6.E：光子和物质波（练习）

Last updated
Save as PDF

Page ID: 202007

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

概念性问题

6.1 黑体辐射

1。哪个表面的温度更高 —— 黄星的表面还是红星的表面？

2。描述一下当你观察一个温度从 1000 K 升高到 1,000,000 K 的身体时你会看到什么

3。解释热体温度升高时的颜色变化。

4。推测为什么紫外线会导致晒伤，而可见光不会。

5。两腔散热器由不同金属制成的墙壁构成。在相同的温度下，它们的辐射光谱会有何不同？

6。讨论为什么有些尸体显示为黑色，其他尸体显示为红色，还有一些尸体显示为白色。

7。如果所有东西都辐射出电磁能，为什么我们在黑暗的房间里看不到室温下的物体呢？

8。当黑体温度（以K为单位）增加三倍时，其辐射的能量会增加多少？

6.2 光电效应

9。对于相同的单色光源，所有金属都会产生光电效应吗？

10。 在解释光电效应时，怎么知道电子吸收的光子不超过一个？

11。 解释如何根据停止电位与入射辐射频率的关系图来确定功函数

光电效应实验。你能从这个图中确定普朗克常数的值吗？

12。 假设在光电效应实验中，我们绘制了探测到的电流与施加的电位差的曲线。我们从这样的阴谋中获得了什么信息？我们可以从中确定普朗克常数的值吗？我们可以确定金属的工作功能吗？

13。 推测光电极温度的升高如何影响光电效应实验的结果。

14。 光电效应的哪些方面无法用经典物理学来解释？

15。 光电效应是辐射的波浪特性的结果，还是辐射的粒子特性的结果？简要解释一下。

16。 钠、铁和钼的金属分别具有 2.5 eV、3.9 eV 和 4.2 eV 的工作函数。当用 400 nm 的光照射时，这些金属中哪一种会发射光电子？

6.3 康普顿效应

17。 讨论光电效应和康普顿效应之间的任何相似之处和不同之处。

18。 哪个动量更大：紫外光子还是红外光子？

19。 改变单色光束的强度会影响光束中单个光子的动量吗？这样的变化会影响光束的净动量吗？

20。 康普顿效应在可见光下发生吗？如果是这样，它会被检测到吗？

21。 在康普顿实验中是否有可能观察到波长比入射X射线辐射短的散射X射线？

22。 显示康普顿波长的维度为长度。

23。 在什么散射角下，康普顿效应中的波长偏移等于康普顿波长？

6.4 玻尔的氢原子模型

24。 解释为什么亮发射光谱线模式的光谱位置与给定气态元素的暗吸收光谱线图案具有相同的光谱位置。

25。氢原子的各种光谱线是否重叠？

26。 Balmer 氢气系列是在莱曼系列或 Paschen 系列之前发现的。为什么？

27。 在分析室温下氢气的吸收光谱时，发现了莱曼系列的吸收线，但没有找到巴尔默系列的吸收线。这告诉我们大多数氢原子在室温下的能量状态了什么？

28。 氢气占大多数恒星表面物质的质量的75％左右。但是，在表面温度约为9000 K的恒星光谱中，氢气的吸收线最强（强度最高）。它们在太阳光谱中较弱，在非常热（温度超过25,000 K）或更确切地说是凉爽（温度低于3500 K）的恒星中基本上不存在。推测为什么表面温度会影响我们观察到的氢气吸收线。

29。 讨论汤姆森的氢原子模型和玻尔的氢原子模型之间的异同。

30。 讨论汤姆森模型如何成为非物理模型。用实验证据支持你的论点。

31。 如果在氢原子中，电子移动到半径更大的轨道，氢原子的能量会增加还是减少？

32。 当原子从较高的能量状态过渡到较低的能量状态时，能量是如何守恒的？

33。 假设氢原子中的电子从第 (n+1) 个轨道过渡到第 n 个轨道。 对于较大的 n 值还是较小的 n 值，发射光子的波长更长？

34。 讨论为什么氢原子的允许能量为负。

35。 氢原子能吸收能量大于 13.6 eV 的光子吗？

36。 为什么你能透过玻璃看不见木头？

37。 引力对原子能水平有重大影响吗？

38。 证明普朗克常数具有角动量的维度。

6.5 De Broglie 的 Matter Waves

39。 哪种类型的辐射最适合观察晶体固体、无线电波、可见光或 X 射线上的衍射图案？解释一下。

40。 推测如果\(\displaystyle γ-rays\)使用典型晶体代替 X 射线，其衍射图案将受到怎样的影响。

41。 如果电子和质子以相同的速度移动，那么哪一个的 de Broglie 波长较短？

42。 如果粒子在加速，这将如何影响其 de Broglie 波长？

43。 为什么宏观物体不是每天都能观察到物质的波浪状性质？

44。 静止中子的波长是多少？解释一下。

45。 为什么 Davisson—Germer 实验的设置需要封闭在真空室中？讨论密室未撤离时你预期的结果。

6.6 波粒二元性

46。 举一个实验的例子，在这个实验中，光表现得像波浪。举一个实验的例子，在这个实验中，光表现为光子流。

47。 讨论：水波的干扰与电子的干扰有何不同？它们有什么相似之处？

48。 至少给出一个论据来支持物质波假设。

49。 至少给出一个论点来支持辐射的粒子性质。

50。 解释 Young 双缝实验的重要性。

51。 海森堡不确定性原理是否允许粒子在太空的指定区域处于静止状态？

52。 能否确切知道粒子的 de Broglie 波长？

53。 在显微镜中，红光光子比蓝光光子产生更好的分辨率吗？解释一下。

54。 讨论 SEM 和 TEM 之间的主要区别。

问题

6.1 黑体辐射

55。 200 W 的加热器发出 1.5 微米的辐射。

(a) 它发出的能量量子值是多少？

(b) 假设一个 4.0 千克物体的比热是\(\displaystyle 0.83kcal/kg⋅K\)，人体必须吸收多少光子才能将其温度提高 2 K？

56。 烤箱中的 900 W 微波发生器产生的能量量子频率为 2560 MHz。

(a) 它每秒发射多少能量量子？

(b) 放置在辐射腔中的意大利面必须吸收多少能量量才能将其温度提高 45.0 K？假设这道菜的质量为 0.5 kg，其比热为\(\displaystyle 0.9kcal/kg⋅K\)。

57。 (a) 400 nm 处的黑体辐射光谱峰值在什么温度下？

(b) 如果黑体的温度为 800 K，它在哪个波长下辐射的能量最多？

58。 白炽灯泡的钨元素在 3200 K 下工作，灯丝在什么波长下辐射最大能量？

59。 星际空间充满了波长辐射\(\displaystyle 970μm\)。这种辐射被认为是 “大爆炸” 的残余物。这种辐射的相应黑体温度是多少？

60。 来自太阳的辐射能量在大约500.0 nm的波长下达到最大值。太阳表面的大概温度是多少？

6.2 光电效应

61。 光子的能量为 20 keV。它的频率和波长是多少？

62。 可见光的波长范围约为 400 到 750 nm。可见光的相应光子能量范围是多少？

63。 可以从银中射出光电子的最长辐射波长是多少？它在可见范围内吗？

64。 考虑到钾2.24 eV的工作函数，可以从钾中射出光电子的最长辐射波长是多少？它在可见范围内吗？

65。 鉴于337 nm的波长是光子从镁光电极射出光电子所需的最长波长，估计镁中电子的结合能。

66。 钾的功函数为 2.26 eV。当这种金属用作光电极时，截止频率是多少？当这个光电极暴露于频率为 1200 THz 的辐射时，发射的电子的停止电位是多少？

67。 估计铝的功函数，假设304 nm的波长是光子从铝光电极射出光电子所需的最长波长。

68。 波长为 450 nm 的入射辐射从钠中射出的光电子的最大动能是多少？

69。 120 nm 紫外线辐射照亮镀银电极。喷射的光电子的最大动能是多少？

70。 400 纳米紫光从钠光电极中射出最大动能为 0.860 eV 的光电子。钠的作用是什么？

71。 600nm 的光落在光电表面上，发射最大动能为 0.17 eV 的电子。确定

(a) 工作职能和

(b) 表面的截止频率。

72。 从特定表面发射光电子的截止波长为 500 nm。找出当表面被波长为 600 nm 的光照亮时喷射出的光电子的最大动能。

73。 找出可以从钙电极中射出 2.00-eV 电子的辐射波长。钙的功函数为 2.71 eV。这种辐射在多大范围内？

74。 找出可以从钾电极射出 0.10-eV 电子的辐射波长。钾的功函数为 2.24 eV。这种辐射在多大范围内？

75。 如果光电极的工作函数为 4.73 eV，则求出 80 纳米辐射射出的最大光电子速度。

6.3 康普顿效应

76。 589 nm 黄色光子的动量是多少？

77。 4 厘米微波光子的动量是多少？

78。 在白光束（波长从400到750 nm）中，光子的动量范围是多少？

79。 动量为的光子的能量是\(\displaystyle 3.0×10^{−24}kg⋅m/s\)多少？

80。 的波长是多少

(a) 12-keV X 射线光子；

(b) 一个 2.0 兆电子伏\(\displaystyle γ\)射线光子？

81。 找出 1.0-Å光子的动量和能量。

82。 用动量计算光子的波长和能量\(\displaystyle 5.00×10^{−29}kg⋅m/s\)。

83。 \(\displaystyle γ\)射线光子的动量为\(\displaystyle 8.00×10^{−21}kg⋅m/s\)。找到它的波长和能量。

84。 (a) 计算\(\displaystyle 2.5-µm\)光子的动量。

(b) 找出具有相同动量的电子的速度。

85。 证明这一点\(\displaystyle E_f=hf\)，\(\displaystyle p=h/λ\)并与相对论公式一致\(\displaystyle E^2=p^2c^2+m^2_0c^2\)。

86。 显示光子以 eV 为单位的能量 E 由给出\(\displaystyle E=1.241×10^{−6}eV⋅m/λ\)，其中\(\displaystyle λ\)是其波长（以米为单位）。

87。 对于与自由电子的碰撞，将\(\displaystyle 30°\)以角度散射的光子的康普顿偏移与散射的光子的康普顿偏移进行比较\(\displaystyle 45°\)。

88。 波长为 12.5 pm 的 X 射线从一块碳中散射。光子散射的波长是多少

(a)\(\displaystyle 30°\);

(b)\(\displaystyle 90°\)；以及

(c)\(\displaystyle 180°\)？

6.4 玻尔的氢原子模型

89。 计算莱曼系列中第一条线的波长，并显示该线位于光谱的紫外线部分。

90。 计算莱曼系列中第五条线的波长，并显示该线位于光谱的紫外线部分。

91。 计算与氢原子转变相对应的能量变化：

(a) 从\(\displaystyle n=3\)到\(\displaystyle n=4\)；

(b) 从\(\displaystyle n=2\)到\(\displaystyle n=1\)；以及

92。 确定第三条巴尔默线的波长（从过渡\(\displaystyle n=5\)到的过渡\(\displaystyle n=2\)）。

93。 氢原子从基态过渡到基态时，光子吸收的频率是多少？\(\displaystyle n=4\)

94。 当氢原子处于基态时，它可以在不被电离的情况下吸收的最短和最长的光子波长是多少？

95。 当氢原子处于第三激发状态时，它能发射的光子的最短和最长波长是多少？

96。 如果光能够在基态下电离氢原子，它可以具有的最长波长是多少？

97。 对于处于\(\displaystyle n=2\)状态的氢原子中的电子，计算：

(a) 角动量；

(b) 动能；

(d) 总能量。

98。 找出处于第四能态的氢原子的电离能。

99。 据测量，从氢原子中移除电子需要0.850 eV。在电离发生之前，原子处于什么状态？

100。 当电子处于第一激发态时，氢原子的半径是多少？

101。 找出 Balmer 系列中最短的波长。这条线位于频谱的哪一部分？

102。 证明整个 Paschen 系列都位于光谱的红外部分。

103。 Balmer 系列和 Lyman 系列有重叠吗？为什么？为什么不呢？（提示：计算最短的巴尔默线和最长的莱曼线。）

104。 (a) Balmer 系列中的哪条线是光谱中紫外线部分的第一条线？

(b) 光谱的可见部分有多少巴尔默线？

105。 原子氢的\(\displaystyle 4.653-μm\)发射线对应于状态\(\displaystyle n_f=5\)和状态之间的过渡\(\displaystyle n_i\)。查找\(\displaystyle n_i\)。

6.5 De Broglie 的 Matter Waves

106。 在什么速度下，电子的波长为 1.00 m？

107。 以以下速度传播的电子的 de Broglie 波长是\(\displaystyle 5.0×10^6m/s\)多少？

108。 在 20 kV 的电位差下从静止状态加速的电子的 de Broglie 波长是多少？

109。 动能为 2.0 兆电子伏的质子的 de Broglie 波长是多少？ 10.0 MeV？

110。 一个 10 公斤的足球运动员以 8.0 m/s 的速度跑步的 de Broglie 波长是多少？

111。 (a) 一个 de Broglie 波长是波长 590 nm 的黄光光子的电子的能量是多少？

(b) 能量为黄光光子能量的电子的 de Broglie 波长是多少？

112。 中子的 de Broglie 波长为 0.01 nm。这个中子的速度和能量是多少？

113。 以光速的3％移动的电子的波长是多少？

114。 质子的波长为6.0-fm（大约相当于原子核的大小）的速度是多少？以 c 为单位给出答案。

115。 如果 0.400 千克的台球波长为 7.50 fm，其速度是多少？

116。 找出以光速 1.00%（何时\(\displaystyle β=0.01\)）移动的质子的波长。

6.6 波粒二元性

117。 AM 无线电发射机以 760 kHz 的频率辐射 500 kW。发射器每秒发射多少光子？

118。 找出粒子加速器中 50 GeV 电子的洛伦兹因子\(\displaystyle γ\)和 de Broglie 的波长。

119。 找出粒子加速器中 1.0 teV 质子的洛伦兹因子\(\displaystyle γ\)和 de Broglie 的波长。

120。 透射电镜中 0.01 nm 电子的动能是多少？

121。 如果电子要被晶体显著衍射，则其波长必须大致等于晶体的间距 d。假设\(\displaystyle d=0.250nm\)，估计电子要被这些平面衍射出静止状态必须经过的电位差。

122。 X 射线会形成电离辐射，对活组织有危险，人眼也无法察觉。假设在 X 射线衍射实验室工作的学生研究人员意外暴露于致命剂量的辐射。计算研究人员在以下条件下的温度升高：X射线光子的能量为200 keV，研究人员在曝\(\displaystyle 4×10^{13}\)光期间每千克体重吸收光子。假设学生身体的比热是\(\displaystyle 0.83kcal/kg⋅K\)。

123。 入射到地球大气层顶部的太阳风（辐射）的平均强度为\(\displaystyle 1.3kW/m^2\)。假设你正在建造一艘太阳帆，用于在国际空间站和月球之间的空间中推动一艘质量为 0.1 kg 的小型玩具太空飞船。帆由非常轻的材料制成，可以完美地反射入射的辐射。要评估这样的项目是否可行，请回答以下问题，假设辐射光子仅在正常方向上入射到帆反射表面。

(a) 落在镜状帆上的辐射压力（每倍力\(\displaystyle m^2\)）是多少？

(b) 考虑到 (a) 中计算的辐射压力，当帆的面积为时，太空飞船的加速度将是\(\displaystyle 10.0m^2\)多少？

124。将人体当作黑体对待，并确定当人体温度从 98.6°F 升高到 103°F 时，其辐射总功率的增加百分比

125。证明维也纳的位移定律是由普朗克的辐射定律产生的。（提示：用表格替换\(\displaystyle x=hc/λkT\)并写下普朗克定律\(\displaystyle I(x,T)=Ax^5/(e^x−1)\)，在哪里\(\displaystyle A=2π(kT)^5/(h^4c^3)\)。 现在，对于固定的 T，通过求解方程中的 x 来找出 I (x, T) 中最大值的位置\(\displaystyle dI(x,T)/dx=0\)。)

126。 证明斯特凡定律来自普朗克的辐射定律。 提示：要计算在给定温度下在整个波长光谱上发射的黑体辐射的总功率，请将普朗克定律整合到整个光谱中\(\displaystyle P(T)=∫^∞_0I(λ,T)dλ\)。使用积分的替换值\(\displaystyle x=hc/λkT\)和表格值\(\displaystyle ∫^∞_0dxx^3/(e^x−1)=π^4/15\)。

其他问题

127。 确定黑体在 10,000 K 温度下以 500.0 nm 的波长发射的每单位波长辐射的功率强度

128。 HCl 分子以 87.0 THz 的频率振荡。其相邻能量水平之间有什么区别（以 eV 为单位）？

129。 量子力学振荡器以 250.0 THz 的频率振动。它能发射的最小辐射能量是多少？

130。 大约50亿年后，太阳将演变为红色巨人。假设其表面温度将降至其现值 6000 K 的一半左右，而其当前的半径\(\displaystyle 7.0×10^8m\)将增加到\(\displaystyle 1.5×10^{11}m\)（即当前的地球与太阳的距离）。计算太阳在其红巨阶段发射的总功率与其当前功率的比率。

131。 钠灯发出 2.0 W 的辐射能量，其中大部分的波长约为 589 nm。估计灯泡每秒发射的光子数量。

132。 光电子从光电极中喷出，并在距离光电极2.50厘米的距离处被检测。光电极的工作函数为 2.71 eV，入射辐射的波长为 420 nm。光电子到达探测器需要多长时间？

133。 如果金属的功函数为 3.2 eV，那么光子从该金属表面射出光电子的最大波长是多少？

134。 光电表面的工作函数为 2.00 eV。当450纳米的光落在该表面上时，从该表面发射的光电子的最大速度是多少？

135。 400nm 激光束投射到钙电极上。激光束的功率为2.00 mW，钙的功函数为2.31 eV。

(a) 每秒喷射多少光电子？

(b) 光电子带走的净功率是多少？

136。 (a) 计算每秒通过500纳米辐射从钠金属\(\displaystyle 1.00-mm^2\)区域喷射出的光电子数量，其强度\(\displaystyle 1.30kW/m^2\)（地球大气层上空的阳光强度）。

(b) 鉴于金属的工作函数为2.28 eV，这些光电子会带走多少功率？

137。 在 400 nm 波长下功率输出为 2.00 mW 的激光器用于将光束投射到钙光电极上。 (a) 每秒有多少光电子离开钙表面？ (b) 鉴于钙的功函数为2.31 eV，喷射的光电子会带走什么能量？ (c) 计算光电流。 (d) 如果光电极突然变成电绝缘，电路中两个电极的设置突然开始像 2.00-pF 电容器一样起作用，那么电容器电压停止之前电流会流多久？

138。 钡的工作函数为 2.48 eV。找出钡表面被照亮时喷出的光电子的最大动能：

(a) 以800千赫广播的100千瓦无线电台发出的辐射；

(b) 由强力氦霓激光器发射的633纳米激光；以及

139。 (a) 计算光子的波长，该光子的动量与质子在真空中以 1% 的光速移动。

(b) 以兆电子伏为单位的这个光子的能量是多少？

140。 (a) 找出 100 keV X 射线光子的动量。

(b) 找出具有相同动量的中子的速度。

141。 假设镜子的后坐力可以忽略不计，当光子从镜子直接反射回来时，光的动量与粒子的动量完全相反。动量的变化是光子入射动量的两倍，是粒子入射动量的两倍。假设一束光束具有一定强度\(\displaystyle 1.0kW/m^2\)，落在镜子的某个\(\displaystyle −2.0-m^2\)区域上并从中反射。

(a) 计算 1.00 秒内反射的能量。

(b) 赋予镜子的动量是多少？

(d) 镜子没有后坐力的假设似乎合理吗？

142。 能量为 5.0 keV 的光子与静止电子碰撞并以一定角度散射\(\displaystyle 60°\)。电子在碰撞中获得的能量是多少？

143。 0.75 nm 的光子由固定电子散射。电子的反冲速度是\(\displaystyle 1.5×10^6m/s\)。

(a) 找出光子的波长偏移。

(b) 找出光子的散射角度。

144。 找出康普顿散射可能导致的 X 射线波长的最大变化。这种变化是否取决于入射光束的波长？

145。 波长为 700 nm 的光子入射到氢原子上。当这个光子被吸收时，原子就会被电离。电子在被电离之前可能占据的最低轨道是多少？

146。 电子的最大动能是多少，这样电子与处于基态的固定氢原子之间的碰撞肯定是弹性的？

147。 单电离原子氦\(\displaystyle He^{+1}\)是一种类氢离子。

(a) 它的基态半径是多少？

(b) 计算其能量最低的四个状态的能量。

148。 三重电离的铍原子\(\displaystyle Be^{3+}\)是一种类氢离子。当它\(\displaystyle Be^{3+}\)处于其中一种激发态时，它在第 n 个状态下的半径与第一个玻尔氢轨道的半径完全相同。找出 n 并计算该状态的电离能\(\displaystyle Be^{3+}\)。

149。 在极端温度环境中，例如存在于日冕中的环境中，原子可能会通过与其他原子碰撞而电离。日冕中这种电离的一个例子是在弗劳恩霍夫光谱中探测到的\(\displaystyle C^{5+}\)离子的存在。

(a)\(\displaystyle C^{5+}\) 离子尺度的能量与氢原子的能谱相比是哪个系数？

(b) Paschen 系列的第一条线的波长是\(\displaystyle C^{5+}\)多少？

150。 (a) 计算的电离能\(\displaystyle He^+\)。

(b) 能够电离的光子的最小频率是\(\displaystyle He^+\)多少？

151。 使用速度小至1.00 m/s的超冷中子进行实验。找出这种超冷中子的波长及其动能。

152。 找出 6.0 fm 中子的速度和动能。（中子的剩余质量能为\(\displaystyle E_0=940MeV.\)）

153。 NaCl 晶体中晶面之间的间距为 0.281 nm，由波长为 0.170 nm 的 X 射线的 X 射线衍射确定。在与使用 X 射线获得的峰值相同的位置产生衍射峰的中子能量是多少？

154。 在 30.0 kV 电位差中，从静止状态加速的电子的波长是多少？

155。 计算\(\displaystyle 1.0-μm\)电子的速度和用于将其从静止状态加速到该速度的电位差。

156。 在欧洲核子研究组织的超级对撞机中，质子加速到0.25 摄氏度的速度。它们以这种速度的波长是多少？他们的动能是多少？如果一束质子仅通过一次电位差就能获得其动能，那么这种势差必须有多高？（质子的剩余质量能为\(\displaystyle E_0=938MeV\)）。

157。 找出 X 射线管中静止加速的电子的 de Broglie 波长，电位差为 100 keV。（电子的剩余质量能为\(\displaystyle E_0=511keV\)。）

158。 从特定表面发射光电子的截止波长为 500 nm。找出当表面被波长为 450 nm 的光照亮时喷射出的光电子的最大动能。

159。 将自由电子散射的光子的波长偏移与自由质子以相同角度散射的光子的波长偏移进行比较。

160。 用于测量康普顿实验中散射 X 射线波长的光谱仪精确到\(\displaystyle 5.0×10^{−4}nm\)。可以将与自由电子相互作用的 X 射线与与原子相互作用的 X 射线区分开来的最小散射角是多少？

161。 以类氢离子为例，其中电子绕着具有电荷的原子核运行\(\displaystyle q=+Ze\)。推导出第 n 个轨道上电子\(\displaystyle E_n\)的能量和轨道半径的公式\(\displaystyle r_n\)。

162。 假设氢原子在衰变为基态\(\displaystyle 10^{−8}s\)之前一直处于\(\displaystyle n=2\)激发态。在这段时间里，电子绕质子核运行了多少次？地球绕太阳运行这么多次需要多长时间？

163。 当质子捕获负μ子时，可以形成原子。 μ子的电荷与电子相同，质量是电子的207倍。计算该原子从状态过渡\(\displaystyle n=2\)到\(\displaystyle n=1\)状态时发射的光子的频率。假设μ子正在绕一个静止的质子运行。