9.7: 碰撞类型
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- 204732
- 确定碰撞类型
- 正确地将碰撞标记为弹性或非弹性
- 使用动能以及动量和冲动来分析碰撞
尽管所有交互作用中的动量都是守恒的，但并非所有相互作用（碰撞或爆炸）都是相同的。 可能性包括：
- 单个物体可以爆炸成多个物体（爆炸）。
- 多个物体可以碰撞并粘在一起，形成单个物体（非弹性）。
- 多个物体可以相互碰撞和反弹，保持为多个物体（弹性）。 如果它们确实互相反弹，那么它们可能会以碰撞前相互接近的相同速度进行后坐力，或者它们的移动速度可能会更慢。
因此，根据交互对象在交互前后的移动方式对不同类型的交互进行分类很有用。
爆炸
第一种可能性是单个物体可能会分解成两块或更多块。 这方面的一个例子是鞭炮、弓箭，或者是从空中向太空升起的火箭。 这些可能很难分析碰撞后的碎片数量是否超过大约三到四个；但尽管如此，爆炸前后系统的总动量是相同的。
请注意，如果物体最初处于静止状态，则系统（这只是物体）没有动量也没有动能。 爆炸后，物体所有部分的净动量之和必须为零（因为这个封闭系统的动量无法改变）。 但是，该系统在爆炸后将有大量的动能，尽管以前没有动能。 因此，我们看到，尽管系统的动量在爆炸中是保守的，但系统的动能绝对不是；它会增加。 这种相互作用 —— 随着系统动能的增加，一个物体变多 —— 被称为爆炸。
能量来自哪里？ 节能仍然有效吗？ 是的；某种形式的势能被转换为动能。 在火药燃烧并推出子弹的情况下，化学势能被转换为子弹和后坐枪的动能。 对于弓箭来说，它是弓弦中的弹性势能。
无弹性
第二种可能性恰恰相反：两个或多个物体相互碰撞并粘在一起，因此（碰撞后）形成一个单一的复合物体。 这个复合物体的总质量是原始物体的质量之和，新的单个物体以动量守恒决定的速度移动。 但是，事实再次证明，尽管物体系统的总动量保持不变，但动能并非如此；但是这一次，动能减少了。 这种类型的碰撞称为非弹性碰撞。
物体粘在一起的任何碰撞都会导致最大的动能损失（即 K f 将是最小值）。
据说这种碰撞完全没有弹性。 在极端情况下，多个物体会碰撞、粘在一起，并在碰撞后保持一动不动。 由于碰撞后所有物体都静止不动，因此最终动能也为零；因此，动能的损失是最大的。
- 如果 0 < K f < K i，则碰撞是非弹性的。
- 如果 K f 是最低能量，或者两个物体损失的能量最多，则碰撞完全没有弹性（物体粘在一起）。
- 如果 K f = K i，则碰撞是弹性的。
弹性
另一端的极端情况是，如果两个或两个以上的物体相互接近、碰撞并相互反弹，以相同的相对速度相互移动。 在这种情况下，系统的总动能是守恒的。 这种相互作用被称为弹性。
在封闭物体系统的任何相互作用中，系统的总动量是守恒的（\(\vec{p}_{f}\)=\(\vec{p}_{i}\)），但动能可能不是：
- 如果 0 < K f < K i，则碰撞是非弹性的。
- 如果 K f = 0，则碰撞完全没有弹性。
- 如果 K f = K i，则碰撞是弹性的。
- 如果 K f > K i，则相互作用是爆炸。
所有这一切的重点在于，在分析碰撞或爆炸时，你可以同时使用动量和动能。
封闭的系统总能保持动量；它也可以节省动能，但通常不会。局限于飞机（和我们一样）的能量动量问题通常有两个未知数。 通常，这种方法效果很好：
- 定义封闭系统。
- 写下动量守恒的表达式。
- 如果动能是守恒的，请写下动能守恒的表达式；如果没有，写下动能变化的表达式。
- 你现在有两个未知数中的两个方程，你可以用标准方法求解。
质子（质量1.67 x 10 −27 kg）与中子（质量与质子基本相同）碰撞形成称为氘的粒子。 如果氘是由一个以 7.0 x 10 6 m/s 的速度向左移动的质子和一个以 4.0 x 10 6 m/s 的速度向右移动的中子形成的，那么氘的速度是多少？
策略
将系统定义为两个粒子。 这是一次碰撞，所以我们应该首先确定哪种碰撞。 由于我们被告知两个粒子在碰撞后形成单个粒子，这意味着碰撞完全没有弹性。 因此，动能不是守恒的，但动量是守恒的。 因此，我们使用动量守恒来确定系统的最终速度。
解决方案
将两个粒子视为质量相同 M。分别使用下标 p、n 和 d 表示质子、中子和氘子。 这是一个一维的问题，所以我们有
\[Mv_{p} - Mv_{n} = 2Mv_{d} \ldotp\]
群众分开了：
\[\begin{split} v_{p} - v_{n} & = 2v_{d} \\ (7.0 \times 10^{6}\; m/s) - (4.0 \times 10^{6}\; m/s) & = 2v_{d} \\ v_{d} & = 1.5 \times 10^{6}\; m/s \ldotp \end{split}\]
因此，速度是\(\vec{v}_{d} = (1.5 \times 10^{6}\; m/s) \hat{i}\)。
意义
像大型强子对撞机这样的粒子碰撞器本质上就是这样工作的：它们将粒子加速到非常高的速度（很大的力矩），但方向相反。 这最大限度地提高了所谓的 “子粒子” 的产生。
（这是前面示例的变体。）
两个不同质量的冰球在平坦的水平曲棍球场上。 红色冰球的质量为 15 克，一动不动；蓝色冰球的质量为 12 克，以 2.5 m/s 的速度向左移动。 它与一动不动的红色冰球碰撞（图\(\PageIndex{1}\)）。 如果碰撞完全有弹性，那么两个冰球的最终速度是多少？
策略
我们被告知我们有两个碰撞物体，我们被告知它们的质量和初始速度，还有一个最后的速度；我们被要求提供两个最终速度。 保持动量似乎是一个不错的策略；将系统定义为两个冰球。 没有摩擦，所以我们有一个封闭的系统。 我们有两个未知数（两个最后的速度），但只有一个方程。 关于碰撞具有完全弹性的评论就是线索；这表明在这次碰撞中动能也是保守的。 这给了我们第二个方程式。
系统的初始动量和初始动能完全存在于第二个冰球（蓝色的冰球）中；碰撞将部分动量和能量传递给第一个冰球。
解决方案
在这种情况下，动量守恒读作
\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ m_{2}v_{2,i} & = m_{1} v_{1,f} + m_{2} v_{2,f} \ldotp \end{split}\]
动能守恒读取
\[\begin{split} K_{i} & = K_{f} \\ \frac{1}{2} m_{2} v_{2,i}^{2} & = \frac{1}{2} m_{1} v_{1,f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2,f}^{2} \ldotp \end{split}\]
我们的两个方程由两个未知数组成。 代数很乏味，但不是很难；你绝对应该仔细研究一下。 解决方案是
\[v_{1,f} = \frac{(m_{1} - m_{2})v_{1,i} + 2m_{2} v_{2,i}}{m_{1} + m_{2}}\]
\[v_{2,f} = \frac{(m_{2} - m_{1})v_{2,i} + 2m_{1} v_{1,i}}{m_{1} + m_{2}}\]
用给定的数字代替，我们得到
\[v_{1,f} = 2.22\; m/s\]
\[v_{2,f} = -0.28\; m/s \ldotp\]
意义
请注意，碰撞后，蓝色冰球向右移动；其运动方向反转。 红色的冰球现在正在向左移动。
本示例中求解的方程组还有第二个解（因为能量方程是二次方程的）：v 1，f = −2.5 m/s，v 2，f = 0。 从物理角度来看，这种解决方案是不可接受的；它有什么问题？
2012 年的电影《复仇者联盟》中有一个钢铁侠和雷神战斗的场景。 战斗开始时，雷神向钢铁侠投掷锤子，击中他，然后将他稍微向空中和一棵破裂的小树上。 视频中，钢铁侠在锤子击中他时静止不动。 雷神和钢铁侠之间的距离约为 10 m，雷神释放后，锤子需要大约 1 秒才能到达钢铁侠。 这棵树比钢铁侠落后大约 2 米，他在大约 0.75 秒内击中了钢铁侠。同样从视频来看，钢铁侠到树的轨迹非常接近水平。 假设钢铁侠的总重量为 200 千克：
- 估计雷神之锤的质量
- 估计在这次碰撞中损失了多少动能
策略
碰撞后，雷神的锤子一直与钢铁侠接触，所以这是一次完全没有弹性的碰撞。 因此，如果正确选择封闭系统，我们预计动量是守恒的，但动能不是守恒的。 我们使用给定的数字来估计初始动量、初始动能和最终动能。 因为这是一个一维问题，所以我们可以直接转到方程的标量形式。
解决方案
- 首先，我们假设动量守恒。 为此，我们需要一个封闭的系统。 这里的选择是系统（锤子+钢铁侠），从碰撞到钢铁侠和锤子击中树之前的那一刻。 让：
- M H = 锤子的质量
- M I = 钢铁侠的质量
- v H = 击中钢铁侠之前锤子的速度
- v = 碰撞后钢铁侠 + 锤子的总速度
同样，钢铁侠的初始速度为零。 这里的动量守恒内容如下：
\[M_{H} v_{H} = (M_{H} + M_{I})v \ldotp\]
我们被要求找到锤子的质量，所以我们有
\[\begin{split} M_{H} v_{H} & = M_{H} v + M_{1} v \\ M_{H} (v_{H} - v) & = M_{I} v \\ M_{H} & = \frac{M_{I}v}{v_{H} - v} \\ & = \frac{(200\; kg) \left(\dfrac{2\; m}{0.75\; s}\right)}{10\; m/s - \left(\dfrac{2\; m}{0.75\; s}\right)} \\ & = 73\; kg \ldotp \end{split}\]
考虑到我们估计中的不确定性，应仅用一个有效数字来表示；因此，M H = 7 x 10 1 kg。
- 系统的初始动能，就像初始动量一样，都在锤子里：$$\ begin {split} K_ {i} & =\ frac {1} {2} m_ {H} ^ {2}\\ & =\ frac {1} {2} (10\; m/s) ^ {2}\\ & = 3500\; J\ ldotp\ end {split} $$碰撞后，$$\ begin {split} K_ {f} & =\ frac {1} {2} (M_ {H} + M_ {I})v^ {2}\\ & =\ frac {1} {2} (70\; kg + 200\; kg) (2.67\; m/s) ^ {2}\\ & = 960\; J\ ldotp\ end {split} $$因此，损失了 3500 J − 960 J = 2540 J
意义
从电影中的其他场景来看，雷神显然可以用自己的思想控制锤子的速度。 因此，当钢铁侠被向后推向树时，他可能会在精神上使锤子保持其初始速度为10 m/s。 如果是这样，这将代表我们系统的外部力量，因此它不会被关闭。 但是，雷神对锤子的心理控制超出了本书的范围。
在红绿灯处，一辆大型卡车（3000 kg）与一辆不动的小型汽车（1200 kg）相撞。 卡车瞬间停下来；汽车向前滑行，滑行 10 米后停下来。 测得的汽车轮胎和道路之间的摩擦系数为0.62。 卡车在撞击时行驶的速度有多快？
策略
起初看来我们没有足够的信息来解决这个问题。 尽管我们知道汽车的初始速度，但我们不知道卡车的速度（事实上，这就是我们被要求找到的），所以我们不知道系统的初始动量。 同样，我们知道卡车的最终速度，但不知道撞击后汽车的速度。 汽车最终滑到零速度这一事实无助于最终的动量，因为外部摩擦力造成了这种情况。 我们也无法计算冲动，因为我们不知道碰撞时间，也不知道汽车在停下来之前滑行的时间。 一种有用的策略是对分析施加限制。
假设我们定义了一个只由卡车和汽车组成的系统。 由于汽车和道路之间的摩擦，该系统的动量无法保持。 但是，如果我们能在撞击后的那一刻（在摩擦力对汽车产生任何可衡量的影响之前）找到汽车的速度，那么我们可以考虑在有这种限制的情况下保持系统的动量。
我们能找到汽车的最终速度吗？ 是的；我们援引工作动能定理。
解决方案
首先，定义一些变量。 让：
- M c 和 M T 分别是汽车和卡车的质量
- v T、i 和 v T，f 分别是碰撞前后的卡车速度
- v c、i 和 v c，f 分别是碰撞前后汽车的速度
- K i 和 K f 是汽车在碰撞之后和汽车停止滑动之后的动能（所以 K f = 0）。
- d 是碰撞后汽车在最终停下来之前的滑行距离。
既然我们实际上想要卡车的初始速度，而且由于卡车不是工作能量计算的一部分，所以让我们从动量守恒开始。 对于汽车 + 卡车系统，动量守恒读作
\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ M_{c} v_{c,i} + M_{T} v_{T,i} & = M_{c} v_{c,f} + M_{T} v_{T,f} \ldotp \end{split}\]
由于汽车的初始速度为零，卡车的最终速度也是零，因此这简化为
\[v_{T,i} = \frac{M_{c}}{M_{T}} v_{c,f} \ldotp\]
因此，现在我们需要在撞击后立即确定汽车的速度。 回想一下
\[W = \Delta K\]
哪里
\[\begin{split} \Delta K & = K_{f} - K_{i} \\ & = 0 - \frac{1}{2} M_{c} v_{c,f}^{2} \ldotp \end{split}\]
另外，
\[W = \vec{F}\; \cdotp \vec{d} = Fd \cos \theta \ldotp\]
这项工作是在汽车滑行的距离内完成的，我们称之为 d。等同于：
\[Fd \cos \theta = - \frac{1}{2} M_{c} v_{c,f}^{2} \ldotp\]
摩擦力是汽车上的力，它起到阻止滑动的作用。 在平坦的道路上，摩擦力是
\[F = \mu_{k} M_{c} g \ldotp\]
由于摩擦力向量方向与位移 d 之间的角度为 180°，而 cos (180°) = —1，我们有
\[- (\mu_{k} M_{c} g) d = - \frac{1}{2} M_{c} v_{c,f}^{2}\]
（请注意，汽车的质量是分开的；显然，汽车的质量无关紧要。）
碰撞后立即求解汽车的速度得出
\[v_{c,f} = \sqrt{2 \mu_{k} gd} \ldotp\]
替换给定的数字：
\[\begin{split} v_{c,f} & = \sqrt{2(0.62)(9.81\; m/s^{2})(10\; m)} \\ & = 11.0\; m/s \ldotp \end{split}\]
现在我们可以计算出卡车的初始速度：
\[v_{T,i} = \left(\dfrac{1200\; kg}{3000\; kg}\right) (11.0\; m/s) = 4.4\; m/s \ldotp\]
意义
这是调查人员对重大车祸所做分析类型的一个例子。 许多法律和财务后果取决于对动量和能量的准确分析和计算。
假设没有摩擦（碰撞发生在冰上）；那会变\(\mu_{k}\)为零，因此\(v_{c,f} = \sqrt{2 \mu_{k} gd} = 0\)，这显然是错误的。 这个结论有什么错误？
亚原子碰撞和动量
动量守恒对于我们理解原子和亚原子粒子至关重要，因为我们对这些粒子的了解大部分来自碰撞实验。
二十世纪初，人们对原子的结构产生了浓厚的兴趣和争论。 众所周知，原子含有两种类型的带电粒子：带负电荷的电子和带正电荷的质子。 （有人怀疑存在电中性粒子，但直到1932年才得到证实。） 问题是，这些粒子在原子中是如何排列的？ 它们是在整个原子的体积中均匀分布（正如汤姆森所提议的那样），还是排列在正多边形的角落（这是吉尔伯特·刘易斯的模型），还是围绕带正电荷原子核的负电荷环——就像土星周围的行星环一样（如建议的那样）作者：Hantaro Nagaoka），还是别的？
新西兰物理学家欧内斯特·卢瑟福（以及德国物理学家汉斯·盖格和英国物理学家欧内斯特·马斯登）在1909年进行了这项关键实验。 他们用一束高能（即高速）α粒子（氦原子核）轰炸了一块薄薄的金箔。 α粒子与金原子碰撞，使用动量守恒和能量守恒对它们随后的速度进行了检测和分析。
如果金原子的电荷分布均匀（根据汤姆森的说法），那么α粒子应该与它们碰撞，几乎所有角度都会偏转多个角度，而且都很小；长冈模型将产生类似的结果。 如果原子排列为正多边形（刘易斯），则α粒子将以相对较少的角度偏转。
实际发生的情况是，几乎没有一个 α粒子被偏转。 那些曾经偏转了很大的角度，有些偏转了接近 180° —— 那些 alpha 粒子完全反转了方向（图\(\PageIndex{2}\)）。 现有的原子模型都无法解释这一点。 最终，卢瑟福开发了一个更接近我们现在拥有的原子模型——再次以动量和能量守恒为起点。