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9.8: 多维碰撞

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    学习目标

    • 将动量表示为二维向量
    • 以分量形式写出动量守恒方程
    • 以向量量计算二维动量

    碰撞发生在二维上要常见得多；也就是说，初始速度矢量之间的角度既不为零也不是 180°。 让我们看看由此产生了什么并发症。

    我们需要的第一个想法是动量是一个向量；像所有向量一样，它可以表示为垂直分量的总和（通常，但并非总是是 x 分量和 y 分量，必要时还有 z 分量）。 因此，当我们写下问题的动量守恒陈述时，我们的动量向量可以而且通常会以分量形式表示。

    我们需要的第二个想法来自动量与力量有关的事实：

    \[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]

    以分量形式表示力和动量，

    \[F_{x} = \frac{dp_{x}}{dt}, F_{y} = \frac{dp_{y}}{dt}, F_{z} = \frac{dp_{z}}{dt} \ldotp\]

    请记住，这些方程只是牛顿的第二定律，无论是矢量形式还是分量形式。 我们知道牛顿的第二定律在每个方向上都是正确的，与其他方向无关。 因此（根据牛顿第三定律），每个方向的动量守恒也是如此。

    这两个想法激发了二维问题的解决方案：我们两次写下动量守恒的表达式：一次在 x 方向，一次在 y 方向。

    \[p_{f,x} = p_{1,i,x} + p_{2,i,x} \label{9.18}\]

    \[p_{f,y} = p_{1,i,y} + p_{2,i,y}\]

    此过程如图所示\(\PageIndex{1}\)。

    标题为 “将初始动量分成 x 和 y 分量” 的图 a 将向量 p 1 i 显示为指向右和向下的实心箭头。 它的分量显示为虚线箭头：p 1 i y 从 p 1 i 的尾部向下指向 p 1 i 的尾部，p 1 i x 从 p 1 i y 的头部向右指向 p 1 i 的头部。向量 p 2 i 显示为实心箭头，尾巴位于向量 p 1 i 的开头，比 p 1 i 短。向量 p 2 i 指向右和向上。 它的组成部分以虚线箭头显示：p 2 i x 从 p 2 i 的尾部向右指向，p 2 i y 从 p 2 i x 的头部向上指向 p 2 i 的头部。向量 p f 从 p 1 i 的尾部指向 p 2 i 的头部，指向右侧稍微向下。 标题为 “添加 x 和 y 分量以获得最终动量的 x 和 y 分量” 的图 b 显示了分量的向量和。 P 1 i y 是一个向下箭头。 P 2 i y 是一个较短的向上箭头，与它的尾巴在 P 1 i y 的头部对齐。P f y 是一个短的向下箭头，从 P 1 i y 的尾部开始，在 P 2 i y 的头部结束。P 1 i x 是向右箭头。 P 2 i x 是一个较短的向右箭头，其尾巴在 P 1 i x 的头部对齐。P f x 是一个长向右的箭头，从 P 1 i x 的尾部开始，在 P 2 i x 的头部结束。图 c 标题为 add x 和 y 最终动量的分量，显示了由边 p f x 和 p f y 以及斜边形成的直角三角形p f。图 b 中的箭头表示图 b 和 c 中的 p f x 和 p f y 相同。
    图\(\PageIndex{1}\)：(a) 对于二维动量问题，将初始动量向量分解为其 x 和 y 分量。 (b) 将 x 和 y 分量分别加在一起。 这给出了最终动量的 x 和 y 分量，它们显示为红色虚线向量。 (c) 将这些组成部分加在一起可产生最终动力。

    我们分别求解这两个分量方程以获得所需速度矢量的 x 和 y 分量：

    \[v_{f,x} = \frac{m_{1} v_{1,i,x} + m_{2} v_{2,i,x}}{m}\]

    \[v_{f,y} = \frac{m_{1} v_{1,i,y} + m_{2} v_{2,i,y}}{m}\]

    （这里，m 代表系统的总质量。） 最后，使用毕达哥拉斯定理将这些分量组合起来，

    \[v_{f} = |\vec{v}_{f}| = \sqrt{v_{f,x}^{2} + v_{f,y}^{2}} \ldotp\]

    问题解决策略：二维动量守恒

    求解二维（甚至三维）动量守恒问题的方法通常与求解一维问题的方法相同，唯一的不同是必须同时保持两维（或全部三维）的动量：

    1. 识别封闭的系统。
    2. 写下表示 x 方向动量守恒的方程，然后求解所需量。 如果你正在计算向量量（通常是速度），这将给出向量的 x 分量。
    3. 写下表示 y 方向动量守恒的方程，然后求解。 这将为您提供矢量量的 y 分量。
    4. 假设您正在计算向量量，则使用毕达哥拉斯定理根据步骤 3 和 4 的结果计算其量级。

    示例 9.14：交通碰撞

    一辆重量为1200千克的小型汽车以60公里/小时的速度向东行驶，在十字路口与一辆重量为3000千克的卡车相撞，该卡车正以40公里/小时的速度向北行驶（图\(\PageIndex{2}\)）。 这两辆车被锁在一起。 合并残骸的速度是多少？

    显示了 x y 坐标系。 一辆大型卡车质量 m T = 3000 千克正以速度 v T 向北移动。一辆小型汽车质量 m c = 1200 千克正向东移动，速度 v c 小于 v T。
    图\(\PageIndex{2}\)：一辆向北行驶的大型卡车即将与一辆向东行驶的小型汽车相撞。 最终动量矢量具有 x 和 y 分量。

    策略

    首先，我们需要一个封闭的系统。 要选择的自然系统是（汽车+卡车），但是这个系统没有关闭；来自道路的摩擦会作用于两辆车。 我们通过将问题限制在碰撞后立即找到速度来避免这个问题，这样摩擦力就不会对系统产生任何影响。 有了这个限制，这个系统的动量是保守的。

    由于涉及两个方向，因此我们做了两次动量守恒：一次在 x 方向，一次在 y 方向。

    解决方案

    碰撞@@ 前的总动量为

    \[\vec{p} = m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} \ldotp\]

    碰撞@@ 后，残骸有了动力

    \[\vec{p} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]

    由于系统已关闭，因此必须保持动量，所以我们有

    \[m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]

    我们必须小心；两个初始时刻并不平行。 我们必须向量添加（图\(\PageIndex{3}\)）。

    箭头 p c 水平指向右边。 箭头 p t 指向垂直向上。 p t 的头部与 p c 的尾部相遇。P t 比 p t 长。从 p t 的尾部到 p c 的头部显示了一条虚线。虚线与 p t 尾部的 p t 之间的角度被标记为 theta。
    图\(\PageIndex{3}\)：动量向量的图形相加。 请注意，尽管汽车的速度大于卡车的速度，但其动量较小。

    如果我们将 +x 方向定义为指向东方，将 +y 方向定义为指向北方，如图所示，那么（很方便），

    \[\vec{p}_{c} = p_{c}\; \hat{i} = m_{c} v_{c}\; \hat{i}\]

    \[\vec{p}_{T} = p_{T}\; \hat{j} = m_{T} v_{T}\; \hat{j} \ldotp\]

    因此，在 x 方向上：

    \[m_{c} v_{c} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,x}\]

    \[v_{w,x} = \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c}\]

    在 y 方向上：

    \[m_{T} v_{T} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,y}\]

    \[v_{w,y} = \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{T} \ldotp\]

    应用毕达哥拉斯定理可以得出

    \[\begin{split} |\vec{v}_{w}| & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c} \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}} \right) v_{T} \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{1200\; kg}{4200\; kg}\right) (16.67\; m/s) \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{3000\; kg}{4200\; kg}\right) (11.1\; m/s) \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{(4.76\; m/s)^{2} + (7.93\; m/s)^{2}} \\ & = 9.25\; m/s \approx 33.3\; km/hr \ldotp \end{split}\]

    至于它的方向，使用图中所示的角度，

    \[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{v_{w,x}}{v_{w,y}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{7.93\; m/s}{4.76\; m/s}\right) = 59^{o} \ldotp\]

    该角度位于北向东，或从 +x 方向逆时针方向 31°。

    意义

    实际上，事故调查人员通常朝着 “相反的方向” 工作；他们测量道路上防滑痕迹的距离（给出停车距离），并使用工作能量定理和动量守恒来确定汽车之前的速度和方向碰撞。 我们在前面的章节中看到了这个分析。

    练习 9.9

    假设初始速度彼此之间不是直角。 这将如何改变碰撞的物理结果和数学分析？

    示例 9.15：爆炸潜水箱

    常见的潜水箱是空载重 31.7 磅的铝制气瓶（图\(\PageIndex{4}\)）。 充满压缩空气时，内部压力介于 2500 到 3000 psi（磅/平方英寸）之间。 假设这样一辆一动不动的坦克突然爆炸成三块。 第一块重量为10磅，以每小时235英里的速度水平射击；第二块（7磅）以每小时172英里的速度射击，也是在水平面上，但与第一块成19°角。 第三块的质量和初始速度是多少？ （尽一切努力，并以 SI 为单位表达你的最终答案。）

    一幅潜水箱爆炸的画作，以及由此产生的三块不同大小的潜水箱。
    图\(\PageIndex{4}\)：潜水箱爆炸成三块。

    策略

    要使用动量守恒，我们需要一个封闭的系统。 如果我们将系统定义为潜水箱，这不是一个封闭的系统，因为重力是一种外力。 但是，问题只要求第三块的初始速度，因此我们可以忽略重力的影响，将坦克本身视为封闭系统。 请注意，对于此系统，初始动量向量为零。

    我们选择一个坐标系，其中所有运动都发生在 xy 平面中。 然后，我们写下每个方向的动量守恒方程，从而获得第三部分动量的 x 和 y 分量，从中我们得出其大小（通过毕达哥拉斯定理）及其方向。 最后，将这个动量除以第三块的质量得出速度。

    解决方案

    首先，让我们排除所有到 SI 单位的转换：

    \[31.7\; lb \times \frac{1\; kg}{2.2\; lb} \rightarrow 14.4\; kg\]

    \[10\; lb \rightarrow 4.5\; kg\]

    \[235\; \frac{miles}{hour} \times \frac{1\; hour}{3600\; s} \times \frac{1609\; m}{mile} = 105\; m/s\]

    \[7\; lb \rightarrow 3.2\; kg\]

    \[172 \frac{mile}{hour} = 77\; m/s\]

    \[m_{3} = 14.4\; kg - (4.5\; kg + 3.2\; kg) = 6.7\; kg \ldotp\]

    现在在每个方向上应用动量守恒。

    潜水箱的三部分显示在 x y 坐标系上。 中等大小的棋子位于正 x 轴上，在加 x 方向上具有动量 p 1。 最小的片段位于正 x 轴上方 theta 角度，动量为 p 2。 最大的片段位于负 x 轴以下 phi 的角度，动量为 p 3。

    x 方向：

    \[\begin{split} p_{f,x} & = p_{0,x} \\ p_{1,x} + p_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ m_{1} v_{1,x} + m_{2} v_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ p_{3,x} & = -m_{1} v_{1,x} - m_{2} v_{2,x} \end{split}\]

    y 方向：

    \[\begin{split} p_{f,y} & = p_{0,y} \\ p_{1,y} + p_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ m_{1} v_{1,y} + m_{2} v_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ p_{3,y} & = -m_{1} v_{1,y} - m_{2} v_{2,y} \end{split}\]

    根据我们选择的坐标系，我们将 x 分量写成

    \[\begin{split} p_{3,x} & = - m_{1} v_{1} - m_{2} v_{2} \cos \theta \\ & = - (4.5\; kg)(105\; m/s) - (3.2\; kg)(77\; m/s) \cos (19^{o}) \\ & = -705\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]

    对于 y 方向，我们有

    \[\begin{split} p_{3,y} & = 0 - m_{2} v_{2} \sin \theta \\ & = - (3.2\; kg)(77\; m/s) \sin (19^{o}) \\ & = -80.2\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]

    这给出了 p 3 的大小：

    \[\begin{split} p_{3} & = \sqrt{p_{3,x}^{2} + p_{3,y}^{2}} \\ & = \sqrt{(-705\; kg\; \cdotp m/s)^{2} + (-80.2\; kg\; \cdotp m/s)} \\ & = 710\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]

    因此，第三块的速度为

    \[v_{3} = \frac{p_{3}}{m_{3}} = \frac{710\; kg\; \cdotp m/s}{6.7\; kg} = 106\; m/s \ldotp\]

    其速度向量的方向与其动量向量的方向相同：

    \[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{p_{3,y}}{p_{3,x}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{80.2\; kg\; \cdotp m/s}{705\; kg\; \cdotp m/s}\right) = 6.49^{o} \ldotp\]

    \(\phi\)因为在 −x 轴以下，实际角度为 +x 方向的 186.49°。

    意义

    这里的巨大速度是典型的；装有任何压缩气体的爆炸罐很容易冲破房屋的墙壁，造成严重伤害或死亡。 幸运的是，按百分比计算，这种爆炸极为罕见。

    练习 9.10

    请注意，在分析和求解中，忽略了储罐中的空气质量。 如果包括空气，求解方法会发生怎样的变化？ 你认为这会对最终答案产生多大的影响？