11.S：角动量（摘要）
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关键条款
| 角动量 | 线性动量的旋转模拟，通过取惯性矩和角速度的乘积得出 |
| 角动量守恒定律 | 角动量是保守的，也就是说，当没有对系统施加外部扭矩时，初始角动量等于最终角动量 |
| 进动 | 由于扭矩，旋转物体轴线的极点绕另一个轴线进行圆周运动 |
| 滚动动作 | 旋转和平移运动的组合，有或没有滑动 |
关键方程式
| 滚动物体质心速度 | $$v_ {CM} = R\ omega$$ |
| 滚动物体质心加速 | $$a_ {CM} = R\ alpha$$ |
| 滚动物体质心的位移 | $$d_ {CM} = R\ theta$$ |
| 加速物体滚动而不会滑动 | $$a_ {CM} =\ frac {mg\ sin\ theta} {m +\ 左 (\ dfrac {I_ {CM}} {r^ {2}}\ 右)} $$ |
| 角动量 | $$\ vec {l} =\ vec {r}\ times\ vec {p} $$ |
| 角动量的导数等于扭矩 | $$\ frac {d\ vec {l}} {dt} =\ sum\ vec {\ tau} $$ |
| 粒子系统的角动量 | $$\ vec {L} =\ vec {l} _ {1} +\ vec {l} _ {2} +\ cdots +\ vec {l} _ {N} $$ |
| 对于粒子系统，角动量的导数等于扭矩 | $$\ frac {d\ vec {L}} {dt} =\ sum\ vec {\ tau} $$ |
| 旋转刚体的角动量 | $$L = 我\ omega$$ |
| 角动量守恒 | $$\ frac {d\ vec {L}} {dt} = 0$$ |
| 角动量守恒 | $$\ vec {L} =\ vec {l} _ {1} +\ vec {l} _ {2} +\ cdots +\ vec {l} _ {N} = constant$$ |
| 进动角速度 | $$\ omega_ {P} =\ frac {rMG} {I\ omega} $$ |
摘要
11.1 滚动动作
- 在没有滑动的滚动运动中，滚动物体和表面之间存在静态摩擦力。 关系 v CM = R\(\omega\)、a CM = R\(\alpha\) 和 d CM = R\(\theta\) 都适用，因此质心的线性速度、加速度和距离是角度变量乘以物体的半径。
- 在带有滑动的滚动运动中，滚动物体和表面之间会产生动摩擦力。 在本例中，v CM ≤ R\(\omega\)、a CM ≤ R\(\alpha\) 和 d CM ≤ R\(\theta\)。
- 节能可用于分析滚动运动。 在滚动运动中节省能量而不会滑动。 由于动摩擦产生的热量，在滑动运动中无法节省能量。
11.2 角动量
- 单个粒子\(\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}\)围绕指定原点的角动量是给定坐标系中位置向量和粒子的线性动量的向量乘积。
- 粒子系统围绕指定原点的角动\(\vec{l} = \sum_{i} \vec{l}_{i}\)量是构成该系统的粒子的单个力量的矢量和。
- 系统围绕给定原点的净扭矩是围绕该原点的角动量的时间导数：\(\frac{d \vec{L}}{dt} = \sum \vec{\tau}\)
- 刚性旋转体的角动量 L = I 沿着旋转轴\(\omega\)指向。 角动量的时间导数\(\frac{dL}{dt} = \sum \tau\)给出了刚体上的净扭矩，并沿着旋转轴定向。
11.3 角动量守恒
- 在没有外部扭矩的情况下，系统的总角动量是保守的。 这是当系统上的外力为零时保持线性动量的旋转对应物。
- 对于在没有净外部扭矩的情况下改变其角动量的刚体，角动量守恒使得 I f\(\omega_{f}\) = I i\(\omega_{i}\)。 这个方程表示角速度与惯性矩成反比。 因此，如果惯性矩减小，则必须增加角速度以保持角动量。
- 可以使用角动量守恒来分析同时包含点粒子和刚体的系统。 系统中所有主体的角动量必须围绕公共轴测量。
11.4 陀螺仪的进动
- 当陀螺仪设置在靠近地球表面的枢轴上时，它会绕垂直轴移动，因为扭矩总是水平且垂直于\(\vec{L}\)。 如果陀螺仪没有旋转，它会在扭矩方向上获得角动量，然后绕水平轴旋转，像我们预期的那样掉落。
- 进动角速度由下式给出\(\omega_{P} = \frac{rMg}{I \omega}\)，其中 r 是从陀螺仪轴心到质心的距离，I 是陀螺仪旋转盘的惯性矩，M 是其质量，\(\omega\)是陀螺盘的角频率。