18.9: 线性动量和碰撞

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检查你的理解

9.1。 要在 10g 的加速度下达到 v _f =$\frac{1}{4}$ (3.0 x 10 ⁸ m/s) 的最终速度，所需时间为 $$\ begin {split} 10g & =\ frac {v_ {f}} {\ delta t}\ frac {1} {4} (3.0\ times 10^ {8}\; m/s)} {10g} = 7.7\ times 10^ {5}\; s = 8.9\; d\end {split}\]

9.2。 如果手机以与其冲击速度大致相同的初始速度反弹，则手机的动量就会发生变化$\Delta \vec{p} = m \Delta \vec{v} − (−m \Delta \vec{v}) = 2m \Delta \vec{v}$。这是手机不反弹时的动量变化的两倍，因此脉冲动量定理告诉我们，必须对手机施加更大的力。

9.3。 如果较小的手推车以 1.33 m/s 的速度向左滚动，则动量守恒给出 $$\ begin {split} (m_ {1} + m_ {2})\ vec {v} _ {f} & = m_ {1} v_ {2}\;\ hat {i}\\\ vec {v} _ {f} & =\ 左 (\ dfrac {m_ {1} v_ {1} − m_ {2} v_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}\ 右)\;\ hat {i}\\ & =\ Bigg [\ frac{(0.675\; kg) (0.75\; m/s) − (0.500\; kg) (1.33\; m/s)} {1.175\; kg}\ Bigg]\;\ hat {i}\\ n {split} $$ 因此，最终速度为向左 0.135 m/s。

9.4。 如果球没有反弹，它的最终动量$\vec{p}_{2}$为零，所以 $$\ begin {split}\ Delta\ vec {p} _ {2} −\ vec {p} _ {1}\\ & = (0)\;\ hat {j} − (−1.4\; kg\ cdotp m/s)\;\ hat {j}\\ & + (1.4\; kg\ cdotp m/s)\;\ hat {j}\ end {split}\]

9.5。 以冲动动量理论为例$\vec{J} = \Delta \vec{p}$。如果$\vec{J}$ = 0，我们有示例中描述的情况。如果力量作用于系统，那么$\vec{J} = \vec{F}_{ave} \Delta t$。因此，取而代之的是$\vec{p}_{f} = \vec{p}_{i}$，我们$\vec{F}_{ave} \Delta t = \Delta \vec{p} = \vec{p}_{f} − \vec{p}_{i}$知道摩擦产生的力在哪里$\vec{F}_{ave}$。

9.6。 冲量是动量的变化乘以变化发生所需的时间。通过动量守恒，探测器和注释的动量变化幅度相同，但方向相反，两者的相互作用时间也相同。因此，每个接收的脉冲的幅度相同，但方向相反。因为它们的作用方向相反，所以冲动是不一样的。至于冲动，每个物体上的力以相反的方向起作用，因此每个物体上的力不相等。但是，每种动能的变化各不相同，因为碰撞不是弹性的。

9.7。 这个解决方案代表了不发生交互的情况：第一个冰球错过了第二个冰球，继续向左移动 2.5 m/s 的速度。这个案例没有提供任何有意义的物理见解。

9.8。 如果零摩擦作用在汽车上，那么它将继续无限滑动（d → ∞），因此我们不能像示例中那样使用工作动能定理。因此，我们无法从给出的信息中解决问题。

9.9。 如果初始速度不是直角，则必须以分量形式表示其中一个或两个速度。对问题的数学分析将稍微复杂一些，但物理结果不会改变。

9.10。 潜水箱的体积约为 11 L 假设空气是理想的气体，那么水箱中的气体分子数量为 $$\ begin {split} PV & = NRT\\ N & =\ frac {PV} {(2500\; psi) (0.011\; m^ {3})} {(8.31\; j/mol\ cdotp K) (300\; K)}\ 左 (\ dfrac {6894.8\; Pa} {1\; psi}\ 右)\\ & = 75.9\; mol\ end {split} $$空气的平均分子质量为 29 g/mol，因此储罐中所含的空气质量约为 2.2 千克。这比坦克的质量小约10倍，因此可以放心地忽略它。此外，气压的初始力与每块零件的表面积大致成正比，而表面积又与每块零件的质量成正比（假设厚度均匀）。因此，如果我们明确考虑空气，则每块棋子的初始加速度变化很小。

9.11。 地球绕太阳轨道的平均半径为 1.496 x 10 ⁹ m。以太阳为起点，注意太阳的质量与太阳、地球和月球的总质量大致相同，地球 + 月球系统和太阳的质心为 $$\ begin {split} R_{CM} & =\ frac {m_ {Sun} R_ {Sun} + m_ {em} R_ {em}} {m_ {Sun}}\\ & =\ frac {(1.989\ times 10^ {30}\; kg) (0) + (5.97\ times 10^ {22}\; kg) (1.44 96\ times 10^ {9}\; m)} {1.989\ times 10^ {30}\; kg}\\ & = 4.6\; km\ end {split} $$因此，太阳、地球、月球系统的质心为 4.6距离太阳中心 km。

9.12。 在宏观尺度上，单位电池的大小可以忽略不计，可以认为晶体质量在整个晶体中均匀分布。因此，$$\ vec {r} _ {CM} =\ frac {1} {M}\ sum_ {j = 1} ^ {N} m_ {j}\ vec {r} _ {j} =\ frac {1} {m} =\ frac {m} {m} sum_ {j = 1} ^ {N}\ vec {r} _ {j} =\ frac {Nm} {M}\ frac {\ sum_ {j = 1} ^ {N}\ vec {r} _ {j}} {N} $$其中我们求和晶体中 N 个单位单元的质量。因为 Nm = M，我们可以写 $$\ vec {r} _ {CM} =\ frac {m} {M}\ sum_ {j = 1} ^ {N}\ vec {r} _ {j} =\ frac {\ sum_ {j} ^ {N}\ vec {r} _ {n} {n}\\ frac c {1} {N}\ sum_ {j = 1} ^ {N}\ vec {r} _ {j}\ ldotp$这是晶体几何中心的定义，所以质心与几何位于同一点中心。

9.13。 爆炸本质上是球形对称的，因为重力不会扭曲膨胀射弹的轨迹。

9.14。 符号 m _g 代表燃料的质量，m 代表火箭的质量加上燃料的初始质量。注意 m _g 会随着时间而变化，所以我们把它写成 m _g (t)。使用 m _R 作为不含燃料的火箭的质量，火箭加燃料的总质量为 m = m _R + m _g (t)。时间上的差异使得 $$\ frac {dm} {dt} =\ frac {dm_ {R}} {dt} +\ frac {dm_ {g} (t)} {dt} =\ frac {dm_ {g} (t)} {dt} $where$\frac{dm_{R}}{dt}$ = 0 因为火箭的质量没有变化。因此，火箭质量的时间变化率与燃料质量的时间变化率相同。

概念性问题

1。由于 K =$\frac{p^{2}}{2m}$，那么如果动量是固定的，则质量较小的物体具有更多的动能。

3。是的；冲量是施加的力乘以施加的时间（J = F$\Delta$ t），因此，如果一个小力作用很长时间，它产生的冲量可能比在短时间内起作用的大力更大。

5。通过摩擦，道路对汽车的轮胎施加水平力，从而改变汽车的动量。

7。当目标系统的质量在相关相互作用期间保持恒定并且在相互作用期间没有净外力作用于系统时，动量是保守的。

9。为了使空气分子朝着汽车的运动方向加速，汽车必须按照牛顿第二定律对这些分子施加力$\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt}$。根据牛顿第三定律，空气分子在汽车上施加的力大小相等，但方向相反。这种力在与汽车运动相反的方向上起作用，构成了由于空气阻力而产生的力。

11。 不，他不是一个封闭的系统，因为净的非零外力以起跑方块推动他的脚的形式作用于他身上。

13。 是的，如果两个质量因碰撞而休息（即它们粘在一起），所有的动能都可能丢失。

15。 方向之间的角度必须为 90°。任何在一个方向上具有零净外力而在垂直方向上具有非零净外力的系统都将满足这些条件。

17。 是的，火箭的速度可以超过它喷出的气体的排气速度。火箭的推力不取决于气体和火箭的相对速度，它只取决于动量守恒。

问题

19。 a. 大小：25 kg • m/s

b. 与 a 相同。

21。 1.78 x 10 ²⁹ kg • m/s

23。 1.3 x 10 ⁹ 千克 • m/s

25。 a. 1.50 x 10 ⁶ N

b. 1.00 x 10 ⁵ N

27。 4.69 x 10 ⁵ N

29。 2.10 x 10 ³ N

31。 $\vec{p}$(t) = (10$\hat{i}$ + 20t$\hat{j}$) kg • m/s;$\vec{F}$ = (20 N)$\hat{j}$

33。 假设 x 轴正向原始动量方向。然后 p _x = 1.5 kg • m/s 和 p _y = 7.5 kg • m/s

35。 (0.122 m/s)$\hat{i}$

37。 a. 子弹距离方向 47 m/s

b. 70.6 N • s，朝向子弹

c. 70.6 N • s，朝向方块

d. 幅度为 2.35 x 10 ⁴ N

39。 3.1 m/s

41。 5.9 m/s

43。 a. 6.80 m/s、5.33°

b. 是（计算初始动能和最终动能之比）

45。 2.5 厘米

47。 领先的碰碰车的速度为6.00 m/s，后排碰车的速度为5.60 m/s

49。 6.6%

51。 1.9 m/s

53。 在水平线以下 32.2° 处为 22.1 m/s

55。 a. 33 m/s 和 110 m/s

b. 57 m

c. 480 m

57。 (732 m/s)$\hat{i}$ + (−80.6 m/s)$\hat{j}$

59。 − (0.21 m/s)$\hat{i}$ + (0.25 m/s)$\hat{j}$

61。 相对于$\hat{i}$轴线 86.8° 时为 341 m/s。

63。 _{原点定义为 150 克质量的位置，x _{CM = −1.23 cm}，y CM = 0.69 cm}

65。 $$y_ {CM} =\ begin {cases}\ frac {h} {2}-\ frac {1} {4} gt^ {2}，\ quad t < T\\ h-\ frac {1} {2}-\ frac {1} {2} gtt，\ quad t\ geq T\ end {cases}\]

67。 a. R ₁ = 4 m，R ₂ = 2 m

b. b. X _CM =$\frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}$，Y _CM =$\frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

c. 是的，使用 R =$\frac{1}{m_{1} + m_{2}} \sqrt{16m_{1}^{2} + 4m_{2}^{2}}$

69。 x _厘米 =$\frac{3}{4} L \left(\dfrac{\rho_{1} + \rho_{0}}{\rho_{1} + 2 \rho_{0}}\right)$

71。 $\left(\dfrac{2a}{3}, \dfrac{2b}{3}\right)$

73。 (x _CM, y _CM, z _CM) = (0,0,$\frac{h}{4}$)

75。 (x _厘米、y _厘米、z _CM) = (0$\frac{4R}{3 \pi}$, 0)

77。 a. 0.413 m/s

b. 大约 0.2 焦耳

79。 1551 千克

81。 4.9 km/s

其他问题

84。大象的动量更高

86。 答案可能有所不同。第一句是正确的，但第二句总体上不正确，因为质量较小的物体的速度可能足够大，因此该物体的动量大于速度较小的较大质量物体的动量。

88。 4.5 x 10 ³ N

90。 $$\ vec {J} =\ int_ {0} ^ {\ tau}\ Big [m\ vec {g}-m\ vec {g} (1-e^ {\ frac {-bt} {m}})\ Big] dt =\ frac {m^ {g} (e^ {\ frac {-b\ tau} {m}}-1)\]

92。 a. − (2.1 x 10 ³ kg • m/s)$\hat{i}$

b. − (24 x 10 ³ N)$\hat{i}$

94。 a. (1.1 x 10 ³ kg • m/s)$\hat{i}$

b. (0.010 kg • m/s)$\hat{i}$

c. − (0.00093 m/s)$\hat{i}$

d. − (0.0012 m/s)$\hat{i}$

96。 − (7.2 m/s)$\hat{i}$

98。 v _1，f = v _1，i$\frac{m_{1} − m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$，v _2，f = v _1，i$\frac{2m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$

100。 2.8 m/s

102。 0.094 m/s

104。 母球的最终速度为 − (0.76 m/s)$\hat{i}$，其他两个球的最终速度相对于母球的初始速度在 ± 30° 时为 2.6 m/s

106。 球 1: − (1.4 m/s)$\hat{i}$ − (0.4 m/s)$\hat{j}$、球 2: (2.2 m/s)$\hat{i}$ + (2.4 m/s)$\hat{j}$

108。 球 1: (1.4 m/s)$\hat{i}$ − (1.7 m/s)$\hat{j}$，球 2: − (2.8 m/s)$\hat{i}$ + (0.012 m/s)$\hat{j}$

110。 (r,$\theta$) =$\left(\dfrac{2R}{3}, \dfrac{\pi}{8}\right)$

112。 答案可能有所不同。火箭向前推进的不是由气体推向地球表面，而是通过动量守恒推动的。气体从火箭背面排出的势头必须通过火箭前进动量的增加来补偿。

挑战问题

114。 a. 617 N • s，108°

b. F _x = 2.91 x 10 ⁴ N，F _y = 2.6 x 10 ⁵ N

c. F _x = 5850 N，F _y = 5265 N

116。 动量守恒要求 m ₁ v _1、i + m ₂ v _2、i = m ₁ v _1、f + m ₂ v _2、f。我们得出 m ₁ = m ₂、v _1、i = v _2、f 和 v _2，i = v _1，f = 0。将这些方程与动量守恒给出的方程相结合_{，得出 v 1，i} = v _1，i，这是事实，因此动量守恒得到了满足。节能要求$\frac{1}{2}$ m ₁ v _1、i ² +$\frac{1}{2}$ m ₂ v _2、i ² =$\frac{1}{2}$ m ₁ v _1、f ² +$\frac{1}{2}$ m ₂ v _2、f ²。再将这个方程与上面给出的条件相结合，得出 v _1，i = v _1，i，这样就满足了能量守恒的要求。

118。 假设原点位于中心线和地面，然后 (x _CM, y _CM) = (0, 86 cm)