9.11: 火箭推进器

学习目标

• 描述质量随时间变化时动量守恒的应用以及速度
• 在给定初始条件下，计算火箭在某个时候在空白空间中的速度
• 在给定初始条件下，计算火箭在某个时候在地球重力场中的速度

现在我们来处理物体质量发生变化的情况。 我们分析了火箭的运动，火箭通过喷射燃烧的燃料气体来改变其速度（从而改变其动量），从而使其朝与喷射燃料速度相反的方向加速（图$\PageIndex{1}$）。 具体而言：深空中充满燃料的火箭飞船的总质量_{为 m 0}（该质量包括燃料的初始质量）。 在某个时刻，火箭的速度$\vec{v}$和质量为m；这个质量是空火箭的质量和它所含剩余未燃烧燃料的质量的组合。 （我们将 m 称为 “瞬时质量” 和$\vec{v}$ “瞬时速度”。） 火箭通过燃烧其携带的燃料并喷出燃烧的废气来加速。 如果燃料的燃烧速率恒定，排气的喷射速度也恒定，那么火箭燃烧所有燃料后速度的变化是多少？

图$\PageIndex{1}$：航天飞机有许多可重复使用的部件。 每次飞行后，两侧的固体燃料助推器都被回收并加油，然后整个轨道飞行器返回地球，用于随后的飞行。 大型液体燃料箱已耗尽。 航天飞机是一个复杂的技术组合，它使用固体和液体燃料，以及开创性的瓷砖作为重返大气层隔热罩。 因此，它允许多次发射，而不是一次性火箭。 （来源：美国宇航局对作品的修改）

物理分析

以下是对所发生情况的描述，这样你就可以感受一下所涉及的物理学。

• 在火箭发动机运行时，它们会不断喷射燃烧的燃料气体，这些气体既有质量又有速度，因此也有一定的动量。 通过保持动量，火箭的动量变化幅度相同（带有相反的符号）。 我们将假设燃烧的燃料以恒定速率喷出，这意味着火箭动量的变化速度也是恒定的。 根据方程式 9.4.17，这表示火箭上的恒定力。
• 但是，随着时间的推移，火箭的质量（包括剩余燃料的质量）不断降低。 因此，尽管火箭上的力是恒定的，但由此产生的加速度并非如此；它在不断增加。
• 因此，火箭速度的总变化将取决于燃烧的燃料质量，而这种依赖性不是线性的。

问题在于火箭的质量和速度发生变化；而且，喷射气体的总质量正在发生变化。 如果我们将系统定义为火箭+燃料，那么这是一个封闭的系统（由于火箭在深空，因此没有外力作用于该系统）；因此，该系统的动量是保守的。 因此，我们可以应用动量守恒来回答这个问题（图$\PageIndex{2}$）。

图$\PageIndex{2}$：由于火箭向左排出部分燃料，火箭向右加速。 动量守恒使我们能够确定由此产生的速度变化。 质量 m 是火箭的瞬时总质量（即火箭体的质量加上当时的燃料质量）。 （来源：美国航空航天局/比尔·英格尔斯对作品的修改）

在瞬时火箭总质量为 m（即 m 是火箭体的质量加上当时的燃料质量）的同时，我们将火箭的瞬时速度定义为$\vec{v}$ = v$\hat{i}$（在 +x 方向）；该速度是相对于惯性测量的参照系（例如地球）。 因此，系统的初始动量为$\vec{p}_{i}$ = mv$\hat{i}$。

火箭的发动机以恒定速率燃烧燃料，然后向 −x 方向喷射废气。 在无穷小的时间间隔 dt 内，发动机以速度$\vec{u}$ = −u 的速度喷出（正）无穷小质量的气体 dm _g$\hat{i}$；请注意，尽管火箭速度 v$\hat{i}$ 是相对于地球测量的，但废气速度是相对于（移动）测量的火箭。 因此，相对于地球测量，废气的速度为 (v − u)$\hat{i}$。

由于燃气的喷射，火箭的质量减少了 dm _g，其速度增加了 dv$\hat{i}$。 因此，包括火箭的变化和废气的变化，系统的最终动量是

$$\begin{split} \vec{p}_{f} & = \vec{p}_{rocket} + \vec{p}_{gas} \\ & = (m - dm_{g})(v + dv) \hat{i} + dm_{g} (v - u) \hat{i} \ldotp \end{split}$$

由于所有向量都在 x 方向上，因此我们删除了向量表示法。 应用动量守恒，我们得到

$$\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ mv & = (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g} (v - u) \\ mv & = mv + mdv - dm_{g} v - dm_{g} dv + dm_{g} v - dm_{g} u \\ mdv & = dm_{g} dv + dm_{g} u \ldotp \end{split}$$

现在，dm _g 和 dv 都很小；因此，它们的乘积 dm _g dv 非常非常小，比这个表达式中的其他两个项小得多。 因此，我们忽略了这个术语，得到：

$$mdv = dm_{g} u \ldotp$$

我们的下一步是记住，由于 dm _g 代表喷射气体质量的增加，因此它也必须代表火箭质量的减少：

$$dm_{g} = - dm \ldotp$$

取而代之，我们有

$$mdv = -dmu$$

要么

$$dv = -u \frac{dm}{m} \ldotp$$

将火箭的初始质量 m ₀ 积分到最终质量 m 得出我们想要的结果：

$$\begin{split} \int_{v_{i}}^{v} dv & = -u \int_{m_{0}}^{m} \frac{1}{m} dm \\ v - v_{i} & = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \end{split}$$

因此，我们的最终答案是

$$\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \ldotp \label{9.38}$$

这个结果被称为火箭方程。 它最初由苏联物理学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基于 1897 年推出。 它为我们提供了火箭通过燃烧大量燃料而获得的速度变化，从而将火箭的总质量从m ₀ 降低到m。正如预期的那样，$\Delta$v 与火箭质量变化之间的关系是非线性的。

问题解决策略：火箭推进

在火箭问题中，最常见的问题是找出由于在一段时间内燃烧一定量燃料而导致的速度变化；或者确定燃烧燃料产生的加速度。

1. 要确定速度的变化，请使用火箭方程式\ ref {9.38}。
2. 要确定加速度，请使用脉冲动量定理确定力，使用火箭方程确定速度的变化

示例$\PageIndex{1}$: Thrust on a Spacecraft

当飞行员决定向前加速时，航天器正在无重力空间中沿直线移动。 他打开推进器，燃烧的燃料以恒定速率喷出$2.0 \times 10^2\, kg/s$，速度（相对于火箭）为$2.5 \times 10^2 \,m/s$。 航天器及其未燃烧燃料的初始质量为$2.0 \times 10^4\, kg$，推进器开启了 30 秒。

1. 航天器上的推力（喷射的燃料对火箭施加的力）是多少？
2. 航天器的加速度随时间变化是多少？
3. 航天器在 t = 0、15、30 和 35 秒时的加速度是多少？

策略

1. 航天器上的力等于燃料动量的变化率。
2. 知道来自 (a) 部分的力，我们可以使用牛顿第二定律来计算相应的加速度。 这里的关键在于，尽管施加在航天器上的力是恒定的（燃料以恒定速率喷射），但航天器的质量却不是；因此，由力引起的加速度不会恒定。 因此，我们希望得到一个函数$a(t)$。
3. 我们将使用在 (b) 部分中获得的函数，然后替换给出的数字。 重要提示：我们预计，随着时间的推移，加速度会越来越大，因为加速的质量在不断减少（燃料正在从火箭中喷出）。

解决方案

1. 喷出的燃气动量为 $$p = m_ {g} v\ ldotp$$ 弹射速度 v = 2.5 x 10 ² m/s 是恒定的，因此力为 $$F =\ frac {dp} {dt} = v\ frac {dm}\ ldotp$now，$\frac{dm_{g}}{dt}$就是速率指燃料质量的变化；问题表明这是 2.0 x 10 ² kg/s。替代，我们得到 $$\ begin {split} F & = v\ frac {dm_ {g}} {dt}\\ & = (2.5\ times 10^ {2}\; kg/s)\\ & = 5\ times 10^ {4}\; N\ ldotp\ end {split}$$
2. 上图，我们将 m 定义为空火箭的总质量加上它所含的未燃烧燃料量：m = m _R + m _g。 根据牛顿第二定律， $$a =\ frac {F} {m} =\ frac {F} {m_ {R} + m_ {g}}\ ldotp$$ 力恒定，空火箭质量 m _R 恒定，但燃料质量 m _g 正在以统一的速度下降；特别是： $$m_ {g} = m_ {g} (t)-m_ {gg _ {0}}-\ 左 (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ 右) t\ ldotp$$ 这给了我们 $$a (t) =\ frac {F} {m_ {g_ {1}}-\ 左 (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ 右) t} =\ frac {F} {M-\ 左 (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ 右) t}\ ldotp$注意，正如预期的那样，加速是时间的函数。 用给定的数字代替：$$ a (t) =\ frac {5\ times 10^ {4}\; N} {(2.0\ times 10^ {4}\; kg)-(2.0\ times 10^ {2}\; kg/s) t}\ ldotp$$
3. t = 0 s： $$a (0\; s) =\ frac {5\ times 10^ {4}\; N} {(2.0\ times 10^ {4}\; kg)-(2.0\ times 10^ {2}\; kg/s) (0\; s)} = 2.5\; m/s^ {2}\ ldotp$$

t = 15 秒时，a (15 s) = 2.9 m/s ²。

t = 30 秒时，a (30 s) = 3.6 m/s ²。

正如我们预期的那样，加速正在增加。

意义

请注意，加速度不是恒定的；因此，任何动力学量都必须使用积分或（更容易地）总能量守恒来计算

练习：$\PageIndex{1}$

在这个例子中，$\frac{dm}{dt}$和$\frac{dm_{g}}{dt}$之间的物理区别（或关系）是什么？

引力场中的火箭

现在让我们从地球表面分析火箭在发射阶段的速度变化。 为了使数学易于管理，我们将注意力限制在可以将重力引起的加速度视为常数 g 的距离上。

分析是相似的，唯一的不同是现在有$\vec{F}$ = −mg 的外力$\hat{j}$作用在我们的系统上。 该力施加冲量 d$\vec{J}$ =$\vec{F}$ dt = −mgdt$\hat{j}$，等于动量的变化。 这给了我们

$$\begin{split} d \vec{p} & = d \vec{J} \\ \vec{p}_{f} - \vec{p}_{i} & = -mgdt\; \hat{j} \\ \big[ (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g}(v - u) - mv \big] \hat{j} & = -mgdt\; \hat{j} \end{split}$$

所以

$$mdv - dm_{g} u = -mgdt$$

我们又忽略了 dm _g dv 这个词，删除了向量表示法。 接下来我们用 −dm 替换 dm _g：

$$\begin{split} mdv + dmu & = -mgdt \\ mdv & = -dmu - mgdt \ldotp \end{split}$$

除以$m$给出

$$dv = -u \frac{dm}{m} - gdt$$

还有整合，我们有

$$\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) - g \Delta t \ldotp \label{9.39}$$

毫不奇怪，火箭的速度受到（恒定）重力加速度的影响。

请记住，$\Delta$t 是燃料的燃烧时间。 现在，在没有重力的情况下，方程\ ref {9.38} 意味着燃烧全部燃料需要多少时间没有区别；速度的变化不取决于$\Delta$ t。但是，在重力存在的情况下，它很重要。 方程式\ ref {9.39} 中的 −g$\Delta$ t 项告诉我们，燃烧时间越长，火箭的速度变化就越小。 这就是火箭发射在发射的第一刻如此壮观的原因：必须尽快燃烧燃料，以获得尽可能大的$\Delta$电压。