3.3: 干扰数学
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- 202422
在本节结束时，您将能够：
- 确定明暗条纹的角度，以避免双缝干扰
- 计算屏幕上明亮条纹的位置
该图\(\PageIndex{1a}\)显示了如何确定波浪从两个狭缝传播到屏幕上公共点的路径长度差\(\Delta l\)。 如果与狭缝之间的距离相比，屏幕距离很远，则每条路径的路径与从狭缝到屏幕的直线 (\(\PageIndex{1b}\)) 之间的角度 β 几乎相同。 换句话说，\(r_1\)和本质上\(r_2\)是平行的。 \(r_1\)和的长度\(r_2\)不同\(\Delta l\)，如中的两条虚线所示\(\PageIndex{1}\)。
简单的三角函数显示
\[\Delta l = d \, \sin \, \theta \label{eq1} \]
其中 d 是狭缝之间的距离。 将其与前面讨论的干涉方程相结合，当路径长度差为波长的整数倍数时，我们可以获得双缝的构造干扰，或者
\[\underbrace{d \, \sin \, \theta = m \lambda}_{\text{constructive interference}}\label{eq2} \]
和
\[\underbrace{d \, \sin \, \theta = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda }_{\text{destructive interference}} \label{eq3} \]
哪里
- \(m = 0, \, ±1, \, ±2, \, ±3…\)，
- \(λ\)是光的波长，
- \(d\)是狭缝之间的距离，以及
- \(θ\)是与光束原始方向的角度，如上所述。
我们称\(m\)之为干扰令。 例如，\(m=4\)是四阶干扰。
双缝干涉的方程\ ref {eq2} 和\ ref {eq3} 意味着形成了一系列亮线和暗线。 对于垂直狭缝，光线在入射光束的两侧水平扩散，形成一种称为干涉条纹的图案（图\(\PageIndex{2}\)）。 缝隙越近，明亮的边缘分开得越多。 我们可以通过检查方程\ ref {eq2} 来看出这一点。 对于 f\(λ\) i\(m\) xed an\(d\) d，则越小\(θ\)必须越大，因为\(\sin \, \theta = m\lambda /d\)。 这与我们的论点是一致的，即当波浪遇到的物体（这里是间隔 d 的距离）很小时，波浪效果最为明显。 小\(d\)会产生较大的效果\(θ\)，因此效果很大。
回过头来看图\(\PageIndex{1a}\)，\(θ\)通常足够小
\[\sin \, \theta \approx \tan \, \theta \approx y_m /D \nonumber \]
其中\(y_m\)是从中心最大值到第 m 个亮条纹的距离，D 是缝隙和屏幕之间的距离。 方程\ ref {eq1} 然后可以写成
\[d\dfrac{y_m}{D} = m\lambda \nonumber \]
要么
\[y_m = \dfrac{m\lambda D}{d}. \nonumber \]
假设您将He-Ne激光器发出的光穿过两个相隔0.0100 mm的狭缝，发现屏幕上的第三条亮线相对于入射光束形成了10.95°的角度。 光的波长是多少？
策略
这种现象是双缝干扰，如图所示\(\PageIndex{2}\)，第三条亮线是由三阶构造干扰引起的，也就是说\(m=3\)。 我们得到了\(d=0.0100\, mm\)和\(θ=10.95^o\)。 因此，可以使用方程\ ref {eq2} 来找到构造干扰的波长。
解决方案
求解波长的方程\ ref {eq2}\(λ\) 给出
\[\lambda = \dfrac{d \, \sin \, \theta}{m}. \nonumber \]
替换已知值会产生
\[\begin{align*} \lambda &= \dfrac{(0.0100 \, mm)(\sin \, 10.95^o)}{3} \\[4pt] &= 6.33 \times 10^{-4} mm \\[4pt] &= 633 \, nm. \end{align*} \nonumber \]
意义
换成三位数，这是普通He-Ne激光器发射的光的波长。 并非巧合，这种红色与霓虹灯发出的颜色相似。 但是，更重要的是，干扰模式可用于测量波长。 Young 这样做是为了获得可见波长。 这种分析技术仍被广泛用于测量电磁光谱。 对于给定的顺序，构造干扰的角度随之增加\(λ\)，因此可以获得光谱（强度与波长的测量值）。
干扰模式没有无限数量的线，因为 m 的大小是有限的。 对前面示例中描述的系统可能产生的最高级别的建设性干扰是什么？
策略
方程\ ref {eq2} 描述了来自两个狭缝的构造干扰。 对于\(d\)和的固定值\(λ\)，越\(m\)大，越\(\sin θ\)大。 但是，对于角度为 90°，最大值为 1。\(\sin θ\) （较大的角度意味着光线向后移动，根本无法到达屏幕。） 让我们找出什么值对\(m\)应于这个最大衍射角度。
解决方案
求解 m 的方\(d \, \sin \, \theta = m\lambda\)程得出
\[m = \dfrac{d \, \sin \, \theta}{\lambda}. \nonumber \]
取\(\sin \, \theta = 1\)上例中的 d 和 l 的值并将其替换得出
\[m = \dfrac{(0.0100 \, mm)(1)}{633 \, nm} \approx 15.8. \nonumber \]
因此，最大的整数\(m\)可以是 15 或\(m=15\)。
意义
条纹的数量取决于波长和狭缝分离。 对于较大的狭缝分离，条纹的数量非常大。 但是，回想一下（参见《光的传播》），只有当波浪与与波长相比不大的物体相互作用时，波干扰才会突出。 因此，如果狭缝间隔和狭缝的大小远大于波长，屏幕上光的强度模式就会发生变化，因此，正如预期的那样，当光线表现得像光线时，狭缝只会投射两条亮线。 我们还注意到，边缘在离中心更远的地方会变得越来越微弱。 因此，并非所有 15 个条纹都可观察。
在前面示例中使用的系统中，第一个和第二个明亮的条纹是在什么角度形成的？
- 回答
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\(3.63^o\)和\(7.27^o\)，分别是