9.4：冲击和碰撞（第 2 部分）

冲动的影响

由于冲量是一种作用一定时间的力，它会导致物体的运动发生变化。 召回

$$\vec{J} = m \Delta \vec{v} \ldotp$$

因为 m$\vec{v}$ 是系统的动量，m$\Delta \vec{v}$ 是动量的变化$\Delta \vec{p}$。 这给了我们以下关系，称为冲动动量定理（或关系）。

脉冲动量定理

施加到系统的脉冲会改变系统的动量，而这种动量的变化恰好等于施加的冲动：

$$\vec{J} = \Delta \vec{p} \ldotp \label{9.7}$$

脉冲动量定理如图所示$\PageIndex{1}$。

图$\PageIndex{1}$：脉冲动量定理的示意图。 (a) 具有初始速度$\vec{v}_{0}$和动量的球$\vec{p}_{0}$会收到脉冲$\vec{J}$。 (b) 该冲量以矢量方式添加到初始动量中。 (c) 因此，冲量等于动量的变化，$\vec{J}$=$\Delta \vec{p}$。 (d) 冲动过后，球以新的动量移开$\vec{p}_{f}$。

脉冲动量定理中有两个关键概念：

1. 脉冲是一个矢量量；比如说 − (10 N • s)$\hat{i}$ 的脉冲与 + (10 N • s) 的脉冲有很大不同$\hat{i}$；它们会导致完全相反的动量变化。
2. 冲动不会产生动量；相反，它会导致物体动量的变化。 因此，必须从初始动量中减去最终动量，并且由于动量也是向量量，因此必须仔细考虑动量向量的符号。

与脉冲有关的最常见问题是计算施加的力，或者是施加冲量所产生的速度变化。 一般的方法是一样的。

问题解决策略：脉冲动量定理

1. 将冲量表示为力乘以相关时间间隔。
2. 将冲动表示为动量的变化，通常为 m$\Delta$ v。
3. 将它们等同并求解所需的量。

企业

图$\PageIndex{2}$：《星际迷航》历险记中的虚构星际飞船企业号使用所谓的 “冲动引擎” 运行，该引擎将物质与反物质结合以产生能量。

“苏鲁先生，带我们出去；提前四分之一的冲动。” 有了这个命令，星际飞船企业号的柯克船长（图$\PageIndex{2}$）让他的飞船从静止状态开始，最终速度为 v _f =$\frac{1}{4}$（3.0 x 10 ⁸ m/s）。 假设这个动作在 60 秒内完成，那么脉冲发动机对飞船施加的平均力是多少？

策略

我们被要求一支力量；我们知道初始速度和最终速度（因此也知道速度的变化），也知道这一切发生的时间间隔。 特别是，我们知道部队采取行动的时间。 这表明使用冲动动量关系。 但是，要使用它，我们需要企业的庞大规模。 互联网搜索给出了企业质量的最佳估计（在2009年的电影中）为2 x 10 ⁹ 千克。

解决方案

因为这个问题只涉及一个方向（即发动机施加的力的方向），所以我们只需要脉冲动量定理方程\ ref {9.7} 的标量形式，即

$$\Delta p = J$$

和

$$\Delta p = m \Delta v$$

和

$$J = F \Delta t \ldotp$$

将这些表达式等同起来

$$F \Delta t = m \Delta v \ldotp$$

求解力的大小并插入给定值导致

$$F = \frac{m \Delta v}{\Delta t} = \frac{(2 \times 10^{9}\; kg)(7.35 \times 10^{7}\; m/s)}{60\; s} = 2.5 \times 10^{15}\; N \ldotp$$

意义

这是一支难以想象的巨大力量。 几乎不言而喻，这样的部队会立即杀死船上的所有人，并摧毁所有装备。 幸运的是，企业有 “惯性阻尼器”。 这只能作为一种练习，让读者发挥想象力，决定它们是如何工作的。

练习$\PageIndex{1}$

美国空军使用 “10gs”（加速度等于 10 x 9.8 m/s ²）作为人类可以承受（但只能持续几秒钟）和存活的最大加速度。 如果船上的人要经历最多 10 克的平均加速，企业必须花多少时间加速？ （假设惯性阻尼器处于脱机状态。）

示例$\PageIndex{2}$: The iPhone Drop

苹果于 2014 年 11 月发布了 iPhone 6 Plus。 根据许多报道，它原本应该使用蓝宝石制成的屏幕，但在最后一刻改为硬化玻璃屏幕。 据报道，这是因为手机掉落时蓝宝石屏幕破裂了。 iPhone 6 Plus 因被丢弃而经历了什么力量？

策略

手机所承受的力量是由于手机与地板碰撞时地板对它施加的冲动。 那么，我们的策略是使用冲动-动量关系。 我们计算冲量，估计冲击时间，然后用它来计算力。 我们需要做出一些合理的估计，并在手机本身上找到技术数据。 首先，假设中等身高的人的手机最常从胸高处掉落。 其次，假设它是从静止位置掉落的，也就是说，初始垂直速度为零。 最后，我们假设手机反弹的次数很少，假定手机反弹的高度可以忽略不计。

解决方案

将向上定义为 +y 方向。 典型高度约为 h = 1.5 m，如上所述，$\vec{v}_{i}$= (0 m/s)$\hat{i}$。 手机上的平均力与碰撞期间地板对手机施加的冲击有关：

$$\vec{F}_{ave} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} \ldotp$$

冲动$\vec{J}$等于动量的变化，

$$\vec{J} = \Delta \vec{p}$$

所以

$$\vec{F}_{ave} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \ldotp$$

接下来，动量的变化是

$$\Delta \vec{p} = m \Delta \vec{v} \ldotp$$

我们需要谨慎对待这里的速度；这是由于与地板碰撞而导致的速度变化。 但是手机也有初始跌落速度 [$\vec{v}_{i}$= (0 m/s)$\hat{j}$]，因此我们标记了速度。 让：

• $\vec{v}_{i}$= 手机掉落的初始速度（在本例中为零）
• $\vec{v}_{1}$= 手机在撞到地板前的那一刻的速度
• $\vec{v}_{2}$= 手机撞到地板后的最终速度

图中$\PageIndex{3}$显示了手机轨迹中每个点的速度。

图$\PageIndex{3}$：（a）手机的初始速度为零，就在人掉落手机之后。 (b) 就在手机撞到地板之前，它的速度是$\vec{v}_{1}$，目前尚不清楚，除了它的方向是向下 (−$\hat{j}$)。 (c) 从地板上弹起后，手机的速度$\vec{v}_{2}$也是未知的，除了它的方向是向上（+$\hat{j}$）。

根据这些定义，手机在与地板碰撞期间动量的变化是

$$m \Delta \vec{v} = m (\vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}) \ldotp$$

由于我们假设手机撞到地板时根本不会反弹（或者至少，弹跳高度可以忽略不计），所以$\vec{v}_{2}$为零，所以

$$m \Delta \vec{v} = m \big[0 - (-v_{1}\; \hat{j}) \big]$$

$$m \Delta \vec{v} = + mv_{1}\; \hat{j} \ldotp$$

我们可以利用运动学或节能方法在手机撞到地板之前获得手机的速度。 我们将在这里使用节能；你应该使用运动学重做这部分问题，并证明你得到的答案是相同的。

首先，定义位于楼层的势能为零。 然后，节能给我们带来了：

$$\begin{split} E_{i} & = E_{1} \\ K_{i} + U_{i} & = K_{1} + U_{1} \\ \frac{1}{2}mv_{i}^{2} + mgh_{drop} & = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} + mgh_{floor} \ldotp \end{split}$$

定义 h fl _oor = 0 并使用$\vec{v}_{i}$ = (0 m/s)$\hat{j}$ 可以得出

$$\begin{split} \frac{1}{2} mv_{1}^{2} & = mgh_{drop} \\ v_{1} & = \pm \sqrt{2gh_{drop}} \ldotp \end{split}$$

由于 v ₁ 是矢量幅度，因此它必须为正。 因此，m$\Delta$ v = mv ₁ = m$\sqrt{2gh_{drop}}$。 将这个结果插入到力表达式中会得到

$$\begin{split} \vec{F} & = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \\ & = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} \\ & = \frac{+mv_{1}\; \hat{j}}{\Delta t} \\ & = \frac{m \sqrt{2gh}}{\Delta t}\; \hat{j} \ldotp \end{split}$$

最后，我们需要估计碰撞时间。 估计碰撞时间的一种常用方法是计算物体行驶自身长度需要多长时间。 手机在撞到地板之前以 5.4 m/s 的速度移动，长 0.14 米，估计碰撞时间为 0.026 秒。插入给定的数字，我们得到

$$\vec{F} = \frac{(0.172\; kg) \sqrt{2(9.8\; m/s^{2})(1.5\; m)}}{0.026\; s}\; \hat{j} = (36\; N) \hat{j} \ldotp$$

意义

iPhone 本身的重量仅为（0.172 千克）（9.81 m/s ²）= 1.68 N；因此，地板对它施加的力是其重量的 20 倍以上。

练习$\PageIndex{2}$

如果我们假设手机在撞击时会反弹怎么办？ 这会增加 iPhone 上的力量、减少它还是没什么区别？

动量和力

在示例中$\PageIndex{1}$，我们获得了一个重要的关系：

$$\vec{F}_{ave} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \ldotp \label{9.8}$$

换句话说，施加到物体的平均力等于该力引起的动量变化除以这种动量变化的时间间隔。 这种关系在碰撞时间$\Delta$ t 很小但可以测量的情况下非常有用；典型值为 1/10 秒，甚至是千分之一秒。 车祸、踢足球或亚原子粒子碰撞都符合这个标准。

对于不断变化的势头（由于力量的不断变化），这已成为一种强大的概念工具。 在极限$\Delta$ t → dt 中，方程 9.3.1 变成

$$\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp \label{9.9}$$

也就是说，系统动量的变化率（意味着动量是时间的函数）完全等于净施加的力（一般来说也是时间的函数）。 实际上，这是牛顿的第二定律，是用动量而不是加速度写的。 这就是牛顿本人在他的《P rincipia Mathematica》中呈现的关系（尽管他称之为 “运动量” 而不是 “动量”）。

如果系统的质量保持不变，则方程 9.3.3 简化为更熟悉的牛顿第二定律形式。 我们可以用动量的定义代替来看待这一点：

$$\vec{F} = \frac{d(m \vec{v})}{dt} = m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{a} \ldotp$$

恒定质量的假设使我们能够从导数中拉出 m。 如果质量不是恒定的，我们就不能使用这种形式的第二定律，而是必须从方程9.3.3 开始。 因此，用动量变化来表示力的一个好处是，它允许系统的质量和速度发生变化；这是我们在研究火箭运动时将要探讨的概念。

从动量角度看牛顿第二运动定律

系统上的净外力等于该系统由该力引起的动量变化率：

$$\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp$$

尽管方程式9.3.3 允许改变质量，正如我们将在火箭推进中看到的那样，但是当系统的质量恒定时，动量和力之间的关系仍然有用，如下例所示。

示例$\PageIndex{3}$: Calculating Force: Venus Williams’ Tennis Serve

在2007年法国公开赛期间，维纳斯·威廉姆斯在顶级女子比赛中打出了有记录以来最快的发球记录，速度达到58 m/s（209 km/h）。 维纳斯·威廉姆斯的球拍对0.057公斤的网球施加的平均力是多少？ 假设球在撞击后的速度为 58 m/s，如图所示$\PageIndex{4}$，冲击前速度的初始水平分量可以忽略不计，并且球与球拍保持接触 5.0 ms。

图$\PageIndex{4}$：网球的最终速度为$\vec{v}_{f}$ = (58 m/s)$\hat{i}$。

策略

这个问题只涉及一个维度，因为球在撞击之前起初没有水平速度分量。 然后用动量表示的牛顿第二定律写成

$$\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp$$

如上所述，当质量恒定时，动量的变化由下式给出

$$\Delta p = m \Delta v = m(v_{f} - v_{i})$$

我们之所以使用标量，是因为这个问题只涉及一个维度。 在这个例子中，给出了碰撞后的速度和时间间隔；因此，一旦计算$\Delta$ p，我们就可以使用 F =$\frac{\Delta p}{\Delta t}$ 来找出力。

解决方案

要确定动量的变化，请将初始速度和最终速度的值插入上述方程中：

$$\begin{split} \Delta p & = m(v_{f} - v_{i}) \\ & = (0.057\; kg)(58\; m/s - 0\; m/s) \\ & = 3.3\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}$$

现在，净外力的大小可以通过使用以下方法来确定

$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{3.3\; kg\; \cdotp m/s}{5.0 \times 10^{-3}\; s} = 6.6 \times 10^{2}\; N \ldotp$$

在最后一步中，我们只保留了两个重要数字。

意义

这个数量是维纳斯·威廉姆斯的球拍在网球短暂撞击期间对网球施加的平均力（请注意，球也经历了0.57-N的重力，但这种力不是球拍造成的）。 这个问题也可以通过先找到加速度然后使用 F = ma 来解决，但与本示例中使用的策略相比，还需要多走一步。