1.2 : Utiliser le langage de l'algèbre
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Trouvez des facteurs, des factorisations premières et des multiples les moins courants
- Utiliser des variables et des symboles algébriques
- Simplifier les expressions en utilisant l'ordre des opérations
- Evaluer une expression
- Identifier et combiner des termes similaires
- Traduisez une phrase anglaise en une expression algébrique
Ce chapitre est destiné à être une brève revue des concepts qui seront nécessaires dans un cours d'algèbre intermédiaire. Une introduction plus complète aux sujets abordés dans ce chapitre se trouve dans le chapitre sur l'algèbre élémentaire, Fondations.
Trouvez des facteurs, des factorisations premières et des multiples les moins courants
Les nombres 2, 4, 6, 8, 10, 12 sont appelés multiples de 2. Un multiple de 2 peut être écrit comme le produit d'un nombre de comptage et de 2.
De même, un multiple de 3 serait le produit d'un nombre de comptage et de 3.
Nous pourrions trouver les multiples de n'importe quel nombre en continuant ce processus.
| Nombre de comptage | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Multiples de 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| Multiples de 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
| Multiples de 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| Multiples de 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| Multiples de 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
| Multiples de 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| Multiples de 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
| Multiples de 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
Un nombre est un multiple de\(n\) s'il est le produit d'un nombre de comptage et\(n\).
Une autre façon de dire que 15 est un multiple de 3 est de dire que 15 est divisible par 3. Cela signifie que lorsque nous divisons 3 en 15, nous obtenons un nombre de comptage. En fait, l'\(15÷3\)est\(5\), il en\(15\) est ainsi\(5⋅3\).
Si un nombre\(m\) est un multiple de\(n\), il\(m\) est divisible par\(n\).
Si nous recherchions des modèles dans les multiples des nombres de 2 à 9, nous découvririons les tests de divisibilité suivants :
Un nombre est divisible par :
- 2 si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- 3 si la somme des chiffres est divisible par 3.
- 5 si le dernier chiffre est 5 ou 0.
- 6 s'il est divisible à la fois par 2 et par 3.
- 10 s'il se termine par 0.
Est-ce que 5.625 est divisible par
- 2 ?
- 3 ?
- 5 ou 10 ?
- 6 ?
- Réponse
-
un.
\(\text{Is 5,625 divisible by 2?}\)
\( \begin{array}{ll} \text{Does it end in 0, 2, 4, 6 or 8?} & {\text{No.} \\ \text{5,625 is not divisible by 2.}} \end{array}\) - b.
\(\text{5,625 divisible by 3?}\)
\(\begin{array}{ll} {\text{What is the sum of the digits?} \\ \text{Is the sum divisible by 3?}} & {5+6+2+5=18 \\ \text{Yes.} \\ \text{5,625 is divisible by 3.}}\end{array}\) - c.
\(\text{Is 5,625 divisible by 5 or 10?}\)
\(\begin{array}{ll} \text{What is the last digit? It is 5.} & \text{5,625 is divisible by 5 but not by 10.} \end{array}\)d.\(\text{Is 5,625 divisible by 6?}\)
\(\begin{array}{ll}\text{Is it divisible by both 2 and 3?} & {\text{No, 5,625 is not divisible by 2, so 5,625 is} \\ \text{not divisible by 6.}} \end{array}\)
Est-ce que 4.962 est divisible par un. 2 ? Un numéro 3 ? Environ 5 ans ? Un 6 ans ? Un 10 ?
- Réponse
-
a. oui b. oui c. non d. oui e. non
Est-ce que 3.765 est divisible par un. 2 ? Un numéro 3 ? Environ 5 ans ? Un 6 ans ? Un 10 ?
- Réponse
-
a. non b. oui c. oui d. non e. non
En mathématiques, il existe souvent plusieurs manières de parler des mêmes idées. Jusqu'à présent, nous avons vu que\(m\) c'est un multiple de\(n\), on peut dire que\(m\) c'est divisible par\(n\). Par exemple, puisque 72 est un multiple de 8, nous disons que 72 est divisible par 8. Puisque 72 est un multiple de 9, on dit que 72 est divisible par 9. Nous pouvons exprimer cela d'une autre manière encore.
Puisque\(8·9=72\), on dit que 8 et 9 sont des facteurs de 72. Lorsque nous écrivons\(72=8·9\), nous disons que nous avons pris en compte 72.
Les autres moyens de prendre en compte\(72\) sont\(1·72, \; 2·36, \; 3·24, \; 4·18,\) et\(6⋅12\). Le nombre 72 a de nombreux facteurs :\(1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,9,\,12,\,18,\,24,\,36,\) et\(72\).
Si\(a\) et\(b\) comptent les nombres, et\(a·b=m\), alors\(a\) et\(b\) sont des facteurs de\(m\).
Certains nombres, tels que 72, ont de nombreux facteurs. Les autres chiffres n'ont que deux facteurs. Un nombre premier est un nombre de comptage supérieur à 1 dont les seuls facteurs sont 1 et lui-même.
Un nombre premier est un nombre de comptage supérieur à 1 dont les seuls facteurs sont 1 et le nombre lui-même.
Un nombre composé est un nombre de comptage qui n'est pas premier. Un nombre composé possède des facteurs autres que 1 et le nombre lui-même.
Les nombres de comptage de 2 à 20 sont listés dans le tableau avec leurs facteurs. Assurez-vous d'être d'accord avec l'étiquette « principale » ou « composite » pour chacun d'entre eux !
Les nombres premiers inférieurs à 20 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19. Notez que le seul nombre premier pair est 2.
Un nombre composé peut être écrit comme un produit unique de nombres premiers. C'est ce que l'on appelle la factorisation première du nombre. Trouver la factorisation première d'un nombre composé sera utile dans de nombreuses rubriques de ce cours.
La factorisation en nombres premiers d'un nombre est le produit des nombres premiers qui sont égaux au nombre.
Pour déterminer la factorisation première d'un nombre composé, trouvez deux facteurs quelconques du nombre et utilisez-les pour créer deux branches. Si un facteur est premier, cette branche est complète. Encerclez ce sommet. Sinon, il est facile de perdre la trace des nombres premiers.
Si le facteur n'est pas premier, trouvez deux facteurs du nombre et poursuivez le processus. Une fois que toutes les branches ont encerclé des nombres premiers à la fin, la factorisation est terminée. Le nombre composé peut désormais être écrit comme un produit de nombres premiers.
Facteur 48.
- Réponse
-
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Nous disons que\(2⋅2⋅2⋅2⋅3\) c'est la factorisation première de 48. Nous écrivons généralement les nombres premiers par ordre croissant. Assurez-vous de multiplier les facteurs pour vérifier votre réponse. \(2⋅2⋅2⋅2⋅3\)est la factorisation première de 48. Nous écrivons généralement les nombres premiers par ordre croissant. Assurez-vous de multiplier les facteurs pour vérifier votre réponse.
Si nous avons d'abord factorisé 48 d'une manière différente, par exemple\(6·8\), le résultat serait toujours le même. Terminez la factorisation des matières premières et vérifiez-la par vous-même.
Trouvez la factorisation principale de\(80\).
- Réponse
-
\(2⋅2⋅2⋅2⋅5\)
Trouvez la factorisation principale de\(60\).
- Réponse
-
\(2⋅2⋅3⋅5\)
- Trouvez deux facteurs dont le produit est le nombre donné et utilisez ces nombres pour créer deux branches.
- Si un facteur est premier, cette branche est complète. Encerclez la fleur, comme une feuille sur l'arbre.
- Si un facteur n'est pas premier, écrivez-le comme le produit de deux facteurs et poursuivez le processus.
- Écrivez le nombre composé comme le produit de tous les nombres premiers encerclés.
L'une des raisons pour lesquelles nous examinons les nombres premiers est d'utiliser ces techniques pour trouver le multiple le moins courant de deux nombres. Cela sera utile lorsque nous additionnons et soustrayons des fractions avec différents dénominateurs.
Le plus petit multiple commun (LCM) de deux nombres est le plus petit nombre qui est un multiple des deux nombres.
Pour trouver le multiple le moins courant de deux nombres, nous utiliserons la méthode des facteurs premiers. Déterminons le LCM de 12 et 18 en utilisant leurs facteurs premiers.
Déterminez le multiple le moins commun (LCM) de 12 et 18 à l'aide de la méthode des facteurs premiers.
- Réponse
-
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Notez que les facteurs premiers de 12\((2·2·3)\) et les facteurs premiers de 18\((2⋅3⋅3)\) sont inclus dans le LCM\((2·2·3·3)\). 36 est donc le multiple le moins courant de 12 et 18.
En faisant correspondre les nombres premiers communs, chaque facteur premier commun n'est utilisé qu'une seule fois. De cette façon, vous êtes sûr que 36 est le multiple le moins courant.
Déterminez le LCM de 9 et 12 à l'aide de la méthode des facteurs premiers.
- Réponse
-
36
Déterminez le LCM de 18 et 24 à l'aide de la méthode des facteurs premiers.
- Réponse
-
72
- Écrivez chaque nombre comme un produit de nombres premiers.
- Répertoriez les nombres premiers de chaque nombre. Faites correspondre les nombres premiers verticalement si possible.
- Abattez les colonnes.
- Multipliez les facteurs.
Utiliser des variables et des symboles algébriques
En algèbre, nous utilisons une lettre de l'alphabet pour représenter un nombre dont la valeur peut changer. Nous appelons cela une variable et les lettres couramment utilisées pour les variables sont\(x,\,y,\,a,\,b,\) et\(c.\)
Une variable est une lettre qui représente un nombre dont la valeur peut changer.
Un nombre dont la valeur reste toujours la même est appelé constante.
Une constante est un nombre dont la valeur reste toujours la même.
Pour écrire de manière algébrique, nous avons besoin de symboles d'opération ainsi que de nombres et de variables. Nous utiliserons plusieurs types de symboles. Il existe quatre opérations arithmétiques de base : addition, soustraction, multiplication et division. Nous allons énumérer les symboles utilisés pour indiquer ces opérations ci-dessous.
| Opération | Notation | Dis : | Le résultat est... |
|---|---|---|---|
| Ajout | \(a+b\) | \(a\)plus\(b\) | la somme de\(a\) et\(b\) |
| Soustraction | \(a−b\) | \(a\)moins\(b\) | la différence entre\(a\) et\(b\) |
| MULTIPLICATION | \(a⋅b,\,ab,\,(a)(b),\,(a)b,\,a(b)\) | \(a\)fois\(b\) | le produit de\(a\) et\(b\) |
| Division | \(a÷b,\,\space a/b,\,\space\frac{a}{b},\,\space b \overline{\smash{)}a}\) | \(a\)divisé par\(b\) | le quotient de\(a\) et\(b\) ; \(a\) est appelé dividende et s'\(b\)appelle le diviseur |
Lorsque deux quantités ont la même valeur, on dit qu'elles sont égales et on les relie par un signe égal.
\(a=b\)se lit comme suit : «\(a\) est égal à »\(b\).
Le symbole «\(=\) » est appelé signe égal.
Sur la ligne numérique, les chiffres s'agrandissent à mesure qu'ils vont de gauche à droite. La ligne numérique peut être utilisée pour expliquer les symboles «\(<\) » et «\(>\) ».
Les expressions\(a<b\) ou\(a>b\) peuvent être lues de gauche à droite ou de droite à gauche, bien qu'en anglais, nous lisons généralement de gauche à droite. D'une manière générale,
\[a<b \text{ is equivalent to }b>a. \text{For example, } 7<11 \text{ is equivalent to }11>7.\]
\[a>b \text{ is equivalent to }b<a. \text{For example, } 17>4 \text{ is equivalent to }4<17.\]
| Les symboles d'inégalité | Paroles |
|---|---|
| \(a\neq b\) | \(a\)n'est pas égal à\(b\). |
| \(a<b\) | \(a\)est inférieur à\(b\). |
| \(a\leq b\) | \(a\)est inférieur ou égal à\(b\). |
| \(a>b\) | \(a\)est supérieur à\(b\). |
| \(a\geq b\) | \(a\)est supérieur ou égal à\(b\). |
Les symboles de regroupement en algèbre ressemblent beaucoup aux virgules, aux deux-points et aux autres signes de ponctuation en anglais. Ils aident à identifier une expression, qui peut être composée d'un nombre, d'une variable ou d'une combinaison de nombres et de variables à l'aide de symboles d'opération. Nous allons maintenant introduire trois types de symboles de regroupement.
\[\begin{array}{lc} \text{Parentheses} & \mathrm{()} \\ \text{Brackets} & \mathrm{[]} \\ \text{Braces} & \mathrm{ \{ \} } \end{array}\]
Voici quelques exemples d'expressions qui incluent des symboles de regroupement. Nous simplifierons les expressions de ce type plus loin dans cette section.
\[8(14−8) \qquad 21−3[2+4(9−8)] \qquad 24÷ \{13−2[1(6−5)+4]\}\]
Quelle est la différence en anglais entre une phrase et une phrase ? Une phrase exprime une pensée unique qui est incomplète en elle-même, mais une phrase fait une déclaration complète. Une phrase a un sujet et un verbe. En algèbre, nous avons des expressions et des équations.
Une expression est un nombre, une variable ou une combinaison de nombres et de variables utilisant des symboles d'opération.
\[\begin{array}{lll} \textbf{Expression} & \textbf{Words} & \textbf{English Phrase} \\ \mathrm{3+5} & \text{3 plus 5} & \text{the sum of three and five} \\ \mathrm{n−1} & n\text{ minus one} & \text{the difference of } n \text{ and one} \\ \mathrm{6·7} & \text{6 times 7} & \text{the product of six and seven} \\ \frac{x}{y} & x \text{ divided by }y & \text{the quotient of }x \text{ and }y \end{array} \]
Notez que les phrases anglaises ne forment pas une phrase complète car la phrase ne possède pas de verbe.
Une équation est constituée de deux expressions liées par un signe égal. Lorsque vous lisez les mots que les symboles représentent dans une équation, vous obtenez une phrase complète en anglais. Le signe égal donne le verbe.
Une équation est constituée de deux expressions reliées par un signe égal.
\[\begin{array}{ll} \textbf{Equation} & \textbf{English Sentence} \\ 3+5=8 & \text{The sum of three and five is equal to eight.} \\ n−1=14 & n \text{ minus one equals fourteen.} \\ 6·7=42 & \text{The product of six and seven is equal to forty-two.} \\ x=53 & x \text{ is equal to fifty-three.} \\ y+9=2y−3 & y \text{ plus nine is equal to two } y \text{ minus three.} \end{array}\]
Supposons que nous devions multiplier 2 neuf fois. On pourrait écrire ça comme\(2·2·2·2·2·2·2·2·2\). C'est fastidieux et il peut être difficile de suivre tous ces 2, nous utilisons donc des exposants. Nous écrivons\(2·2·2\) au fur\(\mathrm{2^3}\) et à\(2·2·2·2·2·2·2·2·2\) mesure\(2^9\). Dans des expressions telles que\(2^3\), le 2 est appelé base et le 3 est appelé exposant. L'exposant nous indique combien de fois nous devons multiplier la base.
Nous disons\(2^3\) est en notation exponentielle et\(2·2·2\) est en notation étendue.
\(a^n\)signifie multiplier\(n\) les facteurs du nombre\(a\).
L'expression\(a^n\) est lue\(a\) à la\(n^{th}\) puissance.
Pendant que nous\(a^n\) lisons\(“a\) sur le «\(n^{th}\) pouvoir », nous lisons généralement :
\[\begin{array}{cc} a^2 & “a \text{ squared}” \\ a^3 & “a \text{ cubed}” \end{array}\]
Nous verrons plus tard pourquoi\(a^2\) et nous aurons\(a^3\) des noms spéciaux.
Le tableau montre comment nous lisons certaines expressions avec des exposants.
| Expression | En mots | |
|---|---|---|
| 7 2 | 7 à la deuxième puissance ou | 7 au carré |
| 5 3 | 5 à la troisième puissance ou | 5 cubes |
| 9 4 | 9 à la quatrième puissance | |
| 12 5 | 12 à la cinquième puissance |
Simplifier les expressions en utilisant l'ordre des opérations
Simplifier une expression signifie faire tous les calculs possibles. Par exemple, pour simplifier,\(\mathrm{4·2+1}\) nous devons d'abord multiplier\(\mathrm{4⋅2}\) pour obtenir 8, puis ajouter le 1 pour obtenir 9. Une bonne habitude à prendre est de travailler en bas de la page, en écrivant chaque étape du processus en dessous de l'étape précédente. L'exemple qui vient d'être décrit ressemblerait à ceci :
\[ 4⋅2+1 \\ 8+1 \\ 9\]
En n'utilisant pas le signe égal lorsque vous simplifiez une expression, vous pouvez éviter de confondre expressions et équations.
Pour simplifier une expression, effectuez toutes les opérations qu'elle contient.
Nous avons introduit la plupart des symboles et des notations utilisés en algèbre, mais nous devons maintenant clarifier l'ordre des opérations. Dans le cas contraire, les expressions peuvent avoir des significations différentes et donner lieu à des valeurs différentes.
Par exemple, considérez l'expression\(4+3⋅7\). Certains étudiants simplifient cela en obtenant 49, en ajoutant\(4+3\) puis en multipliant ce résultat par 7. D'autres obtiennent 25, en multipliant\(3·7\) d'abord puis en ajoutant 4.
La même expression doit donner le même résultat. Les mathématiciens ont donc établi des directives appelées ordre des opérations.
- Parenthèses et autres symboles de regroupement
- Simplifiez toutes les expressions entre parenthèses ou autres symboles de regroupement, en commençant par les parenthèses les plus internes.
- Exposants
- Simplifiez toutes les expressions avec des exposants.
- Multiplication et division
- Effectuez toutes les multiplications et divisions dans l'ordre de gauche à droite. Ces opérations ont la même priorité.
- Addition et soustraction
- Effectuez toutes les additions et soustractions dans l'ordre, de gauche à droite. Ces opérations ont la même priorité.
Les élèves demandent souvent : « Comment me souviendrai-je de la commande ? » Voici une façon de vous aider à vous en souvenir : prenez la première lettre de chaque mot clé et remplacez-la par la phrase idiote « Excusez ma chère tante Sally ».
\[\begin{array}{ll} \text{Parentheses} & \text{Please} \\ \text{Exponents} & \text{Excuse} \\ \text{Multiplication Division} & \text{My Dear} \\ \text{Addition Subtraction} & \text{Aunt Sally} \end{array}\]
C'est bien que « M y D ear » aille de pair, car cela nous rappelle que ma multiplication et ma division ont la même priorité. Nous ne faisons pas toujours la multiplication avant la division ou nous ne faisons pas toujours la division avant la multiplication. Nous les faisons dans l'ordre de gauche à droite.
De même, « A unt S ally » va de pair et nous rappelle ainsi qu'une addition et une soustraction ont également la même priorité et que nous les faisons dans l'ordre de gauche à droite.
Simplifiez :\(18÷6+4(5−2)\).
- Réponse
-
Des parenthèses ? Oui, soustrayez d'abord. 
Des exposants ? Non Multiplication ou division ? Oui. Divisez d'abord car nous multiplions et divisons de gauche à droite. 
Y a-t-il une autre multiplication ou division ? Oui. Multipliez. 
Y a-t-il une autre multiplication de divisions ? Non Une addition ou une soustraction ? Oui. Ajoutez. 
Simplifiez :\(30÷5+10(3−2).\)
- Réponse
-
16
Simplifiez :\(70÷10+4(6−2).\)
- Réponse
-
23
Lorsqu'il existe plusieurs symboles de regroupement, nous simplifions d'abord les parenthèses les plus internes et nous travaillons vers l'extérieur.
Simplifiez :\(5+2^3+3[6−3(4−2)].\)
- Réponse
-
Y a-t-il des parenthèses (ou d'autres symboles de regroupement) ? Oui. 
Concentrez-vous sur les parenthèses qui se trouvent à l'intérieur des crochets. Soustraire. 
Continuez entre crochets et multipliez. 
Continuez entre crochets et soustrayez. 
L'expression entre crochets n'a pas besoin d'être simplifiée davantage. Y a-t-il des exposants ? Oui. Simplifiez les exposants. 
Y a-t-il une multiplication ou une division ? Oui. Multipliez. 
Y a-t-il un ajout de soustraction ? Oui. Ajoutez. 
Ajoutez. 
Simplifiez :\(9+5^3−[4(9+3)].\)
- Réponse
-
86
Simplifiez :\(7^2−2[4(5+1)].\)
- Réponse
-
1
Evaluer une expression
Dans les derniers exemples, nous avons simplifié les expressions en utilisant l'ordre des opérations. Nous allons maintenant évaluer certaines expressions, toujours en suivant l'ordre des opérations. Évaluer une expression signifie trouver la valeur de l'expression lorsque la variable est remplacée par un nombre donné.
Évaluer une expression signifie trouver la valeur de l'expression lorsque la variable est remplacée par un nombre donné.
Pour évaluer une expression, remplacez ce nombre par la variable de l'expression, puis simplifiez l'expression.
Évaluez quand\(x=4\) : a.\(x^2\) b.\(3^x\)\(2x^2+3x+8\) c.
- Réponse
-
un.
b.
Utilisez la définition de l'exposant. 
Simplifiez. 
c.
Utilisez la définition de l'exposant. 
Simplifiez. 
Suivez l'ordre des opérations. .jpg)
Évaluez quand\(x=3\), a.\(x^2\) b.\(4^x\)\(3x^2+4x+1\) c.
- Réponse
-
a. 9
b. 64
c. 40
Évaluez quand\(x=6\), a.\(x^3\) b.\(2^x\)\(6x^2−4x−7\) c.
- Réponse
-
a. 216
b. 64
c. 185
Identifier et combiner des termes similaires
Les expressions algébriques sont composées de termes. Un terme est une constante, ou le produit d'une constante et d'une ou plusieurs variables.
Un terme est une constante ou le produit d'une constante et d'une ou plusieurs variables.
Des exemples de termes sont\(7,\,y,\,5x^2,\,9a,\) et\(b^5\).
La constante qui multiplie la variable s'appelle le coefficient.
Le coefficient d'un terme est la constante qui multiplie la variable d'un terme.
Considérez le coefficient comme le nombre situé devant la variable. Le coefficient du terme\(3x\) est de 3. Lorsque nous écrivons\(x\), le coefficient est de 1, puisque\(x=1⋅x\).
Certains termes ont des traits communs. Lorsque deux termes sont des constantes ou ont la même variable et le même exposant, nous disons que ce sont des termes similaires.
Examinez les 6 termes suivants. Lesquels semblent avoir des traits communs ?
\[5x \quad 7 \quad n^2 \quad 4 \quad 3x \quad 9n^2\]
Nous disons :
\(7\)et\(4\) sont similaires à des termes.
\(5x\)et\(3x\) sont similaires à des termes.
\(n^2\)et\(9n^2\) sont similaires à des termes.
Les termes qui sont soit des constantes, soit des termes dont les mêmes variables sont augmentées aux mêmes puissances sont appelés termes similaires.
Si une expression contient des termes similaires, vous pouvez simplifier l'expression en combinant les termes similaires. Nous ajoutons les coefficients et conservons la même variable.
\[\begin{array}{lc} \text{Simplify.} & 4x+7x+x \\ \text{Add the coefficients.} & 12x \end{array}\]
Simplifiez :\(2x^2+3x+7+x^2+4x+5\).
- Réponse
-
Simplifiez :\(3x^2+7x+9+7x^2+9x+8\).
- Réponse
-
\(10x^2+16x+17\)
Simplifiez :\(4y^2+5y+2+8y^2+4y+5.\)
- Réponse
-
\(12y^2+9y+7\)
- Identifiez les termes similaires.
- Réorganisez l'expression de manière à ce que les termes soient ensemble.
- Ajoutez ou soustrayez les coefficients et conservez la même variable pour chaque groupe de termes similaires.
Traduire une phrase anglaise en une expression algébrique
Nous avons répertorié de nombreux symboles d'opération utilisés en algèbre. Maintenant, nous allons les utiliser pour traduire des phrases anglaises en expressions algébriques. Les symboles et les variables dont nous avons parlé nous aideront à y parvenir. Le tableau les résume.
| Opération | Expression | Expression |
|---|---|---|
| Ajout | \(a\)plus\(b\)
la somme de\(a\) et\(b\) \(a\)augmenté de\(b\) \(b\)plus de\(a\) le total de\(a\) et\(b\) \(b\)ajouté à\(a\) |
\(a+b\) |
| Soustraction | \(a\)moins\(b\)
la différence entre\(a\) et\(b\) \(a\)diminué de\(b\) \(b\)inférieur à\(a\) \(b\)soustrait de\(a\) |
\(a−b\) |
| MULTIPLICATION | \(a\)fois\(b\)
le produit de\(a\) et\(b\) deux fois\(a\) |
\(a·b,\,ab,\,a(b),\,(a)(b)\)
\(2a\) |
| Division | \(a\)divisé par\(b\)
le quotient de\(a\) et\(b\) le ratio de\(a\) et\(b\) \(b\)divisé en\(a\) |
\(a÷b,\,a/b,\,\frac{a}{b},\,b \overline{\smash{)}a}\) |
Examinez attentivement ces phrases à l'aide des quatre opérations suivantes :
Chaque phrase nous indique d'opérer sur deux nombres. Recherchez les mots de et et pour trouver les chiffres.
Chaque phrase nous indique d'opérer sur deux nombres. Recherchez les mots de et et pour trouver les chiffres.
Traduisez chaque phrase anglaise en une expression algébrique :
a. la différence entre\(14x\) et\(9\)
b. le quotient de\(8y^2\) et\(3\)c. douze de plus que\(y\)
d. sept de moins que\(49x^2\)
- Réponse
-
a. Le mot clé est différence, qui nous indique que l'opération est la soustraction. Recherchez les mots de et t pour trouver les nombres à soustraire.
b. Le mot clé est quotient, qui nous indique que l'opération est la division.
c. Les mots clés sont plus que. Ils nous disent que l'opération est un ajout. Plus que cela signifie « ajouté à ».
\[\text{twelve more than }y \\ \text{twelve added to }y \\ y+12\]
d. Les mots clés sont inférieurs à. Ils nous disent de soustraire. Moins que signifie « soustrait de ».
\[\text{seven less than }49x^2 \\ \text{seven subtracted from }49x^2 \\ 49x^2−7\]
Traduisez la phrase anglaise en une expression algébrique :
a. la différence entre\(14x^2\) et\(13\)
b. le quotient de\(12x\) et\(2\)
c.\(13\) plus de\(z\)
d.\(18\) inférieur à\(8x\)
- Réponse
-
a.\(14x^2−13\) b.\(12x÷2\)
\(z+13\)c.d.\(8x−18\)
Traduisez la phrase anglaise en une expression algébrique :
a. la somme de\(17y^2\) et\(19\)
b. le produit de\(7\) et\(y\)
c. Onze de plus que\(x\)
d. Quatorze de moins que\(11a\)
- Réponse
-
a.\(17y^2+19\) b.\(7y\)
\(x+11\)c.d.\(11a−14\)
Nous examinons attentivement les mots pour nous aider à faire la distinction entre la multiplication d'une somme et l'ajout d'un produit.
Traduisez la phrase anglaise en une expression algébrique :
a. huit fois la somme de\(x\) et\(y\)
b. la somme de huit fois\(x\) et\(y\)
- Réponse
-
Il y a deux mots d'opération : les temps nous indiquent de multiplier et la somme nous indique d'ajouter.
a. Comme nous\(8\) multiplions par la somme, nous avons besoin de parenthèses autour de la somme de\(x\) et\(y\),\((x+y)\). Cela nous oblige à déterminer d'abord la somme. (N'oubliez pas l'ordre des opérations.)
\[\text{eight times the sum of }x \text{ and }y \\ 8(x+y)\]
b. Pour obtenir une somme, nous cherchons les mots de et et voyons ce qui est ajouté. Ici, nous prenons la somme de huit fois\(x\) et\(y\).
Traduisez la phrase anglaise en une expression algébrique :
a. quatre fois la somme de\(p\) et\(q\)
b. la somme de quatre fois\(p\) et\(q\)
- Réponse
-
a.\(4(p+q)\) b.\(4p+q\)
Traduisez la phrase anglaise en une expression algébrique :
a. la différence de deux fois\(x\) et\(8\)
b. deux fois la différence entre\(x\) et\(8\)
- Réponse
-
a.\(2x−8\) b.\(2(x−8)\)
Plus tard dans ce cours, nous appliquerons nos compétences en algèbre à la résolution d'applications. La première étape consistera à traduire une phrase anglaise en une expression algébrique. Nous verrons comment procéder dans les deux exemples suivants.
La longueur d'un rectangle est inférieure de 14 % à sa largeur. \(w\)Représentent la largeur du rectangle. Écrivez une expression pour la longueur du rectangle.
- Réponse
-
\[\begin{array}{lc} \text{Write a phrase about the length of the rectangle.} & \text{14 less than the width} \\ \text{Substitute }w \text{ for “the width.”} & w \\ \text{Rewrite less than as subtracted from.} & \text{14 subtracted from } w \\ \text{Translate the phrase into algebra.} & w−14 \end{array}\]
La longueur d'un rectangle est inférieure de 7 % à sa largeur. \(w\)Représentent la largeur du rectangle. Écrivez une expression pour la longueur du rectangle.
- Réponse
-
\(w−7\)
La largeur d'un rectangle est\(6\) inférieure à sa longueur. \(l\)Représentent la longueur du rectangle. Ecrivez une expression pour la largeur du rectangle.
- Réponse
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\(l−6\)
Les expressions de l'exemple suivant seront utilisées dans les problèmes typiques de mélange de pièces que nous verrons bientôt.
June a des pièces de dix cents dans son sac à main. Le nombre de pièces de dix cents est inférieur à quatre fois le nombre de trimestres. \(q\)Représentez le nombre de trimestres. Écrivez une expression pour le nombre de centimes.
- Réponse
-
\[\begin{array}{lc} \text{Write a phrase about the number of dimes.} & \text{7 less than 4 times }q \\ \text{Translate 4 times }q. & \text{7 less than 4}q \\ \text{Translate the phrase into algebra.} & 4q−7 \end{array}\]
Geoffrey a des pièces de dix cents en poche. Le nombre de pièces de dix cents est inférieur à quatre fois le nombre de trimestres. \(q\)Représentez le nombre de trimestres. Écrivez une expression pour le nombre de centimes.
- Réponse
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\(4q−8\)
Lauren a des pièces de dix cents dans son sac à main. Le nombre de dix cents est trois fois plus que sept fois supérieur à celui des pièces de cinq cents. \(n\)Représentent le nombre de nickels. Écrivez une expression pour le nombre de centimes.
- Réponse
-
\(7n+3\)
Concepts clés
- Tests de divisibilité
Un nombre est divisible par :
2 si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
3 si la somme des chiffres est divisible par 3.
5 si le dernier chiffre est 5 ou 0.
6 s'il est divisible à la fois par 2 et par 3.
10 s'il se termine par 0. - Comment déterminer la factorisation première d'un nombre composé.
- Trouvez deux facteurs dont le produit est le nombre donné et utilisez ces nombres pour créer deux branches.
- Si un facteur est premier, cette branche est complète. Encerclez la fleur, comme un bourgeon sur l'arbre.
- Si un facteur n'est pas premier, écrivez-le comme le produit de deux facteurs et poursuivez le processus.
- Écrivez le nombre composé comme le produit de tous les nombres premiers encerclés.
- Comment trouver le multiple le moins courant en utilisant la méthode des facteurs premiers.
- Écrivez chaque nombre comme un produit de nombres premiers.
- Répertoriez les nombres premiers de chaque nombre. Faites correspondre les nombres premiers verticalement si possible.
- Abattez les colonnes.
- Multipliez les facteurs.
\(a=b\)Le symbole de l'égalité se lit comme suit : «\(a\) est égal à »\(b\). Le symbole « = » est appelé signe égal.- Les symboles d'inégalité
Les symboles d'inégalité Paroles \(a≠b\) \(a\)n'est pas égal à\(b\). \(a<b\) \(a\)est inférieur à\(b\). \(a≤b\) \(a\)est inférieur ou égal à\(b\). \(a>b\) \(a\)est supérieur à\(b\). \(a≥b\) \(a\)est supérieur ou égal à \(b\). - Regroupement de symboles\(\begin{array}{lc} \text{Parentheses} & \mathrm{()} \\ \text{Brackets} & \mathrm{[]} \\ \text{Braces} & \mathrm{ \{ \} } \end{array}\)
- La notation exponentielle\(a^n\) signifie multiplier \(a\)par elle-même, \(n\)fois. L'expression an est lue \(a\)à la\(n^{th}\) puissance.
- Simplifier une expression
Pour simplifier une expression, effectuez toutes les opérations sur l'expression. - Comment utiliser l'ordre des opérations.
- Parenthèses et autres symboles de regroupement
- Simplifiez toutes les expressions entre parenthèses ou autres symboles de regroupement, en commençant par les parenthèses les plus internes.
- Exposants
- Simplifiez toutes les expressions avec des exposants.
- Multiplication et division
- Effectuez toutes les multiplications et divisions dans l'ordre de gauche à droite. Ces opérations ont la même priorité.
- Addition et soustraction
- Effectuez toutes les additions et soustractions dans l'ordre, de gauche à droite. Ces opérations ont la même priorité.
- Parenthèses et autres symboles de regroupement
- Comment combiner des termes similaires.
- Identifiez les termes similaires.
- Réorganisez l'expression de manière à ce que les termes soient ensemble.
- Ajoutez ou soustrayez les coefficients et conservez la même variable pour chaque groupe de termes similaires.
Opération Expression Expression Ajout \(a\)plus \(b\)
la somme de \(a\)et \(b\)
\(a\)augmentée de \(b\)
\(b\)plus de\(a\)
le total \(a\)et \(b\)
\(b\)ajouté à\(a\)\(a+b\) Soustraction \(a\)moins \(b\)
la différence de\(a\) et \(b\)
\(a\)diminuée de \(b\)
\(b\)moins de\(a\)
\(b\)soustrait de\(a\)\(a−b\) MULTIPLICATION \(a\)fois \(b\)
le produit de \(a\)et \(b\)
deux fois\(a\)\(a·b,\,ab,\,a(b),\,(a)(b)\)
\(2a\)
Division \(a\)divisé par \(b\)
le quotient de \(a\)et \(b\)
le ratio de \(a\)et \(b\)
\(b\)divisé en\(a\)\(a÷b,\,a/b,\,\frac{a}{b},\,b \overline{\smash{)}a}\)
Lexique
- coefficient
- Le coefficient d'un terme est la constante qui multiplie la variable d'un terme.
- numéro composé
- Un nombre composé est un nombre de comptage qui n'est pas premier. Il comporte des facteurs autres que 1 et le nombre lui-même.
- constant
- Une constante est un nombre dont la valeur reste toujours la même.
- divisible par un nombre
- Si un nombre \(m\)est un multiple de \(n\), il \(m\)est divisible par \(n\).
- équation
- Une équation est constituée de deux expressions reliées par un signe égal.
- évaluer une expression
- Évaluer une expression signifie trouver la valeur de l'expression lorsque les variables sont remplacées par un nombre donné.
- expression
- Une expression est un nombre, une variable ou une combinaison de nombres et de variables utilisant des symboles d'opération.
- facteurs
- Si\(a·b=m\), alors \(a\)et \(b\)sont des facteurs de \(m\).
- multiple le moins courant
- Le plus petit multiple commun (LCM) de deux nombres est le plus petit nombre qui est un multiple des deux nombres.
- termes similaires
- Les termes qui sont soit des constantes, soit dont les mêmes variables sont élevées aux mêmes puissances sont appelés termes similaires.
- multiple d'un nombre
- Un nombre est un multiple de \(n\)s'il est le produit d'un nombre de comptage et \(n\).
- ordre des opérations
- L'ordre des opérations est un guide établi pour simplifier une expression.
- factorisation primaire
- La factorisation en nombres premiers d'un nombre est le produit des nombres premiers qui sont égaux au nombre.
- nombre premier
- Un nombre premier est un nombre de comptage supérieur à 1 dont les seuls facteurs sont 1 et le nombre lui-même.
- simplifier une expression
- Simplifier une expression signifie faire tous les calculs possibles.
- terme
- Un terme est une constante, ou le produit d'une constante et d'une ou de plusieurs variables.
- variable
- Une variable est une lettre qui représente un nombre dont la valeur peut changer.