5.S：相对论（摘要）

关键条款

经典（伽利略）速度加法	添加速度的方法 when\(\displaystyle v<<c\); velocities 在一维运动中像常规数字一样相加:\(\displaystyle u=v+u'\)，其中 v 是两个观察者之间的速度，u 是物体相对于一个观察者的速度，\(\displaystyle u'\)是相对于另一个观察者的速度观察员
事件	空间和时间中的出现次数，由其相对于参考系测量的位置和时间坐标（x、y、z、t）指定
狭义相对论的第一个假设	所有惯性参照系中的物理定律都是一样的
伽利略相对论	如果观察者在一个参考系中测量速度，而该参考系正在以超过第二个参考系的速度移动，则第二个帧中的观察者将原始速度测量为这些速度的矢量和
伽利略转型	根据经典力学，在不同参考系中看到的相同事件的位置和时间坐标之间的关系
惯性参照系	在该参考框架中，静止的身体保持静止状态，运动中的身体以恒定速度直线移动，除非受到外力作用
长度收缩	当在\(\displaystyle L_0\)以速度行驶的参考系中观察到物体的长度时，将观测到的物体长度从其正确的长度减小到长度 L
洛伦兹转型	根据狭义相对论，在不同参考系中看到的相同事件的位置和时间坐标之间的关系
迈克尔逊-莫利实验	1887 年进行的调查表明，在观察真空中的光速在所有参照系中都是相同的
合适的长度	\(\displaystyle L_0\)；两点之间的距离，由处于静止状态的观察者相对于两点测得的距离；例如，地球观测者在测量相对于地球静止的两点之间的距离时测量正确的长度
恰当的时间	\(\displaystyle Δτ\)是观察者测量的时间间隔，观察者看到时间间隔测量发生在同一位置的过程的开始和结束
相对论动能	以相对论速度移动的物体的动能
相对论动量	\(\displaystyle \vec{p}\)，物体以相对论速度移动的动量；\(\displaystyle \vec{p}=γm\vec{u}\)
纬度速度加法	添加以相对论速度移动的物体的速度的方法
休息能量	静止时储存在物体中的能量：\(\displaystyle E_0=mc^2\)
休息框架	观察者处于静止状态的参考框架
休息质量	观察者在静止状态时测量的物体相对于物体的质量
狭义相对论的第二个假设	光在真空中以相同的速度 c 在所有惯性框架中向任何方向移动
狭义相对论	阿尔伯特·爱因斯坦在1905年提出的理论，该理论假设所有物理定律在每个惯性参照系中都具有相同的形式，并且所有惯性系中的光速都相同
光速	任何具有质量的粒子的极限速度
时间扩张	在移动的惯性帧而不是事件的剩余帧（事件发生在同一地点）中观察时，延长两个事件之间的时间间隔
总能量	粒子的所有能量之和，包括静止能量和动能，为质量为 m 的粒子给出，速度为 u b y\(\displaystyle E=γmc^2\)，其中\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)
世界线	穿越时空的路径

关键方程

时间扩张	\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=γτ\)
洛伦兹因子	\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}\)
长度收缩	\(\displaystyle L=L_0\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}=\frac{L_0}{γ}\)
伽利略转型	\(\displaystyle x=x'+vt,y=y',z=z',t=t'\)
洛伦兹转型	\(\displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle y=y'\) \(\displaystyle z=z'\)
反向洛伦兹变换	\(\displaystyle t'=\frac{t−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x'=\frac{x−vt}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle y'=y\) \(\displaystyle z'=z\)
时空不变量	\(\displaystyle (Δs)^2=(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2−c^2(Δt)^2\) \(\displaystyle (Δτ)^2=−(Δs)^2/c^2=(Δt)^2−\frac{[(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2]}{c^2}\)
相对论速度加法	\(\displaystyle u_x=(\frac{u′_x+v}{1+vu′_x/c^2}),u_y=(\frac{u′_y/γ}{1+vu′_x/c^2}),u_z=(\frac{u′_z/γ}{1+vu′_x/c^2})\)
波长的相对论多普勒效应	\(\displaystyle λ_{obs}=λ_s\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1−\frac{v}{c}}}\)
频率的相对论多普勒效应	\(\displaystyle f_{obs}=f_s\sqrt{\frac{1−\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}\)
相对论动量	\(\displaystyle \vec{p}=γm\vec{u}=\frac{m\vec{u}}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)
相对论总能量	\(\displaystyle E=γmc^2\)，哪里\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)
相对论动能	\(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2\)，哪里\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)

摘要

5.1 物理定律的不变性

• 相对论是研究不同参考系中的观察者如何测量同一个事件。
• 现代相对论分为两部分。 狭义相对论涉及均匀（未加速）运动的观察者，而广义相对论包括加速相对运动和重力。 现代相对论与迄今为止的所有经验证据一致，在低速和弱引力的极限下，与经典（伽利略）相对论的预测非常吻合。
• 惯性参考系是一种参考框架，其中静止的物体保持静止状态，运动中的物体除非受到外力作用，否则以恒定速度直线移动。
• 现代相对论基于爱因斯坦的两个假设。 狭义相对论的第一个假设是，所有惯性参照系中的物理定律都是相同的。 狭义相对论的第二个假设是，光速 c 在所有惯性参考系中都是相同的，与观察者和光源的相对运动无关。
• 迈克尔逊-莫利实验表明，真空中的光速与地球绕太阳的运动无关。

5.2 同时性的相对论

• 如果观察者测量两个事件同时发生（例如通过接收来自事件的光），则这两个事件被定义为同时发生。
• 在一个参照系中处于静止状态的观察者同时发生在相距一段距离的两个地点的两个事件对于另一个参照系中的静止观察者来说不一定是同时发生的。

5.3 时间扩张

• 如果观察者测量两个事件同时发生，则这两个事件被定义为同时发生。 它们不一定与所有观察者同时存在——同时性不是绝对的。
• 时间膨胀是指在移动的惯性帧中看到的两个事件之间的时间间隔的延长，而不是在事件的剩余帧（事件发生在同一地点）中。
• 以相对速度 v 移动的观察者测量的两个事件之间经过的时间不相同。 正确的时间\(\displaystyle Δτ\)是在参考系中测量的时间，其中时间间隔的开始和结束发生在同一位置。 观察者看到事件帧以速度 v 移动时\(\displaystyle Δt\)测得的时间间隔与事件的正确时间间隔\(\displaystyle Δτ\)相关，方程式为：

\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=γΔτ\)，

哪里

\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}\)。

• 双胞胎悖论的前提是错误的，因为旅行的双胞胎正在加速。 两对双胞胎的旅程并不对称。
• 在较低的相对速度下，时间膨胀通常可以忽略不计，但确实会发生，并且已经通过实验验证。
• 正确的时间是任何时间间隔中最短的测量值。 任何相对于被观测系统移动的观察者测量的时间间隔都比正确的时间长。

5.4 长度收缩

• 所有观察者都同意相对速度。
• 距离取决于观察者的运动。 正确长度\(\displaystyle L_0\)是指两点之间的距离，由处于静止状态的观察者相对于两点测得的距离。
• 长度收缩是指在物体\(\displaystyle L_0\)以速度 v 行驶的参考系中观察到物体的长度时，其观测长度从其适当长度减小到长度 L。
• 正确的长度是任何长度间隔中最长的测量值。 任何相对于被观测系统移动的观察者测量的长度都比正确的长度短。

5.5 洛伦兹转型

• 伽利略变换方程描述了在经典的非相对论力学中，在一帧中测得的位置、速度和加速度如何在另一帧中出现。 长度保持不变，假设单一通用时标适用于所有惯性帧。
• 牛顿的力学定律遵循伽利略变换下所有惯性系中具有相同形式的原则，由下式给出

\(\displaystyle x=x'+vt,y=y',z=z',t=t'\)。

但是，伽利略变换中所有惯性框架中的时间和距离都相同的概念与狭义相对论的假设不一致。

• 相对论上正确的洛伦兹变换方程是

洛伦兹转型	反向洛伦兹变换
\(\displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)√ \(\displaystyle y=y'\) \(\displaystyle z=z'\)	\(\displaystyle t'=\frac{t−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x'=\frac{x−vt}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle y'=y\) \(\displaystyle z'=z\)

我们可以通过要求扩大的球形光信号在两个参考系中具有相同的形状和生长速度 c 来获得这些方程。

• 相对论现象可以用四维时空的几何特性来解释，其中洛伦兹变换对应于轴的旋转。
• 洛伦兹变换对应于时空轴旋转，在某些方面类似于空间轴的旋转，但其中不变的空间分离由距离\(\displaystyle Δs\)而不是距离给出\(\displaystyle Δr\)，涉及时间轴的洛伦兹变换不保留轴的垂直度或沿轴的刻度。
• 用时空图对相对论现象的分析支持这样的结论，即这些现象是由空间和时间本身的特性造成的，而不是电磁学定律造成的。

5.6 相对论速度变换

• 使用经典的速度加法，速度像一维运动中的常规数字一样相加：\(\displaystyle u=v+u'\)，其中 v 是两个观察者之间的速度，u 是物体相对于一个观察者的速度，u'u′ 是相对于另一个观察者的速度。
• 速度加起来不能大于光速。
• 相对论速度加法描述了物体以相对论速度移动的速度。

5.7 光的多普勒效应

• 如果辐射源相对于观察者移动，则电磁辐射的观察者会看到相对论的多普勒效应。 当光源远离观察者时，辐射的波长比光源发出的波长长（称为红移），而当光源向观察者移动时，辐射的波长更短（称为蓝移）。 移位的波长由以下方程式描述：

\(\displaystyle λ_{obs}=λ_s\sqrt{1+\frac{v}{c}}{1−\frac{v}{c}}\)。

其中\(\displaystyle λ_{obs}\)是观测到的波长，\(\displaystyle λ_s\)是源波长，v 是光源与观察者的相对速度。

5.8 相对论动量

• 每当净外力为零时，动量守恒定律对相对论动量有效。 相对论动量是\(\displaystyle p=γmu\)，其中 m 是物体的剩余质量，u 是其相对于观察者的速度，相对论因子是\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)。
• 在低速下，相对论动量等同于经典动量。
• 当 u 接近 c 时，相对论动量接近无穷大。 这意味着有质量的物体无法达到光速。

5.9 相对论能量

• 相对论的工作能量定理是\(\displaystyle W_{net}=E−E_0=γmc^2−mc^2=(γ−1)mc^2\)。
• 相对论上，相对论动能在\(\displaystyle W_{net}=K_{rel}\)哪里\(\displaystyle K_{rel}\)。
• 速度为 u 的质量为 m 的物体具有动能\(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2\)，其中\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)。
• 在低速下，相对论动能降为经典动能。
• 任何有质量的物体都无法达到光速，因为要将质量加速到光速，需要无限的工作量和无限量的能量输入。
• 只要我们将其定义为包括质量变为能量的可能性，相对论能量就是守恒的。
• 质量为 m 的粒子的总能量定义为\(\displaystyle E=γmc^2\)\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)，其中 u 表示粒子的速度。
• 质量为 m 的物体的剩余能量为\(\displaystyle E_0=mc^2\)，这意味着质量是一种能量形式。 如果能量存储在物体中，则其质量会增加。 质量可以被摧毁以释放能量。
• 我们通常不会注意到物体质量的增加或减少，因为质量的变化很小，能量会大幅增加。 该方\(\displaystyle E^2=(pc)^2+(mc^2)^2\)程将相对论总能量 E 和相对论动量 p 联系起来。在极高的速度下，剩余能量\(\displaystyle mc^2\)变得可以忽略不计，而且\(\displaystyle E=pc\)。