9.5: 线性动量守恒（第 1 部分）

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学习目标

解释 “动量守恒” 的含义
正确识别系统是否已关闭
定义动量守恒的系统
用数学方法表示给定系统的动量守恒
使用动量守恒计算未知量

回想一下牛顿的第三定律：当质量为 m ₁ 和 m ₂ 的两个物体相互作用时（这意味着它们相互施加力），物体 2 对物体 1 施加的力在量级上与物体 1 施加在物体 2 上的力大小相等，方向相反。让：

$\vec{F}_{21}$= 来自 m ₂ 对 m ₁ 的力
$\vec{F}_{12}$= 来自 m ₁ 对 m ₂ 的力

然后，用符号表示，牛顿的第三定律是这样说的

\[\begin{split} \vec{F}_{21} & = - \vec{F}_{12} \\ m_{1} \vec{a}_{1} & = -m_{2} \vec{a}_{2} \ldotp \end{split} \label{9.10}\]

（回想一下，这两种力不会取消，因为它们应用于不同的物体。 F ₂₁ 导致 m ₁ 加速，F ₁₂ 导致 m ₂ 加速。）

尽管物体上的力的大小相同，但加速度却不一样，这仅仅是因为质量（一般而言）不同。因此，每个物体的速度变化是不同的：

\[\frac{d \vec{v}_{1}}{dt} \neq \frac{d \vec{v}_{2}}{dt} \ldotp\]

但是，质量和速度变化的乘积是相等的（量级）：

\[m_{1} \frac{d \vec{v}_{1}}{dt} = - m_{2} \frac{d \vec{v}_{2}}{dt} \ldotp \label{9.11}\]

在这一点上，确保你清楚方程 9.3.3 中导数的物理含义是个好主意。由于这种相互作用，每个物体的速度最终都会发生一定程度的变化。此外，相互作用发生在 dt 的时间间隔内，这意味着速度的变化也发生在 dt 上。每个对象的时间间隔是相同的。

目前，让我们假设物体的质量在交互过程中没有变化。（我们稍后会放宽此限制。）在这种情况下，我们可以将质量拉入导数中：

\[\frac{d}{dt} (m_{1} \vec{v}_{1}) = - \frac{d}{dt} (m_{2} \vec{v}_{2}) \label{9.12}\]

因此

\[\frac{d \vec{p}_{1}}{dt} = - \frac{d \vec{p}_{2}}{dt} \ldotp \label{9.13}\]

也就是说，两个物体的动量变化速率是相同的。质量不同，速度变化也不同，但是 m 和$\vec{v}$ m 的乘积的变化率相同。

从物理上讲，这意味着在两个物体（m ₁ 和 m ₂）相互作用期间，两个物体的动量都发生了变化；但是这些变化的幅度相同，尽管符号相反。例如，对象 1 的动量可能会增加，这意味着对象 2 的动量减小幅度完全相同。

有鉴于此，让我们用更具启发性的形式重写方程式\ ref {9.12}：

\[\frac{d \vec{p}_{1}}{dt} + \frac{d \vec{p}_{2}}{dt} = 0 \ldotp \label{9.14}\]

也就是说，在交互过程中，尽管物体 1 的动量发生变化，物体 2 的动量也发生了变化，但这两种变化相互抵消，因此两个物体加在一起的动量总变化为零。

既然两个物体的总组合动量永远不会改变，那么我们可以这样写

\[\frac{d}{dt} (\vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}) = 0 \label{9.15}\]

由此可以看出

\[\vec{p}_{1} + \vec{p}_{2} = constant \ldotp \label{9.16}\]

如图所示$\PageIndex{1}$，碰撞前后系统的总动量保持不变。

在碰撞之前，黄球 1 向下和向右移动，瞄准蓝球 2 的中心。蓝球 2 向左移动，稍微向下移动，比球 1 慢。我们被告知 p 总向量等于 p 1 向量加 p 2 向量，我们将总和显示为向量图：p 1 和 p 2 放置在 p 1 的开头 p 2 的尾部。从 p 1 的尾部到 p 2 的头部绘制一个向量。碰撞后，黄球向右缓慢移动，p 2 向下和向左移动的速度更快。有人告诉我们 p 素数总向量等于 p 素数 1 向量加 p 素数 2 向量，我们将总和显示为向量图：p 素数 1 和 p 素数 2 放置在 p 素数 1 的开头 p 素数 2 的尾部。从 p 素数 1 的尾部到 p prime 2 的头部绘制一个向量，其长度和方向与碰撞前的总和向量相同。 — 图$\PageIndex{1}$：碰撞前，两个台球会随瞬间移$\vec{p}_{1}$动$\vec{p}_{2}$。系统的总动量是这些动量的总和，如左$\vec{p}_{total}$侧标记的红色向量所示。碰撞后，两个台球以不同的瞬间移动，$\vec{p}′_{1}$而且$\vec{p}′_{2}$。但是，总动量没有改变，如右侧的红色矢量箭头$\vec{p}'_{total}$所示。

将这个结果概括为 N 个对象，我们得到

\[\begin{align} \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2} + \vec{p}_{3} + \cdots + \vec{p}_{N} & = constant \\ \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} & = constant \ldotp \label{9.17} \end{align} \]

方程\ ref {9.17} 是对由 N 个相互作用物体组成的系统的总（或净）动量的定义，以及一个物体系统的总动量在时间上是恒定的，或者更好的是守恒的陈述。

保护法

如果物理量的值在时间上是恒定的，我们说该量是保守的。

动量守恒的要求

但是，有一个并发症。系统必须满足两个要求才能保持动量：

在交互过程中，系统的质量必须保持不变。 当物体相互作用（相互施加力）时，它们可能会将质量从一个物体传递到另一个物体；但是一个物体获得的任何质量都会被另一个物体的质量损失所抵消。因此，随着时间的流逝，物体系统的总质量保持不变：\ [\ Big [\ frac {dm} {dt}\ Big] _ {system} = 0\ ldotp$$
系统上的净外力必须为零。当物体碰撞或爆炸并四处移动时，它们会相互施加力。但是，所有这些力都是系统的内部力，因此这些内力中的每一种都被另一种大小相等且符号相反的内力所平衡。因此，每种内力引起的动量变化都被另一个大小相等且方向相反的动量变化所抵消。因此，内力无法改变系统的总动量，因为这些变化总和为零。但是，如果有一些外力作用在所有物体上（例如重力或摩擦），则这种力会改变整个系统的动量；也就是说，系统的动量会被外力改变。因此，为了保持系统的动量，我们必须有 $$\ vec {F} _ {ext} =\ vec {0}\ ldotp$$

满足这两个要求的对象系统被称为封闭系统（也称为隔离系统）。因此，更紧凑的表达方式如下所示。

动量守恒定律

封闭系统的总动量是保守的：

\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} = constant \ldotp\]

该声明被称为动量守恒定律。除了能量守恒外，它也是所有物理学的基础之一。我们所有的实验证据都支持这一说法：从银河星团的运动到构成质子和中子的夸克，以及介于两者之间的各种尺度。在封闭的系统中，总动量永远不会改变。

请注意，绝对可以有外力作用于系统；但是要使系统的动量保持不变，这些外力必须抵消，因此净外力为零。桌上的台球都有作用在它们身上的重力，但是重量由普通力平衡（取消），因此没有净力。

“系统” 的含义

系统（机械）是您对其运动（运动学和动力学）感兴趣的对象的集合。如果你正在分析球在地面上的弹跳，你可能只对球的运动感兴趣，而不对地球的运动感兴趣；因此，球就是你的系统。如果你正在分析一场车祸，这两辆车共同构成了你的系统（图$\PageIndex{2}$）。

两辆质量为 m 1 和 m 2 的汽车碰撞示意图。感兴趣的系统是碰撞前后的两辆车。碰撞前，汽车 m 2 在前方并以速度 v 2 向前移动，汽车 m 1 在后面，以速度 v 1 向前移动。净向量 F = 0，向量 p 1 加 p 2 等于 p tot。碰撞后，汽车 m 2 在前方并以 v2 prime 向前移动，速度大于 v 2 prime，而汽车 m 1 在后面，以碰撞前小于 v 1 的速度 v 1 向前移动。向量 p 1 素数加 p 2 素数等于 p tot prime。 — 图$\PageIndex{2}$：这两辆车共同构成了待分析的系统。重要的是要记住，系统中的内容（质量）在系统中的对象相互作用之前、期间或之后都不会改变。