9.10: 质量中心（第 2 部分）
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连续物体的质心
如果所讨论物体的质量在空间中均匀分布，而不是作为离散粒子的集合，那么 m j → dm，求和变为积分：
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm \ldotp \label{9.34}\]
在这种情况下，r 是物体的特征尺寸（球体的半径，长杆的长度）。 要生成可以实际计算的整数，你需要将微分质量元素 dm 表示为连续物体质量密度的函数，维度 r。举个例子就可以说明这一点。
找到质量和半径均匀的薄圈（或环）\(M\)的质心\(r\)。
策略
首先，环的对称性表明质心应该位于其几何中心。 如果我们定义坐标系使原点位于环形的中心，则积分的计算结果应为零。
我们用一个涉及圈环密度和圈环半径的表达式替换 dm。 然后我们就有了可以实际整合的表达式。 由于环形被描述为 “薄”，因此我们将其视为一维物体，忽略了圈环的厚度。 因此，其密度以每米材料的千克数表示。 这种密度被称为线性质量密度，并被赋予符号\(\lambda\)；这是希腊字母 “lambda”，相当于英文字母 “l”（代表 “线性”）。
由于环形被描述为均匀，这意味着线性质量密度\(\lambda\)是恒定的。 因此，为了得到微分质量元素 dm 的表达式，我们\(\lambda\)乘以环形的微分长度、替换和积分（对定积分有适当的极限）。
解决方案
首先，定义我们的坐标系和相关变量（图\(\PageIndex{1}\)）。
质心使用方程\ ref {9.34} 计算：
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \vec{r} dm \ldotp\]
我们必须确定积分 a 和 b 的极限。以分量\(\vec{r}\)形式表示可以给我们
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] dm \ldotp\]
在图中，我们突出显示了一块长度差异 ds 的环圈；因此它的质量差 dm =\(\lambda\) ds。 替换：
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] \lambda ds \ldotp\]
但是，弧长 ds 与微分角度 d 相对\(theta\)，所以我们有
\[ds = rd \theta\]
因此
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] \lambda rd \theta \ldotp\]
再一步：由于\(\lambda\)是线性质量密度，因此它是通过将总质量除以环形长度来计算的：
\[\lambda = \frac{M}{2 \pi r}\]
给我们
\[\begin{split} \vec{r}_{CM} & = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] \left(\dfrac{M}{2 \pi r}\right) rd \theta \\ & = \frac{1}{2 \pi} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] d \theta \ldotp \end{split}\]
请注意，积分变量现在是角度\(\theta\)。 这告诉我们，积分极限（围绕圆圈）为 β = 0 到\(\theta\) = 2\(\pi\)，所以 a = 0 和 b = 2\(\pi\)。 此外，为方便起见，我们将积分分为的 x 和 y 分量\(\vec{r}_{CM}\)。 最后的整数表达式是
\[\begin{split} \vec{r}_{CM} & = r_{CM,x} \hat{i} + r_{CM,y} \hat{j} \\ & = \Big[ \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} (2 \cos \theta d \theta \Big] \hat{i} + \Big[ \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} (2 \sin \theta d \theta \Big] \hat{j} \\ & = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} = \vec{0} \end{split}\]
不出所料。
质量和动量守恒中心
所有这些与动量守恒有何关系？
假设你有 N 个物体，质量为 m 1、m 2、m 3、... m N，初始速度\(\vec{v}_{1}\)\(\vec{v}_{2}\)、\(\vec{v}_{3}\)、...、\(\vec{v}_{N}\)。 物体的质心是
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp\]
它的速度是
\[\vec{v}_{CM} = \frac{d \vec{r}_{CM}}{dt} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \label{9.35}\]
因此，质心的初始动量为
\[\begin{split} \Big[ M \frac{d \vec{r}_{CM}}{dt} \Big]_{i} & = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j,i}}{dt} \\ M \vec{v}_{CM,i} & = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j,i} \ldotp \end{split}\]
在这些质量移动并相互作用之后，质心的动量为
\[M \vec{v}_{CM,f} = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j,f} \ldotp\]
但是动量守恒告诉我们，两个方程的右边必须相等，也就是说
\[M \vec{v}_{CM,f} = M \vec{v}_{CM,i} \ldotp \label{9.36}\]
这个结果意味着动量守恒是用系统的质心表示的。 请注意，当物体在没有净外力作用的情况下在空间中移动时，该物体的单个粒子可能会以不同的幅度向不同的方向加速，具体取决于随时作用于该物体的净内力。 （请记住，消失的只是所有内力的矢量和，而不是单个粒子上的内力。） 因此，这样的粒子的动量不会是恒定的，而是整个扩展物体的动量将保持不变，符合方程\ ref {9.36}。
方程\ ref {9.36} 意味着另一个重要结果：由于 M 表示整个粒子系统的质量，因此它必须是恒定的。 （如果不是，我们就没有封闭的系统，所以我们不能指望系统的势头会得到保持。） 因此，方程\ ref {9.36} 意味着，对于封闭系统，
\[\vec{v}_{CM,f} = \vec{v}_{CM,i} \ldotp \label{9.37}\]
也就是说，在没有外力的情况下，质心的速度永远不会改变。
你可能会耸耸肩说：“嗯，是的，那只是牛顿的第一定律”，但请记住，牛顿的第一定律讨论的是粒子的恒定速度，而方程\ ref {9.37} 适用于（可能很大）相互作用的粒子集合的质心，可能没有任何质心完全是质心的粒子！ 所以，这确实是一个了不起的结果。
当烟花火箭爆炸时，成千上万的发光碎片向外飞向四面八方，然后在优雅而漂亮的展示中坠落到地球（图\(\PageIndex{2}\)）。 描述在动量守恒和质心方面会发生什么。
该图显示了爆炸中心点的径向对称性；这表明了质心的概念。 我们还可以看到发光粒子的抛物线运动；这让我想起了弹丸运动的想法。
解决方案
最初，烟花火箭是发射的，或多或少是直线向上飞行；这是图片右上角爆炸（黄色爆炸）下方的白色小径或多或少是直线进入天空的原因。 这条线索不是抛物线，因为爆炸炮弹在发射阶段实际上是火箭；喷射燃烧的燃料对它施加的冲击在上升时间间隔内对炮弹施加了力。 （我们将在下一节中研究这种现象。） 炮弹上有多种力；因此，它在爆炸前不是自由落体的。
爆炸发生的那一刻，成千上万的发光碎片以径向对称的模式向外飞行。 爆炸的对称性是所有内力总和为零的结果\((\sum_{j} \vec{f}_{j}^{int} = 0)\)；对于每种内力，都有另一种大小相等且方向相反的内力。
但是，正如我们在上面了解到的那样，这些内力无法改变（现已爆炸）炮弹质心的动量。 由于火箭力量现在已经消失，炮弹的质心现在是弹丸（对它的唯一力量是重力），因此它的轨迹确实变成了抛物线。 与右上角的黄色爆炸相比，左边的两次红色爆炸显示了它们在爆炸后稍长一点的时间内到达质心的路径。
事实上，如果你仔细观察所有三次爆炸，你会发现发光的痕迹并不是真正的径向对称的；相反，它们的一侧比另一侧的密度要高一些。 具体而言，黄色爆炸和中下爆炸的右侧密度稍高一些，左上角的爆炸在其左侧的密度更高。 这是因为它们质心的动量；不同的轨迹密度是由于每枚炮弹爆炸时的动量造成的。 图片左上角的爆炸碎片的动量指向上和向左；中间碎片的动量指向上并稍微指向右；右侧爆炸明显向上和向右（如下方可见的白色火箭排气轨迹所示）黄色爆炸）。
最后，每个碎片本身就是一枚弹丸，因此可以追踪成千上万的发光抛物线。
意义
在上面的讨论中，我们说：“... 炮弹的质心现在是弹丸（对它的唯一力量是重力）...” 这不太准确，因为质心可能根本没有任何质量；在这种情况下，不可能有力作用于质心。 这实际上只是口头上的简写，用来描述这样一个事实，即所有粒子上的引力起作用，使质心改变位置，就好像壳的所有质量始终位于质心的位置一样。
在远离任何重力源的深空中，烟花汇演将如何变化？
有时你可能会听到有人用这样的话来描述爆炸：“爆炸物体的碎片总是以确保质心继续沿其原始轨迹移动的方式移动。” 这听起来好像这个过程有点神奇：怎么可能在每次爆炸中，碎片总是以正确的方式移动，从而使质量的运动中心保持不变？ 用这种措辞，很难相信没有爆炸能起到任何不同的作用。
对这个看似惊人的巧合的解释是：我们精确地定义了质心，所以这正是我们要得到的。 回想一下，我们首先定义了系统的动量：
\[\vec{p}_{CM} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp\]
然后我们得出结论，系统上的净外力（如果有的话）改变了这种势头：
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt}\]
然后——这就是重点——我们定义了一个遵守牛顿第二定律的加速度。 也就是说，我们要求我们应该能够写作
\[\vec{a} = \frac{\vec{F}}{M}\]
这要求是
\[\vec{a} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) \ldotp\]
其中括号内的量是我们系统的质心。 因此，质心服从牛顿第二定律也就不足为奇了；我们这样定义了它。