3.3: 干扰数学

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 确定明暗条纹的角度，以避免双缝干扰
• 计算屏幕上明亮条纹的位置

该图$\PageIndex{1a}$显示了如何确定波浪从两个狭缝传播到屏幕上公共点的路径长度差$\Delta l$。 如果与狭缝之间的距离相比，屏幕距离很远，则每条路径的路径与从狭缝到屏幕的直线 ($\PageIndex{1b}$) 之间的角度 β 几乎相同。 换句话说，$r_1$和本质上$r_2$是平行的。 $r_1$和的长度$r_2$不同$\Delta l$，如中的两条虚线所示$\PageIndex{1}$。

图$\PageIndex{1}$：(a) 要到达 P，来自$S_1$和的光波$S_2$必须传播不同的距离。 (b) 两条光线之间的路径差为$\Delta l$。

简单的三角函数显示

$$\Delta l = d \, \sin \, \theta \label{eq1}$$

其中 d 是狭缝之间的距离。 将其与前面讨论的干涉方程相结合，当路径长度差为波长的整数倍数时，我们可以获得双缝的构造干扰，或者

$$\underbrace{d \, \sin \, \theta = m \lambda}_{\text{constructive interference}}\label{eq2}$$

和

$$\underbrace{d \, \sin \, \theta = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda }_{\text{destructive interference}} \label{eq3}$$

哪里

• $m = 0, \, ±1, \, ±2, \, ±3…$，
• $λ$是光的波长，
• $d$是狭缝之间的距离，以及
• $θ$是与光束原始方向的角度，如上所述。

我们称$m$之为干扰令。 例如，$m=4$是四阶干扰。

双缝干涉的方程\ ref {eq2} 和\ ref {eq3} 意味着形成了一系列亮线和暗线。 对于垂直狭缝，光线在入射光束的两侧水平扩散，形成一种称为干涉条纹的图案（图$\PageIndex{2}$）。 缝隙越近，明亮的边缘分开得越多。 我们可以通过检查方程\ ref {eq2} 来看出这一点。 对于 f$λ$ i$m$ xed an$d$ d，则越小$θ$必须越大，因为$\sin \, \theta = m\lambda /d$。 这与我们的论点是一致的，即当波浪遇到的物体（这里是间隔 d 的距离）很小时，波浪效果最为明显。 小$d$会产生较大的效果$θ$，因此效果很大。

回过头来看图$\PageIndex{1a}$，$θ$通常足够小

$$\sin \, \theta \approx \tan \, \theta \approx y_m /D \nonumber$$

其中$y_m$是从中心最大值到第 m 个亮条纹的距离，D 是缝隙和屏幕之间的距离。 方程\ ref {eq1} 然后可以写成

$$d\dfrac{y_m}{D} = m\lambda \nonumber$$

要么

$$y_m = \dfrac{m\lambda D}{d}. \nonumber$$

图$\PageIndex{2}$：双缝的干涉图案的强度随角度而下降。 该图像显示了由光线穿过双缝形成的多条明暗线条或条纹。

示例$\PageIndex{1}$: Finding a Wavelength from an Interference Pattern

假设您将He-Ne激光器发出的光穿过两个相隔0.0100 mm的狭缝，发现屏幕上的第三条亮线相对于入射光束形成了10.95°的角度。 光的波长是多少？

策略

这种现象是双缝干扰，如图所示$\PageIndex{2}$，第三条亮线是由三阶构造干扰引起的，也就是说$m=3$。 我们得到了$d=0.0100\, mm$和$θ=10.95^o$。 因此，可以使用方程\ ref {eq2} 来找到构造干扰的波长。

解决方案

求解波长的方程\ ref {eq2}$λ$ 给出

$$\lambda = \dfrac{d \, \sin \, \theta}{m}. \nonumber$$

替换已知值会产生

$$\begin{align*} \lambda &= \dfrac{(0.0100 \, mm)(\sin \, 10.95^o)}{3} \\[4pt] &= 6.33 \times 10^{-4} mm \\[4pt] &= 633 \, nm. \end{align*} \nonumber$$

意义

换成三位数，这是普通He-Ne激光器发射的光的波长。 并非巧合，这种红色与霓虹灯发出的颜色相似。 但是，更重要的是，干扰模式可用于测量波长。 Young 这样做是为了获得可见波长。 这种分析技术仍被广泛用于测量电磁光谱。 对于给定的顺序，构造干扰的角度随之增加$λ$，因此可以获得光谱（强度与波长的测量值）。

示例$\PageIndex{2}$: Calculating the Highest Order Possible

干扰模式没有无限数量的线，因为 m 的大小是有限的。 对前面示例中描述的系统可能产生的最高级别的建设性干扰是什么？

策略

方程\ ref {eq2} 描述了来自两个狭缝的构造干扰。 对于$d$和的固定值$λ$，越$m$大，越$\sin θ$大。 但是，对于角度为 90°，最大值为 1。$\sin θ$ （较大的角度意味着光线向后移动，根本无法到达屏幕。） 让我们找出什么值对$m$应于这个最大衍射角度。

解决方案

求解 m 的方$d \, \sin \, \theta = m\lambda$程得出

$$m = \dfrac{d \, \sin \, \theta}{\lambda}. \nonumber$$

取$\sin \, \theta = 1$上例中的 d 和 l 的值并将其替换得出

$$m = \dfrac{(0.0100 \, mm)(1)}{633 \, nm} \approx 15.8. \nonumber$$

因此，最大的整数$m$可以是 15 或$m=15$。

意义

条纹的数量取决于波长和狭缝分离。 对于较大的狭缝分离，条纹的数量非常大。 但是，回想一下（参见《光的传播》），只有当波浪与与波长相比不大的物体相互作用时，波干扰才会突出。 因此，如果狭缝间隔和狭缝的大小远大于波长，屏幕上光的强度模式就会发生变化，因此，正如预期的那样，当光线表现得像光线时，狭缝只会投射两条亮线。 我们还注意到，边缘在离中心更远的地方会变得越来越微弱。 因此，并非所有 15 个条纹都可观察。

练习$\PageIndex{1}$

在前面示例中使用的系统中，第一个和第二个明亮的条纹是在什么角度形成的？

回答

$3.63^o$和$7.27^o$，分别是