'étape 2 consiste à tracer les points dans un système de coordonnées rectangulaires. Diagramme : (0, 1), (1, 3), (négatif 2, négatif 3). La figure montre ensuite un graphique de certains points tracés sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Les points (0, 1), (1, 3) et (moins 2, moins 3) sont tracés. Vérifiez que les points s'alignent. Si ce n'est pas le cas, vérifiez bien votre travail ! Est-ce que les points s'alignent ? Oui, les points de cet exemple s'alignent.L'étape 3 consiste à tracer la ligne passant par les trois points. Prolongez la ligne pour remplir la grille et placez des flèches aux deux extrémités de la ligne. Cette ligne est le graphique de y plus 2 x plus 1. La figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Les points (moins 2, moins 3), (0, 1) et (1, 3) sont tracés. La ligne droite passe par les trois points et comporte des flèches aux deux extrémités.

    Essayez-le ! \(\PageIndex{5}\)

    Représentez l'équation en traçant des points :\(y=2x−3\).

    Réponse

    Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 2, moins 7), (négatif 1, négatif 5), (0, négatif 3), (1, négatif 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5) et (5, 7).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{6}\)

    Représentez l'équation en traçant des points :\(y=−2x+4\).

    Réponse

    Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 2, 8), (négatif 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, négatif 2), (4, négatif 4), (5, négatif 6) et (6, négatif 8).

    Les étapes à suivre pour représenter graphiquement une équation linéaire en traçant des points sont résumées ici.

    TRACER UNE ÉQUATION LINÉAIRE EN TRAÇANT DES POINTS
    1. Trouvez trois points dont les coordonnées sont des solutions à l'équation. Organisez-les dans un tableau.
    2. Tracez les points dans un système de coordonnées rectangulaires. Vérifiez que les points s'alignent. Si ce n'est pas le cas, vérifiez attentivement votre travail.
    3. Tracez la ligne passant par les trois points. Prolongez la ligne pour remplir la grille et placez des flèches aux deux extrémités de la ligne.

    Il est vrai qu'il suffit de deux points pour déterminer une ligne, mais c'est une bonne habitude d'utiliser trois points. Si vous ne tracez que deux points et que l'un d'entre eux est incorrect, vous pouvez toujours tracer une ligne, mais elle ne représentera pas les solutions de l'équation. Ce ne sera pas la bonne ligne.

    Si vous utilisez trois points et que l'un d'eux est incorrect, les points ne seront pas alignés. Cela vous indique que quelque chose ne va pas et que vous devez vérifier votre travail. Regardez la différence entre ces illustrations.

    La figure montre deux images. Dans la première image, il y a trois points traversés par une ligne droite. Dans la deuxième image, il y a trois points qui ne se trouvent pas tous sur une ligne droite.

    Lorsqu'une équation inclut une fraction comme coefficient de,\(x,\) nous pouvons toujours remplacer n'importe quel nombre par\(x.\) Mais l'arithmétique est plus facile si nous faisons de « bons » choix pour les valeurs de De\(x.\) cette façon, nous éviterons les réponses fractionnaires, qui sont difficiles à représenter graphiquement avec précision.

    Exemple\(\PageIndex{4}\)

    Représentez graphiquement l'équation :\(y=\frac{1}{2}x+3\)

    Solution :

    Trouvez trois points qui constituent des solutions à l'équation. Puisque cette équation a la fraction\(\dfrac{1}{2}\) comme coefficient de,\(x,\) nous choisirons les valeurs\(x\) avec soin. Nous utiliserons zéro comme choix et des multiples\(2\) pour les autres choix. Pourquoi les multiples de deux sont-ils un bon choix pour des valeurs de\(x\) ? En choisissant des multiples de\(2\) la multiplication par\(\dfrac{1}{2}\) simplification jusqu'à un nombre entier

    Le premier ensemble d'équations commence par x plus 0. En dessous se trouve l'équation y plus 1 demi x plus 3. En dessous se trouve l'équation y plus 1 demi fois 0 plus 3. En dessous se trouve l'équation y plus 0 plus 3. En dessous se trouve l'équation y plus 3. Le deuxième ensemble d'équations commence par x plus 2. En dessous se trouve l'équation y plus 1 demi x plus 3. En dessous se trouve l'équation y plus 1 demi fois 2 plus 3. En dessous se trouve l'équation y plus 1 plus 3. En dessous se trouve l'équation y plus 4. Le troisième ensemble d'équations commence par x plus 4. En dessous se trouve l'équation y plus 1 demi x plus 3. En dessous se trouve l'équation y plus 1 demi fois 4 plus 3. En dessous se trouve l'équation y plus 2 plus 3. En dessous se trouve l'équation y plus 5.

    Les points sont indiqués dans le tableau.

    \(y=\frac{1}{2}x+3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 3 \((0,3)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 5 \((4,5)\)

    Tracez les points, vérifiez qu'ils s'alignent et tracez la ligne.

    La figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 7 à 7. Les points (0, 3), (2, 4) et (4, 5) sont tracés. La ligne droite passe par les trois points et comporte des flèches aux deux extrémités. La ligne est étiquetée y plus 1 divisée par 2 fois x plus 3.

    Essayez-le ! \(\PageIndex{7}\)

    Représentez graphiquement l'équation :\(y=\frac{1}{3}x−1\)

    Réponse

    Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 12, négatif 5), (négatif 9, négatif 4), (négatif 6, négatif 3), (négatif 3, négatif 2), (0, négatif 1), (3, 0), (6, 1), (9, 2) et (12, 3).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{8}\)

    Représentez graphiquement l'équation :\(y=\frac{1}{4}x+2\)

    Réponse

    Cette figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 12, négatif 1), (négatif 8, 0), (négatif 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4) et (12, 5).

    Tracez des lignes verticales et horizontales

    Certaines équations linéaires ne comportent qu'une seule variable. Ils peuvent avoir juste\(x\) et non\(y,\) ou juste\(y\) sans.\(x.\) Cela change la façon dont nous créons une table de valeurs pour obtenir les points à tracer.

    Examinons l'équation\(x=−3\). Cette équation n'a qu'une seule variable.\(x.\) L'équation dit que\(x\) c'est toujours égal à\(−3\), donc sa valeur ne dépend pas de\(y.\) Peu importe la valeur de\(y,\) la valeur de\(x\) est toujours\(−3\).

    Donc, pour créer un tableau de valeurs, écrivez\(−3\) toutes les\(x\) valeurs. Ensuite, choisissez n'importe quelle valeur pour\(y.\) Puisque\(x\) ne dépend pas,\(y,\) vous pouvez choisir les nombres de votre choix. Mais pour ajuster les points sur notre graphe de coordonnées, nous utiliserons 1, 2 et 3 pour les\(y\) coordonnées. Voir le tableau.

    \(x=−3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \(−3\) 1 \((−3,1)\)
    \(−3\) 2 \((−3,2)\)
    \((−3,)\) 3 \((−3,3)\)

    Tracez les points du tableau et reliez-les par une ligne droite. Notez que nous avons tracé une ligne verticale.

    La figure montre le graphique d'une ligne verticale droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 7 à 7. Les points (négatif 3, 1), (négatif 3, 2) et (négatif 3, 3) sont tracés. La ligne passe par les trois points et comporte des flèches aux deux extrémités. La ligne est étiquetée x plus moins 3.

    Et si l'équation fonctionne\(y\) mais non\(x\) ? Reproduisons l'équation sous forme graphique\(y=4\). Cette fois, la valeur y est une constante, donc dans cette équation,\(y\) elle ne dépend pas de\(x.\) Remplir\(4\) pour tous les éléments\(y\) du tableau, puis de choisir des valeurs pour\(x.\) Nous utiliserons 0, 2 et 4 pour les\(x\) coordonnées.

    \(y=4\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 4 \((0,4)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 4 \((4,4)\)

    Dans cette figure, nous avons tracé une ligne horizontale passant par l'\(y\)axe -à\(4.\)

    La figure montre le graphique d'une ligne horizontale droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 7 à 7. Les points (0, 4), (2, 4) et (4, 4) sont tracés. La ligne passe par les trois points et comporte des flèches aux deux extrémités. La ligne est étiquetée y plus 4.

    LIGNES VERTICALES ET HORIZONTALES

    Une ligne verticale est le graphique d'une équation de la forme\(x=a\).

    La ligne passe par l'\(x\)axe -en\((a,0)\).

    Une ligne horizontale est le graphique d'une équation de la forme\(y=b\).

    La ligne passe par l'\(y\)axe -en\((0,b)\).

    Exemple\(\PageIndex{5}\)

    Graphique : a.\(x=2\)\(y=−1\) b.

    Solution

    a. L'équation ne comporte qu'une seule variable\(x,\) et\(x\) est toujours égale à\(2.\) Nous créons une table où\(x\) est toujours,\(2\) puis inscrivez toutes les valeurs pour\(y.\) Le graphique est une ligne verticale passant par l'\(x\)axe -à\(2.\)

    \(x=2\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \ (x \) » validation des données ="middle">2 \ (y \) » validation des données ="middle">1 \ ((x, y) \) » validation des données ="middle">\((2,1)\)
    \ (x \) » validation des données ="middle">2 \ (y \) » validation des données ="middle">2 \ ((x, y) \) » validation des données ="middle">\((2,2)\)
    \ (x \) » validation des données ="middle">2 \ (y \) » validation des données ="middle">3 \ ((x, y) \) » validation des données ="middle">\((2,3)\)

    La figure montre le graphique d'une ligne verticale droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 7 à 7. Les points (2, 1), (2, 2) et (2, 3) sont tracés. La ligne passe par les trois points et comporte des flèches aux deux extrémités. La ligne est étiquetée x plus 2.

    b. De même, l'équation ne\(y=−1\) comporte qu'une seule variable,\(y\). La valeur de\(y\) est constante. Toutes les paires ordonnées du tableau suivant ont la même\(y\) coordonnée. Le graphique est une ligne horizontale passant par l'\(y\)axe -à\(−1.\)

    \(y=−1\)
    \(\mathbf{x}\) \(\mathbf{ y}\) \(\mathbf{(x,y)}\)
    \ (\ mathbf {x} \) » validation des données = « middle » >0 \ (\ mathbf {y} \) » validation des données = « middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)} \) » validation des données ="middle">\((0,−1)\)
    \ (\ mathbf {x} \) » validation des données = « middle » >3 \ (\ mathbf {y} \) » validation des données = « middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)} \) » validation des données ="middle">\((3,−1)\)
    \ (\ mathbf {x} \) » validation des données = « middle">\(−3\) \ (\ mathbf {y} \) » validation des données = « middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)} \) » validation des données ="middle">\((−3,−1)\)

    La figure montre le graphique d'une ligne droite horizontale sur le plan de coordonnées xy. Les axes x et y vont de moins 7 à 7. Les points (-3, -1), (0, -1) et (3, -1) sont tracés. La ligne passe par les trois points et comporte des flèches aux deux extrémités. La ligne étiquetée y est égale à moins 1.

    Essayez-le ! \(\PageIndex{9}\)

    Représentez graphiquement les équations : a.\(x=5\) b. \(y=−4\).

    Réponse

    un.

    La figure montre le graphique d'une ligne verticale droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (5, moins 3), (5, moins 2), (5, moins 1), (5, 0), (5, 1), (5, 2) et (5, 3).

    b.

    La figure montre le graphique d'une ligne horizontale droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 3, négatif 4), (négatif 2, négatif 4), (négatif 1, négatif 4), (0, négatif 4), (1, négatif 4), (2, négatif 4) et (3, négatif 4).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{10}\)

    Représentez graphiquement les équations : a.\(x=−2\) b. \(y=3\).

    Réponse

    un.

    La figure montre le graphique d'une ligne verticale droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 2, négatif 3), (négatif 2, négatif 2), (négatif 2, négatif 1), (négatif 2, 0), (négatif 2, 1), (négatif 2, 2) et (négatif 2, 3).

    b.

    La figure montre le graphique d'une ligne horizontale droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne passe par les points (négatif 3, 3), (négatif 2, 3), (négatif 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3) et (3, 3).

    Quelle est la différence entre les équations\(y=4x\) et\(y=4\) ?

    L'équation\(y=4x\) possède les deux\(x\) et\(y.\) La valeur de\(y\) dépend de la valeur de, de\(x,\) sorte que la\(y\) coordonnée change en fonction de la valeur de\(x.\) L'équation n'\(y=4\)a qu'une seule variable. La valeur de\(y\) est constante, elle ne dépend pas de la valeur de\(x,\), donc la\(y\) coordonnée -est toujours\(4.\)

    Cette figure comporte deux tableaux. Le premier tableau comporte 5 lignes et 3 colonnes. La première ligne est une ligne de titre avec l'équation y plus 4 x. La deuxième ligne est une ligne d'en-tête avec les en-têtes x, y et (x, y). La troisième ligne contient les numéros 0, 0 et (0, 0). La quatrième rangée contient les numéros 1, 4 et (1, 4). La cinquième rangée comporte les numéros 2, 8 et (2, 8). Le deuxième tableau comporte 5 lignes et 3 colonnes. La première ligne est une ligne de titre avec l'équation y plus 4. La deuxième ligne est une ligne d'en-tête avec les en-têtes x, y et (x, y). La troisième ligne contient les numéros 0, 4 et (0, 4). La quatrième rangée contient les numéros 1, 4 et (1, 4). La cinquième rangée comporte les numéros 2, 4 et (2, 4).La figure montre les graphes d'une ligne droite horizontale et d'une ligne droite inclinée sur le même plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 7 à 7. La ligne horizontale passe par les points (0, 4), (1, 4) et (2,4) et est étiquetée y plus 4. La ligne inclinée passe par les points (0, 0), (1, 4) et (2, 8) et est étiquetée y plus 4 x.

    Remarquez que dans le graphique, l'équation\(y=4x\) donne une ligne inclinée, alors qu'elle\(y=4\) donne une ligne horizontale.

    Exemple\(\PageIndex{6}\)

    Graphe\(y=−3x\) et\(y=−3\) dans le même système de coordonnées rectangulaires.

    Solution :

    Nous remarquons que la première équation contient la variable\(x,\) alors que la seconde n'en a pas. Nous établissons un tableau de points pour chaque équation, puis nous tracons les courbes. Les deux graphiques sont présentés.

    Cette figure comporte deux tableaux. Le premier tableau comporte 5 lignes et 3 colonnes. La première ligne est une ligne de titre avec l'équation y plus moins 3 x. La deuxième ligne est une ligne d'en-tête avec les en-têtes x, y et (x, y). La troisième ligne contient les numéros 0, 0 et (0, 0). La quatrième ligne contient les chiffres 1, moins 3 et (1, moins 3). La cinquième rangée contient les chiffres 2, moins 6, et (2, négatif 6). Le deuxième tableau comporte 5 lignes et 3 colonnes. La première ligne est une ligne de titre avec l'équation y plus moins 3. La deuxième ligne est une ligne d'en-tête avec les en-têtes x, y et (x, y). La troisième ligne contient les chiffres 0, moins 3 et (0, moins 3). La quatrième ligne contient les chiffres 1, moins 3 et (1, moins 3). La cinquième rangée contient les chiffres 2, moins 3, et (2, moins 3).

    La figure montre les graphes d'une ligne droite horizontale et d'une ligne droite inclinée sur le même plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 7 à 7. La ligne horizontale passe par les points (0, moins 3), (1, moins 3) et (2, moins 3) et est étiquetée y plus moins 3. La ligne inclinée passe par les points (0, 0), (1, négatif 3) et (2, moins 6) et est étiquetée y plus moins 3 x.

    Essayez-le ! \(\PageIndex{11}\)

    Tracez les équations dans le même système de coordonnées rectangulaires :\(y=−4x\) et\(y=−4\).

    Réponse

    La figure montre les graphes d'une ligne droite horizontale et d'une ligne droite inclinée sur le même plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne horizontale passe par les points (0, moins 4), (1, moins 4) et (2, moins 4). La ligne inclinée passe par les points (0, 0), (1, moins 4) et (2, moins 8).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{12}\)

    Tracez les équations dans le même système de coordonnées rectangulaires :\(y=3\) et\(y=3x\).

    Réponse

    La figure montre les graphes d'une ligne droite horizontale et d'une ligne droite inclinée sur le même plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne horizontale passe par les points (0, 3), (1, 3) et (2, 3). La ligne inclinée passe par les points (0, 0), (1, 3) et (2, 6).

    \(x\)Trouve et\(y\) intercepte

    Chaque équation linéaire peut être représentée par une ligne unique qui montre toutes les solutions de l'équation. Nous avons vu que lorsque vous tracez une ligne en traçant des points, vous pouvez utiliser trois solutions quelconques pour représenter graphiquement. Cela signifie que deux personnes qui tracent la ligne peuvent utiliser différents ensembles de trois points.

    À première vue, leurs deux lignes peuvent ne pas sembler identiques, car des points différents seraient étiquetés. Mais si tout le travail a été fait correctement, les lignes devraient être exactement les mêmes. Une façon de reconnaître qu'il s'agit bien de la même droite est de regarder où la droite croise l'\(x\)axe -et l'\(y\)axe -. Ces points sont appelés points d'intersection d'une ligne.

    INTERCEPTIONS D'UNE LIGNE

    Les points où une ligne croise l'\(x\)axe -et l'\(y\)axe -sont appelés points d'intersection de la ligne.

    Regardons les graphiques des lignes.

    La figure montre quatre graphiques représentant différentes équations. Dans l'exemple a, le graphe de 2 x plus y plus 6 est représenté sur le plan de coordonnées x y. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. Les points (0, 6) et (3, 0) sont tracés et étiquetés. Une ligne droite passe par les deux points et comporte des flèches aux deux extrémités. Dans l'exemple b, le graphe de 3 x moins 4 y plus 12 est représenté sur le plan de coordonnées x y. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. Les points (0, moins 3) et (4, 0) sont tracés et étiquetés. Une ligne droite passe par les deux points et comporte des flèches aux deux extrémités. Dans l'exemple c, le graphe de x moins y plus 5 est représenté sur le plan de coordonnées x y. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. Les points (0, moins 5) et (5, 0) sont tracés et étiquetés. Une ligne droite passe par les deux points et comporte des flèches aux deux extrémités. Dans l'exemple d, le graphe de y plus moins 2 x est représenté sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. Le point (0, 0) est tracé et étiqueté. Une ligne droite passe par ce point et les points (moins 1, 2) et (1, moins 2) et comporte des flèches aux deux extrémités.

    Tout d'abord, remarquez où chacune de ces lignes croise l'\(x\)axe. Voir le tableau.

    Maintenant, examinons les points où ces lignes croisent l'\(y\)axe.

    Figurine La ligne traverse
    l'\(x\)axe -au niveau de :    		 Paire commandée
    pour ce point    		 La ligne traverse
    l'axe y à :    		 Paire commandée
    pour ce point
    Figure (a) \ (x \) -axis à l'adresse : » data-valign="middle">\(3\) \((3,0)\) \(6\) \((0,6)\)
    Graphique (b) \ (x \) -axis à l'adresse : » data-valign="middle">\(4\) \((4,0)\) \(−3\) \((0,−3)\)
    Figure (c) \ (x \) -axis à l'adresse : » data-valign="middle">\(5\) \((5,0)\) \(−5\) \((0,5)\)
    Chiffre (d) \ (x \) -axis à l'adresse : » data-valign="middle">\(0\) \((0,0)\) \(0\) \((0,0)\)
    Figure générale \ (x \) -axis à l'adresse : » data-valign="middle">\(a\) \((a,0)\) \(b\) \((0,b)\)

    Voyez-vous un schéma ?

    Pour chaque ligne, la\(y\) coordonnée du point où la ligne croise l'\(x\)axe est nulle. Le point où la ligne croise l'\(x\)axe -a la forme\((a,0)\) et est appelé l'\(x\)intersection de la ligne. Le\(x\) -intercept se produit lorsque la valeur\(y\) est nulle.

    Dans chaque ligne, la coordonnée\(x\) - du point où la ligne croise l'\(y\)axe est nulle. Le point où la ligne croise l'\(y\)axe -a la forme\((0,b)\) et est appelé l'\(y\)intersection de la ligne. Le\(y\) -intercept se produit lorsque la valeur\(x\) est nulle.

    Interceptions d'une ligne

    L'\(x\)-intercept est le point\((a,0)\) où la ligne croise l'\(x\)axe.

    L'\(y\)-intercept est le point\((0,b)\) où la ligne croise l'\(y\)axe.

    Le tableau comporte 3 lignes et 2 colonnes. La première ligne est une ligne d'en-tête avec les en-têtes x et y. La deuxième ligne contient a et 0. La troisième ligne contient 0 et b.

    Exemple\(\PageIndex{7}\)

    Trouvez les\(y\) interceptions\(x\) - et - sur chaque graphique affiché.

    La figure comporte trois graphiques. La figure a montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 8, 6), (négatif 4, 4), (0, 2), (4, 0), (8, négatif 2). La figure b montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (0, moins 6), (2, 0) et (4, 6). La figure c montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 8 à 8. La ligne passe par les points (négatif 5, 0), (négatif 3, négatif 3), (0, négatif 5), (1, négatif 6) et (2, négatif 7).

    Solution :

    a. Le graphique croise l'\(x\)axe des points\((4,0)\). L'intersection X est\((4,0)\).
    Le graphique croise l'\(y\)axe des points\((0,2)\). Le\(y\) -intercept est\((0,2)\).

    b. Le graphique croise l'\(x\)axe des Y au point\((2,0)\). Le\(x\) -intercept est\((2,0)\).
    Le graphique croise l'\(y\)axe des points\((0,−6)\). Le\(y\) -intercept est\((0,−6)\).

    c. Le graphique croise l'\(x\)axe des points\((−5,0)\). Le\(x\) -intercept est\((−5,0)\).
    Le graphique croise l'\(y\)axe des points\((0,−5)\). Le\(y\) -intercept est\((0,−5)\).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{13}\)

    Trouvez les\(y\) points d'intersection\(x\) - et -sur le graphique.

    Cette figure a montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (négatif 6, négatif 8), (négatif 4, négatif 6), (négatif 2, négatif 4), (0, négatif 2), (2, 0), (4, 2), (6, 4), (8, 6).

    Réponse

    \(x\)-intercepter :\((2,0)\),
    \(y\) -intercepter :\((0,−2)\)

    Essayez-le ! \(\PageIndex{14}\)

    Trouvez les\(y\) points d'intersection\(x\) - et -sur le graphique.

    Cette figure a montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne passe par les points (négatif 6, 6), (négatif 3, 4), (0, 2), (3, 0), (6, négatif 2) et (9, négatif 4).

    Réponse

    \(x\)-intercepter :\((3,0)\),
    \(y\) -intercepter :\((0,2)\)

    Reconnaître que l'\(x\)-intercept se produit lorsque\(y\) vaut zéro et que l'\(y\)-intercept se produit quand il\(x\) est égal à zéro, nous donne une méthode pour trouver les interceptions d'une droite à partir de son équation. Pour trouver le\(x\) -intercept, laissez\(y=0\) and solve for\(x.\) Pour trouver le\(y\) -intercept, laissez\(x=0\) and solve for\(y.\)

    Trouver des points d'intersection à partir de l'équation d'une droite

    Utilisez l'équation de la droite. Pour trouver :

    • le\(x\) -intercept de la ligne, laissez\(y=0\) et résolvez pour\(x\).
    • le\(y\) -intercept de la ligne, laissez\(x=0\) et résolvez pour\(y\).
    Exemple\(\PageIndex{8}\)

    Trouvez les interceptions de\(2x+y=8\).

    Solution :

    Nous allons laisser\(y=0\) trouver le\(x\) -intercept, et laisser\(x=0\) trouver le\(y\) -intercept. Nous allons remplir un tableau qui nous rappelle ce que nous devons trouver.

    La figure comporte un tableau à 4 lignes et 2 colonnes. La première ligne est une ligne de titre avec l'équation 2 x plus y plus 8. La deuxième ligne est une ligne d'en-tête avec les en-têtes x et y. La troisième ligne est étiquetée x-intercept et contient la première colonne vide et un 0 dans la deuxième colonne. La quatrième ligne est étiquetée y-intercept et comporte un 0 dans la première colonne et la deuxième colonne est vide.
    Pour trouver le\(x\) -intercept, laissez\(y=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Laissez\(y=0\). \(2x+{\color{red}0}=8\)
    Simplifiez. \(2x=8\)
      \(x=4\)
    Le\(x\) -intercept est : \((4,0)\)
    Pour trouver le\(y\) -intercept, laissez\(x=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Laissez\(x=0\). \(2 ( {\color{red}0}) + y = 8\)
    Simplifiez. \(0 + y = 8\)
      \(y=8\)
    Le\(y\) -intercept est : \((0,8)\)

    Les points d'interception sont les points\((4,0)\) et sont\((0,8)\) indiqués dans le tableau.

    \(2x+y=8\)
    \(x\) \(y\)
    4 0
    0 8
    Essayez-le ! \(\PageIndex{15}\)

    Trouvez les interceptions :\(3x+y=12\).

    Réponse

    \(x\)-intercepter :\((4,0)\),
    \(y\) -intercepter :\((0,12)\)

    Essayez-le ! \(\PageIndex{16}\)

    Trouvez les interceptions :\(x+4y=8\).

    Réponse

    \(x\)-intercepter :\((8,0)\),
    \(y\) -intercepter :\((0,2)\)

    Tracez une ligne à l'aide des interceptions

    Pour représenter graphiquement une équation linéaire en traçant des points, vous devez trouver trois points dont les coordonnées sont des solutions à l'équation. Vous pouvez utiliser les interceptions x et y comme deux de vos trois points. Trouvez les points d'interception, puis trouvez un troisième point pour garantir la précision. Assurez-vous que les points s'alignent, puis tracez la ligne. Cette méthode est souvent la méthode la plus rapide pour tracer une ligne.

    Exemple\(\PageIndex{9}\): How to Graph a Line Using the Intercepts

    Graphisme\(–x+2y=6\) à l'aide des interceptions.

    Solution :

    L'étape 1 consiste à trouver les points d'intersection x et y de la ligne. Pour trouver l'intersection X, supposons y plus 0 et résolvez pour x. L'équation négative x plus 2 y plus 6 devient négative x plus 2 fois 0 plus 6. Cela se réduit à moins x plus 6. Cela équivaut à x plus moins 6. L'intersection X est (négatif 6, 0). Pour trouver l'intersection y, on utilise x plus 0 et on résout pour y. L'équation négative x plus 2 y plus 6 devient moins 0 plus 2 y plus 6. Cela se réduit à moins 2 y plus 6. Cela équivaut à y plus 3. L'intersection y est (0, 3).L'étape 2 consiste à trouver une autre solution à l'équation. Nous utiliserons x plus 2. L'équation négative x plus 2 y plus 6 devient négative 2 plus 2 y plus 6. Cela simplifie à 2 ans plus 8. Cela équivaut à y plus 4. Le troisième point est (2, 4).L'étape 3 consiste à tracer les trois points. La figure montre un tableau à 4 lignes et 3 colonnes. La première ligne est une ligne d'en-tête avec les en-têtes x, y et (x, y). La deuxième ligne contient les valeurs négatives 6, 0 et (moins 6, 0). La troisième ligne contient 0, 3 et (0, 3). La quatrième ligne contient 2, 4 et (2, 4). La figure comporte également un graphique des trois points sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. Les trois points (négatif 6, 0), (0, 3) et (2, 4) sont tracés et étiquetés.L'étape 4 consiste à tracer la ligne. La figure montre un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 6 à 6. La ligne droite passe par les points (moins 6, 0), (0, 3) et (2, 4).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{17}\)

    Graphe utilisant les interceptions :\(x–2y=4\).

    Réponse

    La figure montre un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (négatif 4, négatif 4), (négatif 2, négatif 3), (0, négatif 2), (2, négatif 1), (4, 0), (6, 1) et (8, 2).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{18}\)

    Graphe utilisant les interceptions :\(–x+3y=6\).

    Réponse

    La figure montre un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (négatif 9, moins 1), (négatif 6, 0), (négatif 3, 1), (0, 2), (3, 3), (6, 4) et (9, 5).

    Les étapes pour représenter graphiquement une équation linéaire à l'aide des interceptions sont résumées ici.

    TRACEZ UNE ÉQUATION LINÉAIRE EN UTILISANT LES INTERCEPTES
    1. Trouvez les\(y\) points d'intersection\(x\) - et - de la ligne.
      • Soit y=0y=0 et résolvez pour\(x\).
      • Soit x=0x=0 et résolvez pour\(y\).
    2. Trouvez une troisième solution à l'équation.
    3. Tracez les trois points et vérifiez qu'ils s'alignent.
    4. Tracez la ligne.
    Exemple\(\PageIndex{10}\)

    Graphisme\(4x−3y=12\) à l'aide des interceptions.

    Solution :

    Trouvez les points d'interception et un troisième point.

    Pour trouver l'intersection X, laissez y plus 0 et résolvez pour x. L'équation 4 x moins 3 y plus 12 devient 4 x moins 3 fois 0 plus 12. Cela passe à moins 4 x plus 12. Cela équivaut à x plus 3. Pour trouver l'intersection y, on utilise x plus 0 et on résout pour y. L'équation 4 x moins 3 y plus 12 devient 4 fois 0 moins 3 y plus 12. Cela se réduit à moins 3 y plus 12. Cela équivaut à y plus moins 4. Pour trouver le troisième point, supposons y plus 4 et résolvez pour x. L'équation 4 x moins 3 y plus 12 devient 4 x moins 3 fois 4 plus 12. Cela passe à moins 4 x plus 24. Cela équivaut à x plus 6.

    Nous listons les points dans le tableau et montrons le graphique.

    \(4x−3y=12\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    3 0 \((3,0)\)
    0 \(−4\) \((0,−4)\)
    6 4 \((6,4)\)

    La figure montre un graphique de l'équation 4 x moins 3 y plus 12 sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 7 à 7. La ligne droite passe par les points (0, moins 4), (3, 0) et (6, 4).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{19}\)

    Graphe utilisant les interceptions :\(5x−2y=10\).

    Réponse

    La figure montre un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne droite passe par les points (0, moins 5), (2, 0) et (4, 5).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{20}\)

    Graphe utilisant les interceptions :\(3x−4y=12\).

    Réponse

    La figure montre un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 8 à 8. La ligne droite passe par les points (moins 4, moins 6), (0, moins 3), (4, 0) et (8, 3).

    Lorsque la ligne passe par l'origine, le\(x\) -intercept et le\(y\) -intercept sont le même point.

    Exemple\(\PageIndex{11}\)

    Graphisme\(y=5x\) à l'aide des interceptions.

    Solution :

    Pour trouver l'intersection X, laissez y plus 0 et résolvez pour x. L'équation y plus 5 x devient 0 plus 5 x. Cela se réduit à 0 plus x. L'intersection X est (0, 0). Pour trouver l'intersection y, on utilise x plus 0 et on résout pour y. L'équation y plus 5 x devient y plus 5 fois 0. Cela se simplifie à y plus 0. L'intersection y est également (0, 0).

    Cette ligne n'a qu'une seule interception. C'est le but\((0,0)\).

    Pour garantir la précision, nous devons tracer trois points. Puisque les\(y\) points d'intersection\(x\) - et -sont identiques, nous avons besoin de deux points supplémentaires pour tracer la ligne.

    Pour trouver un deuxième point, supposons x plus 1 et résolvez pour y. L'équation y plus 5 x devient y plus 5 fois 1. Cela simplifie à y plus 5. Pour trouver un troisième point, supposons x plus moins 1 et résolvez pour y. L'équation y plus 5 x devient y plus 5 fois moins 1. Cela se simplifie en y plus moins 5

    Les trois points qui en résultent sont résumés dans le tableau.

    \(y=5x\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 0 \((0,0)\)
    1 5 \((1,5)\)
    \(−1\) \(−5\) \((−1,−5)\)

    Tracez les trois points, vérifiez qu'ils s'alignent et tracez la ligne.

    La figure montre un graphique de l'équation y plus 5 x sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. La ligne droite passe par les points (moins 1, moins 5), (0, 0) et (1, 5).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{21}\)

    Graphe utilisant les interceptions :\(y=4x\).

    Réponse

    La figure montre un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (moins 1, moins 4), (0, 0) et (1, 4).

    Essayez-le ! \(\PageIndex{22}\)

    Représentez graphiquement les interceptions :\(y=−x\).

    Réponse

    La figure montre un graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (moins 1, 1), (0, 0) et (1, moins 1).

    Concepts clés

    • Points sur les axes
      • Les points dont la\(y\) coordonnée est égale à se\(0\) trouvent sur l'\(x\)axe des points et ont des coordonnées\((a,0)\).
      • Les points dont la\(x\) coordonnée est égale à se\(0\) trouvent sur l'\(y\)axe des points et possèdent des coordonnées\((0,b)\).
    • Quadrant
      Quadrant I Quadrant II Quadrant III Quadrant IV
      \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
      \((+,+)\) \((-,+)\) \((-,-)\) \((+,-)\)

      Cette figure montre le plan de coordonnées x y avec les quatre quadrants étiquetés. En haut à droite de l'avion se trouve le quadrant I étiqueté (plus, plus). En haut à gauche de l'avion se trouve le quadrant II étiqueté (moins, plus). En bas à gauche de l'avion se trouve le quadrant III étiqueté (moins, moins). En bas à droite de l'avion se trouve le quadrant IV étiqueté (plus, moins).

    • Graphique d'une équation linéaire : Le graphique d'une équation linéaire\(Ax+By=C\) est une ligne droite.
      Chaque point de la ligne est une solution de l'équation.
      Chaque solution de cette équation correspond à un point sur cette ligne.
    • Comment représenter graphiquement une équation linéaire en traçant des points.
      1. Trouvez trois points dont les coordonnées sont des solutions à l'équation. Organisez-les dans un tableau.
      2. Tracez les points dans un système de coordonnées rectangulaires. Vérifiez que les points s'alignent. Si ce n'est pas le cas, vérifiez attentivement votre travail.
      3. Tracez la ligne passant par les trois points. Prolongez la ligne pour remplir la grille et placez des flèches aux deux extrémités de la ligne.
    • \(x\)-interception et\(y\) -interception d'une ligne
      • L'\(x\)-intercept est le point\((a,0)\) où la ligne croise l'\(x\)axe.
      • L'\(y\)-intercept est le point\((0,b)\) où la ligne croise l'\(y\)axe.

    Le tableau comporte 3 lignes et 2 colonnes. La première ligne est une ligne d'en-tête avec les en-têtes x et y. La deuxième ligne contient a et 0. L'intersection X se produit lorsque y est égal à zéro. La troisième ligne contient 0 et b. L'intersection y se produit lorsque x est égal à zéro.

    • Trouvez les\(y\) interceptions\(x\) - et -à partir de l'équation d'une droite
      • Utilisez l'équation de la droite. Pour trouver :
        l'\(x\)-intercept de la ligne, laissez\(y=0\) et résolvez pour\(x.\)
        le\(y\) -intercept de la ligne, laissez\(x=0\) et résolvez pour\(y.\)
    • Comment représenter graphiquement une équation linéaire à l'aide des interceptions.
      1. Trouvez les\(y\) points d'intersection\(x\) - et - de la ligne.
        Laissez\(y=0\) et résolvez pour\(x.\)
        Laissez\(x=0\) et résolvez pour\(y.\)
      2. Trouvez une troisième solution à l'équation.
      3. Tracez les trois points et vérifiez qu'ils s'alignent.
      4. Tracez la ligne.

    Lexique

    ligne horizontale
    Une ligne horizontale est le graphique d'une équation de la forme\(y=b.\) La droite passe par l'\(y\)axe -à\((0,b).\)
    interceptions d'une ligne
    Les points où une ligne croise l'\(x\)axe -et l'\(y\)axe -sont appelés points d'intersection de la ligne.
    équation linéaire
    Une équation de la forme\(Ax+By=C,\) où\(A\) et ne\(B\) sont pas tous les deux nuls est appelée équation linéaire à deux variables.
    paire commandée
    Une paire ordonnée\((x,y),\) donne les coordonnées d'un point dans un système de coordonnées rectangulaires. Le premier chiffre est la\(x\) coordonnée. Le deuxième nombre est la\(y\) coordonnée.
    origine
    Le point\((0,0)\) s'appelle l'origine. C'est le point où l'\(x\)axe -et l'\(y\)axe -se croisent.
    solution d'une équation linéaire à deux variables
    Une paire ordonnée\((x,y)\) est une solution de l'équation linéaire\(Ax+By=C,\) si l'équation est une déclaration vraie lorsque les\(y\) valeurs\(x\) - et - de la paire ordonnée sont substituées dans l'équation.
    forme standard d'une équation linéaire
    Une équation linéaire est sous forme standard lorsqu'elle est écrite\(Ax+By=C.\)
    ligne verticale
    Une ligne verticale est le graphique d'une équation de la forme\(x=a.\) La droite passe par l'\(x\)axe -à\((a,0).\)