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16.4: 拉伸绳上的波速

学习目标
  • 确定影响弦上波浪速度的因素
  • 为字符串上波浪的速度写一个数学表达式,并将这些概念推广到其他媒体中

波浪的速度取决于介质的特性。 例如,对于吉他,琴弦会振动以产生声音。 琴弦上波浪的速度和波长决定了发出的声音的频率。 吉他上的琴弦有不同的厚度,但可能由相似的材料制成。 它们具有不同的线性密度,其中线性密度定义为每长度的质量,

μ=mass of stringlength of string=ml.

在本章中,我们只考虑具有恒定线性密度的字符串。 如果线性密度恒定,则小长度的字符串 (ΔmΔx) 的质量 () 为Δm=μΔx。 例如,如果绳子的长度为 2.00 m,质量为 0.06 kg,则线性密度为μ=0.06kg2.00m = 0.03 kg/m。如果从绳子上切出 1.00 毫米的截面,则 1.00 毫米长度的质量为

Δm=μΔx=(0.03kg/m)(0.001m)=3.00×105kg.

吉他还有一种改变琴弦张力的方法。 琴弦的张力是通过旋转主轴(称为调音钉)来调整的,琴弦缠绕在主轴周围。 对于吉他来说,弦的线性密度和弦中的张力决定了弦中波浪的速度,而产生的声音的频率与波速成正比。

张力下弦上的波速

要了解弦上波浪的速度如何取决于张力和线性密度,可以考虑沿着拉紧的绳子发出的脉冲(图16.4.1)。 当拉紧的琴弦处于平衡位置时,琴弦中的张力FT是恒定的。 假设字符串中质量等于的小元素Δm=μΔx。 质量元素处于静止状态和平衡状态,质量元素两侧的张力相等且相反。

该图显示了字符串的一部分,其中一部分突出显示。 突出显示部分的长度被标记为 delta x。该部分的两个箭头沿着字符串的长度指向相反的方向。 它们被标记为 F 下标 T。突出显示的部分被标记为 delta m 等于 mu delta x。
16.4.1:绳子的质量元素在张力下保持拉紧FT。 质量元素处于静态平衡状态,作用在质量元素两侧的张力大小相等,方向相反。

如果你在张力下拔出一根绳子,横向波会向正 x 方向移动,如图所示16.4.2。 质量元素很小,但在图中放大了以使其可见。 由于弦提供的恢复力,小质量元素垂直于波浪运动振荡,并且不会在 x 方向上移动。 弦中的张力 F T 在 x 方向和正 x 方向上起作用,近似恒定,与位置和时间无关。

图中显示了脉冲波。 沿着波浪的向上斜率显示了两个箭头,一个指向上和向右,另一个指向下和向左。 这些标有 F 的箭头分别使用 theta 2 和 theta 1 形成角度
16.4.2:一根受拉的绳子被弹出,使脉冲沿着弦向正 x 方向移动。

假设移位的弦相对于水平轴的倾角很小。 与弦平行作用的弦元素上的净力是弦中张力和恢复力的总和。 张力的 x 分量取消,因此净力等于力的 y 分量之和。 力的 x 分量的大小等于弦的水平张力,FT如图所示16.4.2。 要获得力的 y 分量,请注意棕褐色θ1=F1FTtanθ2=F2FT。 等tanθ于某个点处函数的斜率,等于该点上 y 相对于 x 的偏导数。 因此,等F1FT于 x 1 处字符串的负斜率,等F2FT于 x 2 处字符串的斜率:

F1FT=(yx)x1andF2FT=(yx)x2.

小质量元素上的净力可以写成

Fnet=F1+F2=FT[(yx)x2(yx)x1].

使用牛顿第二定律,净力等于质量乘以加速度。 弦的线性密度 μ 是弦每长度的质量,而弦部分的质量为μΔ x,

FT[(yx)x2(yx)x1]=Δma=μΔx(2yt2).

除以 F TΔ x 并在Δ x 接近零时取极限,

limΔx0[(yx)x2(yx)x1]Δx=μFT2yt22yx2=μFT2yt2.

回想一下,线性波动方程是

2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2.

因此,

1v2=μFT.

求解一v下,我们发现弦上波浪的速度取决于张力和线性密度

张力下弦上波浪的速度

拉伸下弦上脉冲或波浪的速度可以通过以下方程式得出

|v|=FTμ

其中,FT是弦中的张力µ,是琴弦每长度的质量。

示例 16.5:吉他弹簧的波速

在六弦吉他上,高 E 弦的线性密度为μHighE = 3.09 x 10 −4 kg/m,低 E 弦的线性密度为μLowE = 5.78 x 10 −3 kg/m。(a) 如果弹奏高 E 弦在琴弦中产生波浪,则波浪的速度是多少琴弦的张力为 56.40 N? (b) 低 E 弦的线性密度大约是高 E 弦的 20 倍。 要使波浪以与高 E 弦相同的波速穿过低 E 弦,张力需要比高 E 弦大还是小? 大概的张力是多少? (c) 计算相同波速所需的低 E 弦的张力。

策略

  1. 波的速度可以从线性密度和张力中得出v=FTμ
  2. 根据方程 v =FTμ,如果线性密度增加近 20 倍,则张力需要增加 20 倍。
  3. 知道速度和线性密度,就可以求解张力 F T =μ v 2 的速度方程。
解决方案
  1. 使用速度方程求出速度:v= sqrt fracFT mu= sqrt frac56.40N3.09 times104kg/m=427.23m/s ldotp
  2. 紧张局势需要增加大约20倍。 张力将略小于 1128 N。
  3. 使用速度方程求出实际张力:FT= muv2=(5.78 times103kg/m)(427.23m/s)2=1055.00N ldotp
  4. 该解在近似值的 7% 以内。

意义

六弦的标准音符(高 E、B、G、D、A、低 E)经过调整,在弹奏时以基本频率(329.63 Hz、246.94 Hz、196.00 Hz、146.83 Hz、110.00 Hz 和 82.41 Hz)振动。 频率取决于弦上波浪的速度和波浪的波长。 六根弦具有不同的线性密度,通过改变琴弦的张力进行 “调整”。 我们将在《波浪干扰》中看到,波长取决于弦的长度和边界条件。 要演奏基本音符以外的音符,可通过向下按琴弦来改变琴弦的长度。

练习 16.5

弦上波浪的波速取决于张力和线性质量密度。 如果张力加倍,琴弦上波浪的速度会怎样?

流体中压缩波的速度

弦上波浪的速度取决于张力的平方根除以每长度的质量,即线性密度。 通常,波浪穿过介质的速度取决于介质的弹性特性和介质的惯性特性。

|v|=elasticpropertyinertialproperty

弹性特性描述了介质中的粒子在受到干扰时返回其初始位置的趋势。 惯性特性描述了粒子抵抗速度变化的趋势。

纵波穿过液体或气体的速度取决于流体的密度和流体的体积模量,

v=βρ.

这里的体积模量定义为 Β =ΔPΔVV0,其中Δ P 是压力的变化,分母是体积变化与初始体积的比率,ρmV是单位体积的质量。 例如,声音是一种通过流体或固体传播的机械波。 大气压为 1.013 x 10 5 Pa、温度为 20°C 时,空气中的声速为 v s β 343.00 m/s。由于密度取决于温度,因此空气中的声速取决于空气的温度。 这将在声音中详细讨论。