2.8: 简单放大镜

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 了解简单放大镜的光学特性
• 描述由简单放大镜创建的图像

眼睛感知到的物体的表观大小取决于物体与眼睛的对角度。 如图所示$\PageIndex{1}$，物体与眼睛的对角比它在点处的位置要大$B$。$A$ 因此，物体在$A$视网膜上形成的图像（参见$OA′$）比其放置时要大$B$（见$OB′$）。 因此，与眼睛倾斜较大角度的物体会显得更大，因为它们在视网膜上形成了更大的图像。

图$\PageIndex{1}$：眼睛感知的大小由物体对角决定。 由位于的物体在$A$视网膜上形成的图像大于位于视网膜上的同一个物体在视网膜上形成的图像（与图像高度$OA′$进行比较$OB′$）。

我们已经看到，当一个物体被放置在凸透镜的焦距内时，它的图像是虚拟的、直立的，并且比物体大（参见本图（b）部分）。 因此，当凸透镜产生的这种图像作为眼睛的物体时，如图所示$\PageIndex{2}$，视网膜上的图像会被放大，因为镜头产生的图像在眼睛中的倾角比物体大。 用于此目的的凸透镜称为放大镜或简单的放大镜。

图$\PageIndex{2}$：简单的放大镜是一种凸透镜，用于生成视网膜上物体的放大图像。 (a) 在没有凸透镜的情况下，物体与眼睛成一定角度$θ_{object}$。 (b) 凸透镜到位后，凸透镜产生的图像与眼睛形成一个角度$θ_{image}$，与$θ_{image}> θ_{object}$. 因此，当凸透镜到位时，视网膜上的图像会更大。

为了考虑放大镜的放大倍数，我们将图像（由镜头创建）所对应的角度与物体对角度（不使用镜头观看）进行比较，如图所示$\PageIndex{1a}$。 我们假设物体位于眼睛的近点，因为这是肉眼可以在视网膜上形成最大图像的物体距离。 我们将把镜头生成的放大图像与肉眼的最大图像尺寸进行比较。 当被眼睛观察时，图像的放大倍率是角度放大倍率$M$，它由图像所对应的角度$θ_{image}$与物体对应角度的$θ_{object}$比率来定义：

$$M=\dfrac{θ_{image}}{θ_{object}}. \nonumber$$

考虑图中所示的情况$\PageIndex{1b}$。 放大镜与眼睛保持一定距$ℓ$离，放大镜产生的图像与眼睛形成一定距$L$离。 我们想计算任意$L$和的角放大倍率$ℓ$。 在小角度近似值中，图像$θ_{image}$的角度大小为$h_i/L$。 近点物$θ_{object}$体的角度大小为$θ_{object}=h_o/25\,cm$。 然后角放大倍率是

$$\underbrace{ M=\dfrac{θ_{image}}{θ_{object}}=\dfrac{h_i(25cm)}{Lh_o}}_{\text{angular magnification}} . \label{angular magnification}$$

使用线性放大倍率的定义

$$m=−\dfrac{d_i}{d_o}=\dfrac{h_i}{h_o} \label{mag}$$

和薄透镜方程

$$\dfrac{1}{d_o}+\dfrac{1}{d_i}=\dfrac{1}{f} \nonumber$$

我们得出放大镜角度放大倍率的以下表达式：

$$\begin{align} M&= \left(−\dfrac{d_i}{d_o}\right)\left(\dfrac{25\,cm}{L}\right) \\[4pt] &=−d_i\left(\dfrac{1}{f}−\dfrac{1}{d_i}\right)\left(\dfrac{25\,cm}{L}\right) \\[4pt] &= \left(1−\dfrac{d_i}{f}\right)\left(\dfrac{25\,cm}{L}\right) \label{eq10} \end{align}$$

从图$\PageIndex{1b}$中可以看出，图像距离的绝对值为$|d_i|=L−ℓ$。 请注意，$d_i<0$因为图像是虚拟的，所以我们可以通过显式插入减号来省去绝对值：

$$−d_i=L−ℓ. \label{eq34}$$

将方程\ ref {eq34} 插入方程\ ref {eq10} 为我们提供了放大镜角放大倍率的最终方程：

$$M=\left(\dfrac{25\,cm}{L}\right) \left(1+\dfrac{L−ℓ}{f} \right). \label{eq12}$$

请注意，该方程中的所有量都必须以厘米表示。 通常，我们希望图像处于近点距离（例如$L=25\,cm$）以获得最大放大倍率，并将放大镜放在靠近眼睛的地方（$ℓ=0$）。 在这种情况下，方程\ ref {eq12} 给出

$$M=1+\dfrac{25\,cm}{f} \label{eq13}$$

这表明最大放大倍率出现在焦距最短的镜头上。 此外，当图像处于近点距离并且镜头靠近眼睛 ($ℓ=0$) 时$L=d_i=25\,cm$，方程\ ref {eq12} 变成

$$M=\dfrac{h_i}{h_o}=m \label{eq14}$$

其中$m$是先前为球面反射镜和薄透镜得出的线性放大倍率（方程\ ref {mag}）。 另一个有用的情况是当图像处于无穷大 ($L=\infty$) 时。 然后，方程\ ref {eq12} 采用以下形式

$$M(L=\infty)=\dfrac{25\,cm}{f}. \label{eq15}$$

由此产生的放大倍率只是近点距离与放大镜头焦距之比，因此焦距较短的镜头可提供更强的放大倍率。 尽管此放大倍率比图像在近点获得的放大倍率小 1，但它提供了最舒适的观看条件，因为在观察远处的物体时眼睛会放松。

通过比较方程\ ref {eq13} 和\ ref {eq15}，我们可以看到给定会聚透镜的角放大范围为

$$\dfrac{25cm}{f} ≤ M ≤1+\dfrac{25cm}{f}. \nonumber$$

示例$\PageIndex{1}$: Magnifying a Diamond

珠宝商希望用放大镜检查直径为 3.0 毫米的钻石。 钻石放在珠宝商的近点（25 厘米）处，珠宝商将放大镜放在眼睛附近。

1. 要看到直径为 15 毫米的钻石图像，放大镜的焦距应该是多少？
2. 要获得 10 倍放大倍率，放大镜的焦距应该是多少？

策略

我们需要确定放大镜所需的放大倍数。 因为珠宝商将放大镜放在眼睛附近，所以我们可以使用方程式\ ref {eq13} 来找出放大镜的焦距。

解决方案

a. 所需的线性放大倍率是所需图像直径与钻石实际直径的比率（方程\ ref {eq15}）。 因为珠宝商将放大镜放在眼睛附近，图像在他的近点形成，所以线性放大倍率与角度放大倍率相同，所以

$$\begin{align*} M &=m=\dfrac{h_i}{h_o}\\[4pt] &=\dfrac{15\,mm}{3.0\,mm} \\[4pt] &=5.0.\end{align*} \nonumber$$

放大镜的焦距 f 可以通过求解方程\ ref {eq13} 来计算$f$，这给出了

$$M=1+\dfrac{25\,cm}{f} \nonumber$$

$$\begin{align*} f&=\dfrac{25\,cm}{M−1} \\[4pt] &= \dfrac{25\,cm}{5.0−1} \\[4pt] &= 6.3\,cm \end{align*} \nonumber$$

b. 为了使图像放大十倍，我们再次求解方程\ ref {eq13}$f$，但这次我们使用$M=10$。 结果是

$$\begin{align*} f &=\dfrac{25\,cm}{M−1} \\[4pt] &=\dfrac{25\,cm}{10−1} \\[4pt] &=2.8\,cm. \end{align*} \nonumber$$

意义

请注意，使用焦距较小的镜头可以获得更大的放大倍率。 因此，我们需要使用曲率半径小于几厘米的镜头，并将其保持在离眼睛很近的地方。 这不是很方便。 下一节将探讨的复合显微镜可以克服这个缺点。