15.S：振荡（摘要）
- Page ID
- 205008
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
关键条款
| 振幅 (A) | 距离围绕平衡位置振荡的物体的平衡位置的最大位移 |
| 严重阻尼 | 在这种情况下，振荡器的阻尼使其尽快恢复到平衡位置，而不会在该位置上来回振荡 |
| 弹性势能 | 由于弹性物体变形而存储的势能，例如弹簧的拉伸 |
| 平衡位置 | 弹簧既未拉伸也未压缩的位置 |
| 力常数 (k) | 弹簧的特性，定义为施加于弹簧的力与由力引起的位移之比 |
| 频率 (f) | 每单位时间的事件数 |
| 自然角频率 | 在 SHM 中振荡的系统的角频率 |
| 振荡 | 在围绕平衡值或平均值的两个极值之间，一个数量的单次波动或一个数量的反复和定期波动 |
| 过度潮湿 | 在这种情况下，振荡器的阻尼使其在不振荡的情况下恢复平衡；振荡器向平衡移动的速度比在临界阻尼系统中要慢 |
| 周期 (T) | 完成一次振荡所花费的时间 |
| 周期性运动 | 以固定时间间隔重复的动作 |
| 相移 | 角度，以弧度为单位，用于余弦或正弦函数中用于向左或向右移动函数，用于将函数与数据的初始条件相匹配 |
| 物理摆锤 | 任何像钟摆一样摆动的延伸物体 |
| 共振 | 系统中的大振幅振荡由小振幅驱动力产生，其频率等于自然频率 |
| 恢复力 | 力作用与变形造成的力相反 |
| 简单谐波运动 (SHM) | 系统中的振荡运动，其中恢复力与位移成正比，位移的方向与位移相反的方向起作用 |
| 简单谐波振荡器 | 一种在 SHM 中振荡的装置，其中恢复力与位移成正比，其作用方向与位移相反 |
| 简单摆锤 | point mass，叫做 pendulum bob，附着在一根几乎没有质量的绳子上 |
| 稳定的平衡点 | 系统上的净力为零的点，但质量的微小位移将产生指向平衡点的恢复力 |
| 扭摆 | 任何通过扭动悬架而振荡的悬浮物体 |
| 潮湿不足 | 在这种情况下，振荡器的阻尼会导致阻尼谐波振荡器的振荡幅度随着时间的推移而减小，最终接近零 |
关键方程式
| 频率和周期之间的关系 | $$f =\ frac {1} {T} $$ |
| SHM 中的位置\(\phi\) = 0.00 | $$x (t) = A\ cos (\ omega t) $$ |
| 在 SHM 的总体立场 | $$x (t) = A\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| 以 SHM 为单位的一般速度 | $$v (t) =-A\ omega\ sin (\ omega t +\ phi) $$ |
| SHM 中的常规加速 | $$a (t) =-A\ omega^ {2}\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| SHM 的最大位移（振幅） | $$x_ {max} = A$$ |
| SHM 的最大速度 | $$|v_ {max} | = A\ omega$$ |
| SHM 的最大加速度 | $$|a_ {max} | = A\ omega^ {2} $$ |
| SHM 中质量弹簧系统的角频率 | $$\ omega =\ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| SHM 中质量弹簧系统的周期 | $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {m} {k}} $$ |
| SHM 中质量弹簧系统的频率 | $$f =\ frac {1} {2\ pi}\ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| SHM 质量弹簧系统中的能量 | $$E_ {Total} =\ frac {1} {2} kx^ {2} +\ frac {1} {2} mv^ {2} =\ frac {1} {2} ka^ {2} $$ |
| SHM 中弹簧质量系统中的质量速度 | $$v =\ pm\ sqrt {\ frac {k} {m} (A^ {2}-x^ {2})} $$ |
| 旋转圆盘半径的 x 分量 | $$x (t) = A\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| 旋转圆盘边缘速度的 x 分量 | $$v (t) =-v_ {max}\ sin (\ omega t +\ phi) $$ |
| 旋转圆盘边缘加速度的 x 分量 | $$a (t) =-a_ {max}\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| 简单摆锤的力方程 | $$\ frac {d^ {2}\ theta} {dt^ {2}} =-\ frac {g} {L}\ theta$$ |
| 简单摆锤的角频率 | $$\ omega =\ sqrt {\ frac {g} {L}} $$ |
| 简单钟摆的时期 | $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {L} {g}} $$ |
| 物理摆的角频率 | $$\ omega =\ sqrt {\ frac {mgL} {I}} $$ |
| 物理钟摆的时期 | $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {mgL}} $$ |
| 扭摆周期 | $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {\ kappa}} $$ |
| 牛顿谐波运动第二定律 | $$m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} + b\ frac {dx} {dt} + kx = 0$$ |
| 阻尼不足谐波运动的解决方案 | $$x (t) = A_ {0} e^ {-\ frac {b} {2m} t}\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| 质量弹簧系统的自然角频率 | $$\ omega_ {0} =\ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| 阻尼不足谐波运动的角频率 | $$\ omega =\ sqrt {\ omega_ {0} ^ {2}-\ 左 (\ dfrac {b} {2m}\ 右) ^ {2}} $$ |
| 强制阻尼振荡的牛顿第二定律 | $$-kx-b\ frac {dx} {dt} + F_ {0}\ sin (\ omega t) = m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} $$ |
| 强制阻尼振荡牛顿第二定律的解 | $$x (t) = A\ cos (\ omega t +\ phi) $$ |
| 遭受强制阻尼振荡的系统的振幅 | $$A =\ frac {F_ {0}} {\ sqrt {m (\ omega^ {2}-\ omega_ {0} ^ {2}) ^ {2} + b^ {2}\ omega^ {2}} $$ |
摘要
15.1 简单谐波运动
- 周期性运动是一种重复的振荡。 一次振荡的时间是周期 T，每单位时间的振荡次数是频率 f。这些量是相互关联的\(f = \frac{1}{T}\)。
- 简单谐波运动 (SHM) 是系统的振荡运动，在这种系统中，恢复力与位移成正比，作用方向与位移相反。
- 最大位移是振幅 A。简单谐波振荡器的角频\(\omega\)率、周期 T 和频率 f 由\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) T = 2\(\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\) 和 f = 给出\(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\)，其中 m 是系统的质量，k 是力常数。
- 在 SHM 中，位移作为时间的函数由 x (t) = Acos\(\left(\dfrac{2 \pi}{T} t + \phi \right)\) = Acos (\(\omega t + \phi\)) 给出。
- 速度由 v (t) =-A\(\omega\) sin (\(\omega t + \phi\)) =-v max sin (\(\omega t + \phi\)) 给出，其中 v max = A\(\omega\) = A\(\sqrt{\frac{k}{m}}\)。
- 加速度由 a (t) =-A\(\omega^{2}\) cos (\(\omega t + \phi\)) =-a max cos (\(\omega t + \phi\)) 给出，其中 a max = A\(\omega^{2}\) = A\(\frac{k}{m}\)。
15.2 简单谐波运动中的能量
- 最简单的振荡类型与可以用胡克定律描述的系统有关，F = −kx，其中 F 是恢复力，x 是平衡或变形产生的位移，k 是系统的力常数。
- 可以用胡克定律描述的系统变形中存储的弹性势能 U 由 U =\(\frac{1}{2}\) kx 2 给出。
- 简单谐波振荡器中的能量由弹性势能和动能共享，总量恒定：$$E_ {Total} =\ frac {1} {2} kx^ {2} +\ frac {2} {2} =\ frac {1} {2} ka^ {2} = 常量\ ldotp$$
- 使用 $$v =\ sqrt {\ frac {k} {m} (A^ {2}-x^ {2})}\ ldotp$$ 可以找到速度的大小作为位置函数
15.3 比较简单谐波运动和圆周运动
- 均匀圆周运动的投影会经历简单的谐波振荡。
- 假设一个半径为 A 的圆，以恒定角速度移动\(\omega\)。 圆边上的点以 v max = A 的恒定切向速度移动\(\omega\)。 半径在 x 轴上的投影为 x (t) = Acos (\(\omega\)t +\(\phi\))，其中 (\(\phi\)) 是相移。 切向速度的 x 分量为 v (t) = −A\(\omega\) sin (\(\omega\)t +\(\phi\))。
15.4 钟摆
- 由长度为 L 且质量可忽略不计的电线悬挂的质量 m 是一个简单的摆锤，振幅小于大约 15° 时会经受 SHM。 简单摆锤的周期为 T = 2\(\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)，其中 L 是弦的长度，g 是重力引起的加速度。
- 如果已知惯性矩，则\(\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}\)可以找到物理摆的周期 T = 2。 旋转点和质心之间的长度为 L。
- 如果已知惯性矩和扭矩常数，则\(\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}}\)可以找到扭摆周期 T = 2。
15.5 阻尼振荡
- 阻尼谐波振荡器具有消耗能量的非保守力。
- 临界阻尼使系统尽可能快地恢复平衡，而不会超调。
- 阻尼不足的系统将在平衡位置振荡。
- 过度阻尼的系统走向平衡的速度要比受到严重阻尼的系统慢。
15.6 强制振荡
- 系统的固有频率是系统在不受驱动力或阻尼力影响时振荡的频率。
- 以固有频率驱动谐波振荡器的周期性力会产生共振。 据说系统会产生共鸣。
- 系统的阻尼越小，共振附近的强制振荡的振幅就越高。 系统的阻尼越大，它对不同驱动频率的响应就越广。