9.9: 质量中心（第 1 部分）

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学习目标

解释质心概念的含义和用处
计算给定系统的质心
在二维和三维中应用质心概念
计算质心的速度和加速度

到目前为止，我们一直在回避一个重要的问题：当我们说物体以符合牛顿第二定律的方式移动（更准确地说，是加速）时，我们忽略了所有物体实际上都是由许多组成粒子组成的事实。汽车有发动机、方向盘、座椅、乘客；足球是围绕空气的皮革和橡胶；砖块是由原子组成的。有许多不同类型的粒子，它们在物体中的分布通常不均匀。我们如何将这些事实纳入我们的计算中？

同样，延伸物体在移动时可能会改变形状，例如水气球或猫掉落（图\(\PageIndex{1}\)）。这意味着除了作用于整个物体的外力外，组成粒子还在相互施加内力。我们也希望能够处理这个问题。

一张猫坠落的多次曝光照片。在第一张图片中，猫被双脚颠倒握住。它从这个位置释放出来然后掉落，但是随着它转动而旋转，因此在最后几张图像中，它是右侧朝上的。 — 图\(\PageIndex{1}\)：当猫跌倒时，它的身体会进行复杂的动作，因此它可以站在脚上，但是系统中的一个点通过简单的均匀重力加速度移动。

因此，摆在我们面前的问题是确定在施加外力时扩展物体的哪一部分遵守牛顿第二定律，并确定整个物体的运动如何受到内力和外力的影响。

注意：要正确对待这种新情况，我们必须严格，完全通用。我们不会对物体或其组成粒子的性质做出任何假设，也不会对内部或外部力做出任何假设。因此，争论将很复杂。

内部和外部力量

假设我们有一个质量为 M 的扩展物体，由 N 个相互作用的粒子组成。让我们把它们的质量标记为 m _j，其中 j = 1、2、3、...、N 注意

\[M = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \ldotp \label{9.19}\]

如果我们对物体施加一些净外力\(\vec{F}_{ext}\)，则每个粒子都会经历一些 “共享” 或部分外力。让：

\(\vec{f}_{j}^{ext}\)= 第 j 个粒子承受的外力的分数

请注意，总力的这些分数不一定相等；事实上，它们几乎从来都不相等。（它们可以，但通常不是。）因此, 总的来说,

\[\vec{f}_{1}^{ext} \neq \vec{f}_{2}^{ext} \neq \cdots \neq \vec{f}_{N}^{ext} \ldotp\]

接下来，我们假设构成我们物体的每个粒子都可以相互作用（施加力）物体的每个其他粒子。我们不会试图猜测它们是什么样的力；但是由于这些力是物体的粒子作用于同一物体的其他粒子的结果，因此我们将它们称为内力\(\vec{f}_{j}^{int}\)；因此：

\(\vec{f}_{j}^{int}\)= 第 j 个粒子从构成物体的所有其他粒子身上承受的净内力。

现在，第 j 个粒子上的净力（内部加外力）是以下各项的向量和：

\[\vec{f}_{j} = \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \label{9.20}\]

再说一遍，这适用于所有 N 个粒子；j = 1、2、3、...、N。由于这种分数力，每个粒子的动量都会发生变化：

\[\begin{split} \vec{f}_{j} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \\ \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \end{split} \label{9.21}\]

物体\(\vec{F}\)上的净力是这些力的矢量和：

\[\begin{split} \vec{F}_{net} & = \sum_{j = 1}^{N} (\vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext}) \\ & = \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \end{split} \label{9.22}\]

这种净力改变整个物体的动量，物体动量的净变化必须是所有粒子的所有单个动量变化的矢量总和：

\[\vec{F}_{net} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.23}\]

将方程\ ref {9.22} 和方程\ ref {9.23} 相结合

\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.24}\]

现在让我们考虑一下这些总结。首先考虑内力术语；请记住，每个\(\vec{f}_{j}^{int}\)都是物体中其他粒子对第 j 个粒子的力。但是根据牛顿的第三定律，对于每一种力，都必须有另一种具有相同大小但符号相反的力（指向相反的方向）。这些力量不会取消；但是，这不是我们在总结中所做的。相反，我们只是在数学上将所有内力向量相加。也就是说，一般来说，物体任何单个部分的内力都不会消除，但是当所有内力加起来时，内力必须成对消除。因此，所有内力的总和必须为零：

\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = 0 \ldotp\]

（这个论点很微妙，但很关键；要花很多时间才能完全理解。）

对于外力，这个总和就是施加在整个物体上的总外力：

\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \vec{F}_{ext} \ldotp\]

结果，

\[\vec{F}_{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.25}\]

这是一个重要的结果。方程\ ref {9.25} 告诉我们，整个物体（所有 N 个粒子）动量的总变化仅由外力导致；内力不会改变整个物体的动量。这就是为什么你站在篮子里然后拉起手柄无法将自己抬到空中的原因：对于 + 篮子的系统来说，你的向上拉力是一种内力。

力量和动量

请记住，我们的实际目标是确定整个物体（整个粒子系统）的运动方程。为此，让我们定义一下：

\(\vec{p}_{CM}\)= N 粒子系统的总动量（下标的原因很快就会明确）

然后我们有

\[\vec{p}_{CM} = \equiv \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]

因此，方程\ ref {9.25} 可以简单地写成

\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt} \ldotp \label{9.26}\]

由于这种动量变化仅由净外力引起，因此我们取消了 “ext” 下标。这是牛顿的第二定律，但现在适用于整个扩展对象。如果这感觉有点滑稽，请记住里面隐藏着什么：\(\vec{p}_{CM}\)是（原则上）数十亿个粒子（6.02 x 10 ²³）动量的向量和，所有这些粒子都是由一个简单的净外力引起的，这是你可以计算出的力。

马萨诸塞中心

我们的下一个任务是确定扩展对象的哪一部分（如果有）遵守方程式\ ref {9.26}。

采取下一步很诱人；以下方程式有什么意义吗？

\[\vec{F} = M \vec{a} \label{9.27}\]

如果它确实意味着什么（到底是什么的加速？），然后我们可以写

\[M \vec{a} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt}\]

因此

\[M \vec{a} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]

之所以如此，是因为总和的导数等于导数之和。

现在，\(\vec{p}_{j}\)是第 j 个粒子的动量。将组成粒子的位置（相对于某个坐标系）定义为\(\vec{r}_{j}\) = (x _j、y _j、z _j)，因此我们有

\[\vec{p}_{j} = m_{j} \vec{v}_{j} = m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \ldotp\]

换回来，我们得到

\[\begin{split} M \vec{a} & = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \\ & = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \end{split}\]

将两边除以 M（延伸物体的总质量）得出

\[\vec{a} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) \ldotp \label{9.28}\]

因此，物体中追踪方程\ ref {9.27} 中由施加力决定的轨迹的点位于方程\ ref {9.28} 的括号内。

看看这个计算，请注意（在括号内）我们正在计算每个粒子的质量及其位置的乘积，将所有 N 个相加，然后将这个总和除以我们总和的粒子总质量。这让人联想到平均值；受此启发，我们将（粗略地）将其解释为扩展物体质量的加权平均位置。它实际上被称为物体的质心。请注意，质心的位置以米为单位；这表明了一个定义：

\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \label{9.29}\]

因此，服从方程\ ref {9.26}（因此也是方程\ ref {9.27}）的点是物体的质心，它位于位置向量处\(\vec{r}_{CM}\)。

得知物体的质心不必有任何实际质量，这可能会让你感到惊讶。例如，内部有真空的空心钢球是球形对称的（这意味着其质量围绕球体中心均匀分布）；球体的所有质量都在其表面上消失，内部没有质量。但是可以证明球体的质心位于其几何中心，这似乎是合理的。因此，在球体的质心位置没有质量。（另一个例子是甜甜圈。）寻找质心的过程如图所示\(\PageIndex{2}\)

寻找三个粒子的质心的插图。图 a 显示了三个粒子在 x y 平面中的位置。m 1 在第二个象限中。向量 r 1 从原点开始延伸到 m 1 的位置。m 2 位于第一象限中。向量 r 2 从原点开始延伸到 m 2 的位置。m 1 位于第四象限中。向量 r 3 从原点开始并延伸到 m 3 的位置。向量 r 1 是图中最短的向量，r 2 是最长的向量。图 b 显示了向量 m 1 r 1、m 2 r 2 和 m 3 r 3。向量 m 1 r 1 指向与图 a 中的向量 r 1 的方向相同，但比 r 1 长。向量 m 2 r 2 指向与图 a 中的向量 r 1 的方向相同，但比 r 2 短。向量 m 3 r 3 指向与图 a 中的向量 r 3 的方向相同，但比 r 3 短。向量 m 1 r 1 是图中最长的向量。向量 m 2 r 2 和 m 3 r 3 的长度似乎相等。图 c 显示了 m 1 r 1、m2 r 2 和 m 3 r 3 的向量和，它们以蓝色绘制并从头到尾放置。红色向量 m 1 r 1 plus m 2 r 2 plus m 3 r 3 是从 m 1 r 1 的尾部到 m 3 r 3 头部的向量。图 d 显示了红色向量 m 1 r 1 加 m 2 r 2 加上 m 3 r 3 除以 m 1 加上 m 2 加 m 3 之和。该向量的方向与图 c 中的向量 m 1 r 1 plus m 2 r 2 plus m 3 r 3 的方向相同，但更短。 — 图\(\PageIndex{2}\)：寻找由三个不同粒子组成的系统的质心。 (a) 为每个物体创建位置向量。 (b) 位置向量乘以相应物体的质量。 (c) 将 (b) 部分中的缩放向量相加。 (d) 最终向量除以总质量。该向量指向系统的质心。请注意，该系统的质心实际上不存在任何质量。

因为\(\vec{r}_{j} = x_{j} \hat{i} + y_{j} \hat{j} + z_{j} \hat{k}\)，由此可见：

\[r_{CM,x} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} x_{j} \label{9.30}\]

\[r_{CM,y} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} y_{j} \label{9.31}\]

\[r_{CM,z} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} z_{j} \label{9.32}\]

因此

\[\vec{r}_{CM} = r_{CM,x} \hat{i} + r_{CM,y} \hat{j} + r_{CM,z} \hat{k}\]

\[r_{CM} = |\vec{r}_{CM}| = (r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2})^{1/2} \ldotp\]

因此，您可以单独计算质心向量的分量。

最后，为了完成运动学，质心的瞬时速度是完全按照你可能怀疑的那样计算的：

\[\vec{v}_{CM} = \frac{d}{dt} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j} \label{9.33}\]

这和位置一样，有 x、y 和 z 分量。

要计算实际情况下的质心，我们建议采用以下步骤：

问题解决策略：计算质心

物体的质心是位置向量。因此，要进行计算，请执行以下步骤：

定义您的坐标系。通常，原点位于其中一个粒子的位置。但是，这不是必需的。
确定构成物体的每个粒子的 x、y、z 坐标。
确定每个粒子的质量，并将它们相加得出物体的总质量。请注意，物体在原点的质量必须包含在总质量中。
使用方程\ ref {9.30}、方程\ ref {9.31} 和方程\ ref {9.32} 计算质心向量的 x、y 和 z 分量。
如果需要，使用毕达哥拉斯定理确定其大小。

这里有两个例子可以让你感受一下质心是什么。

示例 9.16：地月系统的质心

使用文本附录中的数据，确定地月系统的质心与地球中心的距离。将此距离与地球半径进行比较，然后评论结果。忽略太阳系中的其他物体。

策略

我们得到地球和月球的质量和分离距离，施加一个坐标系，然后使用方程\ ref {9.29}，只有 N = 2 个物体。我们使用下标 “e” 指地球，下标 “m” 表示月球。

解决方案

将坐标系的原点定义为地球中心。然后，只有两个对象，方程\ ref {9.29} 就变成了

\[R = \frac{m_{c} r_{c} + m_{m} r_{m}}{m_{c} + m_{m}} \ldotp\]

来自附录 D，

\[m_{c} = 5.97 \times 10^{24}\; kg\]

\[m_{m} = 7.36 \times 10^{22}\; kg\]

\[r_{m} = 3.82 \times 10^{5}\; m \ldotp\]

我们将地球中心定义为原点，所以 r _e = 0 m。将它们插入 R 的方程中得出

\[\begin{split} R & = \frac{(5.97 \times 10^{24}\; kg)(0\; m) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)(3.82 \times 10^{8}\; m)}{(5.98 \times 10^{24}\; kg) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)} \\ & = 4.64 \times 10^{6}\; m \ldotp \end{split}\]

意义

地球的半径为6.37 x 10 ⁶ m，因此地月系统的质心为（6.37 − 4.64）x 10 ⁶ m = 1.73 x 10 ⁶ m = 地球表面以下 1730 千米（大约 1080 英里）。显示了质心的位置（不是按比例缩放）。

地球是在 x y 坐标系的原点上绘制的。月球位于地球右侧的 x 轴上。 R c m 是从原点指向右边的水平向量，小于地球的半径。

练习 9.11

假设我们在系统中包括了太阳。地球-月亮-太阳系统的质心大概在哪里？（随意实际计算。）

示例 9.17：盐晶的质心

图中\(\PageIndex{3}\)显示了氯化钠的单晶——普通食盐。钠离子和氯离子形成一个单元，NaCl。当多个 NaCl 单元组合在一起时，它们形成立方晶格。尽可能小的立方体（称为单位电池）由四个钠离子和四个氯离子交替组成。该立方体一条边的长度（即键合长度）为 2.36 x ^{10 −10} m。找到单位像元质心的位置。通过其坐标（r _CM _、x、 r _CM _、y、 r _CM _、z）或 r _CM 和两个角度进行指定。

氯化钠的晶体结构是方形晶格，交叉处有钠（表示为较大的绿色球体）和氯（表示为较小的红色球体）离子交替出现。单位像元被识别为构成晶格的立方体之一。 — 图\(\PageIndex{3}\)：氯化钠 (NaCl) 晶体图。

策略

我们可以查出所有的离子质量。如果我们在单位单元上施加坐标系，这将为我们提供离子的位置。然后我们可以应用方程\ ref {9.30}、方程\ ref {9.31} 和方程\ ref {9.32}（以及毕达哥拉斯定理）。

解决方案

将原点定义为单位单元左下角的氯离子位置。该图\(\PageIndex{4}\)显示了坐标系。

以 N a C l 晶体的单位电池为立方体，每个角落都有离子的示意图。四个绿色离子在原点处显示并标记为 m 1，x y 平面对角线拐角处的 m 3，x z 平面对角线拐角处的 m 6，y z 平面对角线拐角处的 m 8。显示了四个红色离子，在 x 轴上标记为 m 2，y 轴上为 m 4，z 轴上标记为 m 5，其余角上标记为 m 7。 — 图\(\PageIndex{4}\)：NaCl 晶体的单个单元电池。

这个晶体中有八个离子，所以 N = 8：

\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp\]

每个氯离子的质量为

\[35.453u \times \frac{1.660 \times 10^{-27}\; kg}{u} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg\]

所以我们有

\[m_{1} = m_{3} = m_{6} = m_{8} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]

对于钠离子，

\[m_{2} = m_{4} = m_{5} = m_{7} = 3.816 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]

因此，单位电池的总质量为

\[M = (4)(5.885 \times 10^{-26}\; kg) + (4)(3.816 \times 10^{-26}\; kg) = 3.880 \times 10^{-25}\; kg \ldotp\]

从几何学来看，位置是

\[\begin{split} \vec{r}_{1} & = 0 \\ \vec{r}_{2} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} \\ \vec{r}_{3} & = r_{3x} \hat{i} + r_{3y} \hat{j} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{4} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{5} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{6} & = r_{6x} \hat{i} + r_{6z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{7} & = r_{7x} \hat{i} + r_{7y} \hat{j} + r_{7z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{8} & = r_{8y} \hat{j} + r_{8z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \ldotp \end{split}\]

替换：

\[\begin{split} |\vec{r}_{CM,x}| & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} (r_{x})_{j} \\ & = \frac{1}{M} (m_{1} r_{1x} + m_{2} r_{2x} + m_{3} r_{3x} + m_{4} r_{4x} + m_{5} r_{5x} + m_{6} r_{6x} + m_{7} r_{7x} + m_{8} r_{8x}) \\ & = \frac{1}{3.8804 \times 10^{-25}\; kg} \Big[ (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(0\; m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) \\ & + (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 + 0 \\ & + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 \Big] \\ & = 1.18 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]

类似的计算得出 r _CM，y = r _CM，z = 1.18 x ^{10 −10} m（你可以争辩说，从对称角度来看，这一定是真的，但最好检查一下）。

意义

事实证明，实际上没有必要将质量从原子质量单位（u）转换为千克，因为无论如何，计算r _CM 时单位都会分开。

要用大小和方向表示 r _C M，首先将三维毕达哥拉斯定理应用于向量分量：

\[\begin{split} r_{CM} & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = (1.18 \times 10^{-10}\; m) \sqrt{3} \\ & = 2.044 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]

由于这是一个三维问题，因此需要两个角度来指定方向\(\vec{r}_{CM}\)。假设\(\phi\)是 x, y 平面中的角度，从 +x 轴测量，从上方看逆时针方向；然后：

\[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{r_{CM,y}}{r_{CM,x}}\right) = 45^{o} \ldotp\]

假设\(\theta\)是 y、z 平面中的角度，从 +z 轴向下测量；这是（不足为奇）：

\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{R_{z}}{R_{y}}\right) = 45^{o} \ldotp\]

因此，质心位于单位单元的几何中心。再说一遍，你可以根据对称性来争论这个问题

练习 9.12

假设你有一个宏观的盐晶（也就是说，一个足够大的晶体，肉眼可以看见）。它由大量的单位电池组成。这种晶体的质心一定位于晶体的几何中心吗？

从这些例子中得出了两个关键概念：

1。与所有问题一样，必须定义坐标系和原点。对于质心计算，选择位于系统质量之一的原点通常是有意义的。该选择会自动将其在方程\ ref {9.29} 中的距离定义为零。但是，在计算 M 时仍必须包括原点物体的质量，即总质量方程\ ref {9.19}。在地月系统示例中，这意味着包括地球的质量。如果你没有，你最终会得到系统的质心位于月球的中心，这显然是错误的。
在第二个示例（盐晶）中，请注意质心位置根本没有质量。这是我们上面所说的一个例子，即物体的质心不必有任何实际质量。