9.6：线性动量守恒（第 2 部分）

问题解决策略：动量守恒

使用动量守恒需要四个基本步骤。 第一步是至关重要的：

1. 识别封闭系统（总质量恒定，系统上没有净外力）。
2. 写下表示 “事件”（爆炸或碰撞）之前系统的总动量的表达式。
3. 写下表示 “事件” 之后系统总动量的表达式。
4. 将这两个表达式设置为彼此相等，然后求解该方程以获得所需的量

示例$\PageIndex{1}$: Colliding Carts

物理实验室中的两辆手推车在水平轨道上滚动，摩擦力可以忽略不计。 这些推车的末端有小磁铁，因此当它们碰撞时，它们会粘在一起（图$\PageIndex{1}$）。 第一辆推车的重量为675克，以0.75 m/s的速度向右滚动；第二辆车的质量为500克，也以1.33 m/s的速度向右滚动。 碰撞后，两辆连接的手推车的速度是多少？

图$\PageIndex{1}$：两辆实验室推车在碰撞后碰撞并粘在一起。

策略

我们碰撞了。 我们得到了质量和初始速度；我们被要求提供最终速度。 这一切都表明使用动量守恒作为求解方法。 但是，只有当我们有一个封闭的系统时，我们才能使用它。 因此，我们需要确保我们选择的系统没有净外力，并且它的质量不会因碰撞而改变。

将系统定义为两辆手推车符合封闭系统的要求：两辆手推车的总质量肯定不会改变，虽然两辆手推车肯定会相互施加力，但这些力是系统内部的，因此它们不会改变整个系统的动量。 在垂直方向上，推车的重量会被来自轨道的推车上的法向力所抵消。

解决方案

动量守恒是

$$\vec{p}_{f} = \vec{p}_{i} \ldotp \nonumber$$

将其初始速度向量的方向定义为 +x 方向。 那么最初的动量就是

$$\vec{p}_{i} = m_{1} v_{1}\; \hat{i} + m_{2} v_{2}\; \hat{i} \ldotp \nonumber$$

现在关联的购物车的最终势头是

$$\vec{p}_{f} = (m_{1} + m_{2}) \vec{v}_{f} \ldotp \nonumber$$

等同于：

$$\begin{align*} (m_{1} + m_{2}) \vec{v}_{f} & = m_{1} v_{1}\; \hat{i} + m_{2} v_{2}\; \hat{i} \\[4pt] \vec{v}_{f} & = \left(\dfrac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) \hat{i} \ldotp \end{align*}$$

替换给定的数字：

$$\begin{align*} \vec{v}_{f} & = \Bigg[ \frac{(0.675\; kg)(0.75\; m/s) + (0.5\; kg)(1.33\; m/s)}{1.175\; kg} \Bigg] \hat{i} \\[4pt] & = (0.997\; m/s) \hat{i} \ldotp \end{align*}$$

意义

这里适用于两辆实验室推车的原则同样适用于任何类型或大小的所有物体。 即使对于光子来说，即使在这样的规模下，动量和动量守恒的概念仍然至关重要。 （由于它们是无质量的，因此光子的动量定义与普通物体的动量截然不同。 当你学习量子物理学时，你会学到这一点。）

练习$\PageIndex{1}$

假设第二辆较小的购物车最初向左移动。 在这种情况下，最终速度的标志是什么？

示例$\PageIndex{2}$: A Bouncing Superball

质量为 0.25 kg 的超级球从地面 h = 1.50 米的高度从静止处掉落。 它在不损失能量的情况下反弹并恢复到其初始高度（图$\PageIndex{2}$）。

1. 超级球在地板上反弹期间的动量变化如何？
2. 由于球与地板碰撞，地球的动量发生了什么变化？
3. 这次碰撞导致地球的速度变化是多少？

（此示例表明您在定义系统时必须谨慎。）

图$\PageIndex{2}$：超级球掉到地板上 ($t_0$)，击中地板 ($t_1$)，反弹 ($t_2$)，然后返回到其初始高度 ($t_3$)。

策略

由于我们只被问到球的动量变化，所以我们将我们的系统定义为球。 但这显然不是一个封闭的系统；重力在球掉落时对球施加向下力，而来自地板的法向力在弹跳时施加力量。 因此，我们不能使用动量守恒作为策略。 相反，我们只是在球与地板碰撞之前和之后确定球的动量，然后计算出差值。 我们有球的质量，所以我们需要它的速度。

解决方案

1. 由于这是一个一维问题，我们使用方程的标量形式。 让：
   • p ₀ = 球在时间 t ₀ 被释放的那一刻的动量大小；自从球从静止状态掉落以来，该值为零。
   • p ₁ = 球在时间 t ₁ 时的动量大小，也就是球击中地板前的那一刻。
   • p ₂ = 球在时间 t ₂ 时的动量大小，就在反弹后球与地板失去接触之后。

球的动量变化是

$$\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} \\[4pt] & = p_{2}\; \hat{j} - (-p_{1}\; \hat{j}) \\[4pt] & = (p_{2} + p_{1}) \hat{j} \ldotp \end{align*}$$

它在撞到地板之前的速度可以通过能量守恒或运动学来确定。 我们在这里使用运动学；你应该使用能量守恒来重新解决这个问题，并确认你得到的结果是一样的。

我们想要的速度刚好在它撞击地面之前（时间 t ₁）。 我们知道它的初始速度 v ₀ = 0（在时间 t ₀ 时）、它落下的高度和加速度；我们不知道下降时间。 我们可以计算出来，但我们改用

$$\vec{v}_{1} = - \hat{j} \sqrt{2gy} = -5.4\; m/s\; \hat{j} \ldotp \nonumber$$

因此，球的动量为

$$\begin{align*} \vec{p}_{1} & = - (0.25\; kg)(-5.4\; m/s\; \hat{j}) \\[4pt] & = - (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}$$

我们没有简单的方法来计算反弹后的动量。 相反，我们是根据情况的对称性来推理的。

在弹跳之前，球以零速度开始，在重力的影响下落1.50 m，在击中地面之前获得一定动量。 在回程中（反弹之后），它以一定动量开始，上升幅度与下跌的1.50米相同，最后以零速度结束。 因此，反弹之后的动作是反弹前运动的镜像。 从这种对称性来看，球在反弹后的动量必须等于反弹前的动量并且与之相反。 （这是一个微妙但至关重要的论点；在继续之前，请务必理解。） 因此，

$$\vec{p}_{2} = - \vec{p}_{1} = + (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber$$

因此，球在反弹期间的动量变化是

$$\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} \\ & = (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} - (-1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \\ & = + (2.8\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}$$

2. 由于球与地板碰撞，地球的动量发生了什么变化？ 你的本能反应很可能是 “零；地球太大了，那个小球无法影响它”，要么可能是 “大于零，但完全可以忽略不计”。 但不是，如果我们将我们的系统重新定义为 Superball + Earth，那么这个系统就关闭了（忽略了太阳、月球和太阳系中其他行星的引力），因此这个新系统的总动量变化必须为零。 因此，地球的动量变化幅度完全相同： $$\ Delta\ vec {p} _ {Earth} = -2.8\; kg\;\ cdotp m/s\;\ hat {j}\ ldotp$$
3. 这次碰撞导致地球的速度变化是多少？ 这可能是你的直觉感觉是正确的：地球速度的 $$\begin{align*} \Delta \vec{v}_{Earth} & = \frac{\Delta \vec{p}_{Earth}}{M_{Earth}} \\[4pt] & = - \frac{2.8\; kg\; \cdotp m/s}{5.97 \times 10^{24}\; kg}\; \hat{j} \\[4pt] & = - (4.7 \times 10^{-25}\; m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}$$ 这种变化完全可以忽略不计

意义

重要的是要认识到，第（c）部分的答案不是速度；而是速度的变化，这是完全不同的事情。 尽管如此，为了让你感受一下速度的变化有多小，假设你以 4.7 x 10 ^{−25 m} /s 的速度移动。以这种速度，大约需要 700 万年才能行驶等于氢原子直径的距离。

练习$\PageIndex{2}$

如果球与地板碰撞并停下来（没有弹跳），它的动量变化会更大、更小还是相同？ 如果球与地板碰撞并停下来（没有弹跳），它的动量变化会更大、更小还是相同？

示例$\PageIndex{3}$: Ice hockey 1

两个质量相同的曲棍球在平坦的水平冰球场上。 红色冰球一动不动；蓝色冰球以 2.5 m/s 的速度向左移动（图$\PageIndex{3}$）。 它与一动不动的红色冰球碰撞。 冰球的质量为 15 g。碰撞后，红色冰球以 2.5 m/s 的速度向左移动。 蓝色冰球的最终速度是多少？

图$\PageIndex{3}$：两个相同的曲棍球碰撞。 上图显示了碰撞前一刻的冰球，底部图显示了碰撞后那一刻的冰球。 净外力为零。

策略

有人告诉我们，我们有两个碰撞物体，我们被告知质量和初始速度，还有一个最后的速度；我们被要求提供两个最终速度。 保持势头似乎是一个不错的策略。 将系统定义为两个圆球；没有摩擦，所以我们有一个封闭的系统。

在你看解决方案之前，你认为答案会是什么？

蓝色冰球的最终速度将是：

1. 零
2. 向左 2.5 米/秒
3. 向右 2.5 m/s
4. 向左 1.25 m/s
5. 向右 1.25 m/s
6. 别的东西

解决方案

将 +x 方向定义为指向右侧。 动量守恒然后读作

$$\begin{align*} \vec{p_{f}} & = \vec{p_{i}} \\ mv_{r_{f}}\; \hat{i} + mv_{b_{f}}\; \hat{i} & = mv_{r_{i}}\; \hat{i} - mv_{b_{i}}\; \hat{i} \ldotp \end{align*}$$

在碰撞之前，系统的动量完全在蓝色冰球中。 因此，

$$mv_{r_{f}}\; \hat{i} + mv_{b_{f}}\; \hat{i} = - mv_{b_{i}}\; \hat{i} \nonumber$$

$$v_{r_{f}}\; \hat{i} + v_{b_{f}}\; \hat{i} = - v_{b_{i}}\; \hat{i} \ldotp \nonumber$$

（请记住，冰球的质量是相等的。） 替换数字：

$$\begin{align*} - (2.5\; m/s) \hat{i} + \vec{v}_{b_{f}} & = - (2.5\; m/s) \hat{i} \\ \vec{v}_{b_{f}} & = 0 \ldotp \end{align*}$$

意义

显然，这两个冰球只是交换了动力。 蓝冰球将所有动量转移到了红色冰球上。 实际上，这是在类似碰撞中发生的情况，其中 m ₁ = m ₂。

练习$\PageIndex{3}$

即使冰上有一些摩擦，仍然可以使用动量守恒来解决这个问题，但是你需要对问题施加额外的条件。 那附加条件是什么？

菲莱

2014 年 11 月 12 日，欧洲航天局成功将一枚名为 P hilae 的探测器降落在 67P/ Churyumov/Gerasimenko 彗星上（图$\PageIndex{4}$）。 但是，在着陆期间，探测器实际上降落了三次，因为它反弹了两次。 让我们计算一下第一次反弹后彗星的速度发生了多大变化。

图$\PageIndex{4}$：一位艺术家对菲莱着陆彗星的渲染。 （来源：“德国航空航天中心” /Flickr 对作品的修改）

让我们将 upward 定义为 +y 方向，垂直于彗星表面，y = 0 定义为位于彗星表面。 以下是我们所知道的：

• 67P 彗星的质量：M _c = 1.0 x 10 ¹³ 千克
• 由于彗星的重力而产生的加速度：$\vec{a}$= − (5.0 x 10 ^{−3 m} /s ²)$\hat{j}$
• 菲莱的质量：M _p = 96 千克
• 初始触地速度：$\vec{v}_{1}$= −（1.0 m/s）$\hat{j}$
• 第一次反弹产生的初始向上速度：$\vec{v}_{2}$=（0.38 m/s）$\hat{j}$
• 着陆冲击时间：$\Delta$t = 1.3 秒

策略

有人问我们彗星的速度发生了多大变化，但是除了彗星的质量和重力造成的加速度之外，我们对这颗彗星知之甚少。 但是，有人告诉我们，菲莱着陆器与彗星碰撞（降落），然后从彗星上反弹。 碰撞表明动量是解决这个问题的策略。

如果我们定义一个由菲莱和彗星67/P组成的系统，那么这个系统就没有净外力，因此这个系统的动量是保守的。 （我们会忽略太阳的引力。） 因此，如果我们计算出着陆器动量的变化，就会自动得到彗星动量的变化。 此外，彗星速度的变化与着陆器与它 “碰撞” 导致的动量变化直接相关。

解决方案

让我们$\vec{p}_{1}$成为菲莱在触地得分前的势头，在第一次反弹之后$\vec{p}_{2}$成为菲莱的势头。 然后它在着陆前的势头是

$$\vec{p}_{1} = M_{p} \vec{v}_{1} = (96\; kg)(-1.0\; m/s\; \hat{j}) = - (96\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \nonumber$$

而就在那之后是

$$\vec{p}_{2} = M_{p} \vec{v}_{2} = (96\; kg)(+0.38\; m/s\; \hat{j}) = (36.5\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber$$

因此，着陆器在第一次反弹期间的动量变化是

$$\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} \vec{p}_{1} \\ & = (36.5\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} - (-96.0\; kg\; \cdotp m/s\; \hat{j}) \\ & = (133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \end{align*}$$

请注意，包含初始动量的负号是多么重要。

现在来看这颗彗星了 由于必须保持系统的动量，因此彗星的动量变化正好是负面的：

$$\Delta \vec{p}_{c} = - \Delta \vec{p} = - (133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber$$

因此，它的速度变化是

$$\Delta \vec{v}_{c} = \frac{\Delta \vec{p}_{c}}{M_{c}} = \frac{-(133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j}}{1.0 \times 10^{13}\; kg} = - (1.33 \times 10^{-11}\; m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber$$

意义

这是一个非常小的速度变化，大约是每秒十亿分之一米的千分之一。 但是，至关重要的是，它不是零。

练习$\PageIndex{4}$

菲莱和67/P彗星的动量变化是相等的（幅度上）。 菲莱和彗星所经历的冲动相等吗？ 部队怎么样？ 动能的变化怎么样？