9.3：冲击和碰撞（第 1 部分）
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- 从身体上解释冲动是什么
- 描述一下冲动的作用
- 将冲动与碰撞联系起来
- 应用脉冲动量定理来解决问题
我们将动量定义为质量和速度的乘积。 因此，如果物体的速度发生变化（由于对物体施加力），则其动量也必然会发生变化。 这表明动量和力之间存在联系。 本节的目的是探索和描述这种联系。
假设你在一段时间内对自由物体施加力。 显然，力越大，物体的动量变化就越大。 或者，施加这种力所花费的时间越长，动量的变化也就越大，如图所示\(\PageIndex{1}\)。 因此，物体运动变化的量与力的大小成正比，也与施加力的时间间隔成正比。
从数学上讲，如果一个量与两个（或更多）事物成正比，那么它与这些事物的乘积成正比。 力和时间间隔（该力作用的时间间隔）的乘积称为冲量，并被赋予符号\(\vec{J}\)。
假\(\vec{F}\)设 (t) 是在某个差异时间间隔内对物体施加的力\(dt\)（图\(\PageIndex{2}\)）。 在物体上产生的冲动定义为
\[d \vec{J} \equiv \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.2}\]
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d \vec{J}\]
要么
\[\vec{J} \equiv \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.3}\]
方程\ ref {9.2} 和\ ref {9.3} 共同表示，当对无穷小时间间隔 dt 施加力时，它会产生无穷小脉冲 d\(\vec{J}\)，而给予物体的总冲量被定义为所有这些无穷小脉冲的总和（积分）。
要使用方程\ ref {9.3} 计算冲量，我们需要知道力函数 F (t)，但我们通常不知道。但是，微积分的结果在这里很有用：回想一下，某个函数在某个间隔内的平均值是通过以下方式计算的
\[f(x)_{ave} = \frac{1}{\Delta x} \int_{x_{i}}^{x_{f}} f(x)dx\]
其中\(\Delta\) x = x f − x i。 将其应用于随时间变化的力函数，我们得到
\[\vec{F}_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt \ldotp \label{9.4}\]
因此，从方程式\ ref {9.3} 来看，
\[\vec{J} = \vec{F}_{ave} \Delta t \ldotp \label{9.5}\]
这里的想法是，即使你不知道力作为时间函数的细节，你也可以计算物体上的冲量；你只需要平均力。 但是，实际上，这个过程通常是相反的：你确定冲量（通过测量或计算），然后计算产生该冲量的平均力。
要计算冲量，将方程\ ref {9.3} 中的力写为\(\vec{F}\) (t) = m\(\vec{a}\) (t) 可以得出有用的结果：
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt = m \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{a} (t)dt = m \big[ \vec{v} (t_{f}) - \vec{v} (t_{i}) \big] \ldotp\]
对于恒定力\(\vec{F}_{ave}\) =\(\vec{F}\) = m\(\vec{a}\)，这简化为
\[\vec{J} = m \vec{a} \Delta t = m \vec{v}_{f} - m \vec{v}_{i} = m (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i}) \ldotp\]
也就是说，
\[\vec{J} = m \Delta \vec{v} \ldotp \label{9.6}\]
请注意，方程\ ref {9.3} 的积分形式也适用于恒定力；在这种情况下，由于力与时间无关，因此它来自积分，然后可以对其进行简单计算。
大约5万年前，一颗大型（半径为25米）的铁镍陨石在现在的美国亚利桑那州北部的沙漠中以估计1.28 x 10 4 m/s的速度与地球相撞。 撞击产生了一个至今仍然可见的火山口（图\(\PageIndex{3}\)）；火山口直径约为1200米（四分之三英里），深170米，边缘高出周围沙漠平原45米。 铁镍陨石的密度通常\(\rho\)为 = 7970 kg/m 3。 使用冲量考虑因素来估计流星在撞击期间对地球施加的平均力和最大力。
策略
从概念上讲，更容易扭转这个问题并计算地球为阻止流星而对流星施加的力。 因此，我们将计算流星上的力，然后使用牛顿第三定律来论证来自地球上流星的力大小相等，方向相反。
使用有关流星的给定数据，并对流星的形状和撞击时间进行合理的猜测，我们首先使用方程式\ ref {9.6} 计算冲量。 然后，我们使用力和冲量方程\ ref {9.5} 之间的关系来估计冲击过程中的平均力。 接下来，我们为冲击事件选择一个合理的力函数，计算该函数方程\ ref {9.4} 的平均值，并将结果表达式设置为等于计算出的平均力。 这使我们能够求解最大的力。
解决方案
将向上定义为 +y 方向。 为简单起见，假设流星在撞击前垂直向下移动。 在这种情况下，它的初始速度为\(\vec{v}_{i}\) = −v i\(\hat{j}\)，地球对流星施加的力指向上方，\(\vec{F}\)(t) = + F (t)\(\hat{j}\)。 t = 0 时的情况如下所示。
冲击期间的平均力与冲击有关
\[\vec{F}_{ave} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} \ldotp\]
来自方程\ ref {9.6}，\(\vec{J}\)= m\(\Delta \vec{v}\)，所以我们有
\[\vec{F}_{ave} = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} \ldotp\]
质量等于流星密度及其体积的乘积：
\[m = \rho V \ldotp\]
如果我们假设（猜猜）流星大致是球形的，我们有
\[V = \frac{4}{3} \pi R^{3} \ldotp\]
因此，我们获得了
\[\vec{F}_{ave} = \frac{\rho V \Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\rho \left(\dfrac{4}{3} \pi R^{3}\right) (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i})}{\Delta t} \ldotp\]
问题显示撞击速度为 −1.28 x 10 4 m/s\(\hat{j}\)（最终速度为零）；另外，我们猜测主要冲击持续了大约 t max = 2 s。用这些值代替得出
\[\begin{split} \vec{F}_{ave} & = \frac{(7970\; kg/m^{3}) \big[ \frac{4}{3} \pi (25\; m)^{3} \big] \big[ 0\; m/s - (-1.28 \times 10^{4}\; m/s\; \hat{j}) \big]}{2\; s} \\ & = + (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j} \end{split}\]
这是碰撞期间施加的平均力。 请注意，该力向量指向的方向与速度向量的变化的方向相同\(\Delta \vec{v}\)。
接下来，我们计算最大力。 脉冲与力函数的关系为
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{max}} \vec{F} (t)dt \ldotp\]
我们需要对作为时间函数的力量做出合理的选择。 我们将 t = 0 定义为流星首次接触地面的那一刻。 然后我们假设冲击时力为最大值，并迅速降至零。 能做到这一点的函数是
\[F(t) = F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} \ldotp\]
该参数\(\tau\)表示力减小到零的速度。） 平均力为
\[F_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{t_{max}} F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} dt\]
其中\(\Delta\) t = t max − 0 s。由于我们已经有了 F ave 的数值，我们可以使用积分的结果来获得 F max。 选择\(\tau\) =\(\frac{1}{e}\) t max（这是一个常见的选择，正如你将在后面的章节中看到的那样），然后猜测 t max = 2 s，这个积分的计算结果为
\[F_{avg} = 0.458\; F_{max} \ldotp\]
因此，最大力的幅度为
\[\begin{split} 0.458\; F_{max} & = 3.33 \times 10^{12}\; N \\ F_{max} & = 7.27 \times 10^{12}\; N \ldotp \end{split}\]
完整的力函数（包括方向）是
\[\vec{F} (t) = (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y} \ldotp\]
这是地球对流星施加的力；根据牛顿第三定律，流星对地球施加的力是
\[\vec{F} (t) = - (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y}\]
这是原始问题的答案。
意义
此函数的图表包含重要信息。 让我们一起绘制这个函数和平均力（的大小）（图\(\PageIndex{4}\)）。
请注意，每个地块下方的区域均已填满。 对于（恒定）力 F ave 的图，面积是一个矩形，对应于 F ave\(\Delta\) t = J。至于 F (t) 的图，从微积分中回想一下，在指定区间内，函数图下方的面积在数值上等于该函数的积分；所以这里是\(\int_{0}^{t_{max}}\) F (t) dt = J。因此，面积相等，两者都代表流星在两秒钟撞击期间对地球施加的冲动。 地球上的平均力听起来像是一支巨大的力量，事实确实如此。 尽管如此，地球几乎没有注意到它。 地球获得的加速度只是
\[\vec{a} = \frac{- \vec{F}_{ave}}{M_{Earth}} = \frac{- (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j}}{5.97 \times 10^{24}\; kg} = - (5.6 \times 10^{-13} m/s^{2}) \hat{j}\]
这是完全无法估量的。 也就是说，撞击产生了地震波，如今现代监测设备可以探测到这些地震波。
一辆以 27 m/s 的速度行驶的汽车与建筑物相撞。 与建筑物的碰撞导致汽车在大约 1 秒钟内停下来。 驾驶员体重 860 N，受可变张力安全带和安全气囊的组合保护（图\(\PageIndex{5}\)）。 （实际上，驾驶员与安全带和安全气囊相撞，而不是与建筑物相撞。） 安全气囊和安全带减慢了他的速度，因此他在大约 2.5 秒内停下来。
- 驾驶员在碰撞期间承受的平均力量是多少？
- 如果没有安全带和安全气囊，他（与方向盘）的碰撞时间大约为 0.20 秒。在这种情况下，他会承受什么力？
策略
我们得到的是驾驶员的体重、他的初始和最终速度以及碰撞时间；我们被要求计算力。 Impulse 似乎是解决这个问题的正确方法；我们可以将方程\ ref {9.5} 和方程\ ref {9.6} 结合起来。
解决方案
- 将 +x 方向定义为汽车最初移动的方向。 我们知道 $$\ vec {J} =\ vec {F}\ Delta t$and $$\ vec {J} = m\ Delta\ vec {v}\ ldotp$既然 J 等于这两个东西，它们必须彼此相等：$$\ vec {F}\ Delta\ vec {v}\ ldotp$$我们需要转换这个重量等于等效质量，以 SI 单位表示：$$\ frac {860\; N} {9.8\; m/s^ {2}} = 87.8\; kg\ ldotp$记住这一点\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_{f} − \vec{v}_{i}\)，注意最终速度为零，我们求解力：$$\ vec {F} = m\ frac {0-v_ {i}\;\ hat {i}} {\ Delta t} = (87.8\; kg)\ 左 (\ dfrac {-(27\; m/s)\ hat {i}} {2.5\; s}\ right) =-(948\; N)\ hat {i}\ ldotp$负号表示力量减慢了他的速度。 从角度来看，这大约是他自身体重的1.1倍。
- 计算方法相同，只是时间间隔不同：$$\ vec {F} = (87.8\; kg)\ 左 (\ dfrac {-(27\; m/s)\ hat {i}} {0.20\; s}\ 右) =-(11,853\; N)\ hat {i}\ ldotp$$大约是他自身体重的 14 倍。 差异很大！
意义
你可以看到，安全气囊的价值在于它可以大大减少对车辆乘员的压力。 因此，自1991年以来，美国的所有乘用车都需要使用它们，自1990年代中期以来，它们在整个欧洲和亚洲已司空见惯。 碰撞中动量的变化是相同的，无论有没有安全气囊；但是，力大不相同。