8.4: 节约能源

学习目标

• 制定机械能守恒原理，无论是否存在非保守力量
• 使用机械能守恒来计算简单系统的各种特性

在本节中，我们将详细阐述并扩展我们在系统的势能中得出的结果，我们在其中根据粒子动能和势能的变化重写了工作能定理。 这将引导我们讨论机械能守恒的重要原理。 当你继续研究物理学的其他主题时，在本书的后面章节中，你会看到这个守恒定律是如何被概括为涵盖其他类型的能量和能量转移的。 本章的最后一节提供了预览。

“守恒量” 和 “保护法” 这两个术语在物理学中有特定的科学含义，与使用这些词相关的日常含义不同。 （关于 “工作” 一词的科学和日常用法，同样的评论也是如此。） 在日常使用中，你可以通过不使用、减少用水或重复使用来节约用水。 水由两个氢原子和一个氧原子组成的分子组成。 将这些原子聚集在一起形成一个分子，然后产生水；分离这种分子中的原子然后摧毁水。 但是，在科学用法中，系统的守恒量保持不变，变化一定量，然后转移到其他系统，和/或转换为该量的其他形式。 从科学意义上讲，保守量是可以改变的，但不能严格地创造或摧毁。 因此，没有保护水资源的物理定律。

具有单个粒子或物体的系统

我们首先考虑一个具有单个粒子或物体的系统。 回到我们对方程8.2.2 的开发，回想一下，我们首先将作用于粒子的所有力分为保守和非保守类型，然后在工作能量定理中将每种力所做的工作写成一个单独的术语。 然后，我们用粒子势能的变化取代了保守力所做的工作，将其与粒子动能的变化相结合，得出方程式 8.2.2。 现在，我们在没有中间步的情况下写出这个方程，并将动能和势能的总和 K + U = E；定义为粒子的机械能。

节约能源

粒子的机械能 E 保持恒定，除非系统外的力或非保守力确实对它起作用，在这种情况下，机械能的变化等于非保守力所做的工作：

$$W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.12}$$

这句话表达了传统粒子的节能概念，只要没有非保守的著作。 回想一下，经典粒子只是一个点质量，是非相对论的，并且遵守牛顿的运动定律。 在相对论中，我们将看到能量守恒仍然适用于非经典粒子，但要做到这一点，我们必须对能量的定义稍作调整。

有时候，将非保守力所做的功为零的情况区分开来比较方便，要么是因为假定不存在这样的力，要么像法向力一样，当运动平行于表面时，它们起作用为零。 那么

$$0 = W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.13}$$

在这种情况下，机械能守恒可以用以下方式表示：如果所有可能作用于粒子的非保守力都不起作用，则粒子的机械能不会改变。 理解节能的概念很重要，而不是你用来表达节能的特定方程式。

问题解决策略：节约能源

1. 确定要研究的一个或多个身体（系统）。 通常，在应用机械能守恒原理时，我们会同时研究多个物体。
2. 识别作用于身体或身体的所有力量。
3. 确定每种起作用的力是否都是保守的。 如果非保守力（例如摩擦）起作用，那么机械能就不守恒了。 然后必须使用非保守的计算方法对系统进行分析，方程\ ref {8.13}。
4. 对于每一个确实起作用的力，选择一个参考点并确定该力的势能函数。 各种势能的参考点不必在同一个位置。
5. 应用机械能守恒原理，将每个感兴趣点的动能和势能之和设置为相等。

示例 8.7：简单摆锤

质量为 m 的粒子被一根长度为 1.0 m 的无质量串悬挂在天花板上，如图所示$\PageIndex{1}$。 当弦和向下垂直方向之间的角度为 30° 时，粒子将从静止状态中释放。 当它到达弧线的最低点时，它的速度是多少？

图$\PageIndex{1}$：悬挂在绳子上的粒子构成了一个简单的摆锤。 它在从静止状态中释放时会显示，以及分析动作时使用的一些距离。

策略

使用我们的问题解决策略，第一步是定义我们对粒子地球系统感兴趣。 其次，只有引力作用于粒子，这是保守的（步骤 3）。 我们在问题中忽略了空气阻力，垂直于运动弧线的弦张力也无法起任何作用。 因此，系统的机械能是守恒的，如方程\ ref {8.13}，0 =$\Delta$ (K + U) 所示。 因为粒子是从静止状态开始的，所以动能的增加只是最低点的动能。 动能的增加等于引力势能的减少，我们可以从几何学中计算出来。 在步骤 4 中，我们选择零引力势能的参考点，该参考点位于粒子达到的最低垂直点，即中间摆动。 最后，在步骤5中，我们将挥杆最高点（初始）的能量总和设置为挥杆的最低点（最终点），以最终求解最终速度。

解决方案

我们忽略了非保守力量，因此我们将节能公式写成将挥杆中最高点（初始）和最低点（最终）的粒子关联为

$$K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f} \ldotp$$

由于粒子从静止状态中释放出来，因此初始动能为零。 在最低点，我们将引力势能定义为零。 因此，我们的节能公式简化为

$$\begin{split} 0 + mgh & = \frac{1}{2} mv^{2} + 0 \\ v & = \sqrt{2gh} \ldotp \end{split}$$

问题中没有直接给出粒子的垂直高度。 这个问题可以通过使用三角函数和两个给定值来解决：钟摆的长度和粒子被垂直拉起的角度。 从图中可以看出，垂直虚线是摆弦的长度。 垂直高度标记为 h。垂直字符串的另一部分长度可以使用三角函数计算。 那件作品是通过以下方式解决的

$$\cos \theta = \frac{x}{L} = L \cos \theta \ldotp$$

因此，通过查看字符串的两部分，我们可以求解高度 h，

$$\begin{split} x + h & = L \\ L \cos \theta + h & = L \\ h & = L - L \cos \theta \\ & = L(1 - \cos \theta) \ldotp \end{split}$$

我们将这个高度替换为先前为速度求解的表达式来计算结果：

$$v = \sqrt{2gL(1 - \cos \theta)} = \sqrt{2(9.8\; m/s^{2})(1\; m)(1 - \cos 30^{o})} = 1.62\; m/s \ldotp$$

意义

我们直接从机械能守恒中找到了速度，无需求解摆锤运动的微分方程（参见振荡）。 我们可以用总能量的条形图来解决这个问题。 最初，粒子具有所有势能，处于最高点，没有动能。 当粒子穿过摆动底部的最低点时，能量从势能柱移动到动能柱。 因此，我们可以想象这种转移的进展，因为粒子在其最高点、摆动的最低点之间移动，然后返回最高点（图$\PageIndex{2}$）。 当粒子从摆动的最低点移动到图最右侧的最高点时，能量条从 (c) 到 (b) 再到 (a) 的顺序相反。

图$\PageIndex{2}$：条形图表示粒子在不同位置的总能量 (E)、势能 (U) 和动能 (K)。 (a) 系统的总能量等于势能，动能为零，它位于粒子到达的最高点。 (b) 粒子位于最高点和最低点之间，因此动能加上势能条形图等于总能量。 (c) 粒子位于摆动的最低点，因此动能条形图是最高的，等于系统的总能量。

练习 8.7

当其速度为0.81 m/s时，上方简单摆中的粒子在弧线底部上方有多高？

示例 8.8：坠落物体上的空气阻力

当直升机底部的面板松动并坠落到地面时，直升机正在 1 km 的高度盘旋（图$\PageIndex{3}$）。 面板的质量为 15 kg，它以 45 m/s 的速度撞击地面。面板下降时空气阻力消耗了多少机械能？

图$\PageIndex{3}$：直升机丢失了掉落的面板，直到它达到 45 m/s 的终极速度。在这个问题中，空气阻力在多大程度上导致了能量消耗？

策略

步骤1：这里只对一具尸体进行调查。

步骤2：重力作用在面板上，空气阻力如问题中所述。

第 3 步：引力是保守的；但是，非保守的空气阻力会对坠落板产生负面影响，因此我们可以使用方程\ ref {8.12} 表示的机械能守恒来计算消耗的能量。 这种能量就是工作的规模：

$$\Delta E_{diss} = |W_{nc,if}| = |\Delta (K + U)_{if}| \ldotp$$

步骤 4：在 yi = 1 km 时，初始动能为零。 为了方便起见，我们将地面的引力势能设置为零。

第 5 步：将非保守功率设置为等于解决空气阻力消耗的功率所需的能量。

解决方案

空气阻力消耗的机械能是动能增益和势能损失的代数总和。 因此，这种能量的计算是

$$\begin{split} \Delta E_{diss} & = |K_{f} - K_{i} 9 U_{f} - U_{i}| \\ & = \Big| \frac{1}{2} (15\; kg)(45\; m/s)^{2} - 0 + 0 - (15\; kg)(9.8\; m/s^{2})(1000\; m) \Big| \\ & = 130\; kJ \ldotp \end{split}$$

意义

面板（U _i）的大部分初始机械能（147 kJ）都因空气阻力而流失。 请注意，我们能够在不知道空气阻力是什么的情况下计算出消耗的能量，只是它具有消耗性。

练习 8.8

你可能还记得，忽略空中阻力，如果你直接向上投掷弹丸，达到其最大高度所花费的时间等于从最大高度掉落到起始高度所需的时间。 假设你不能忽视空气阻力，如示例 8.8 所示。 弹丸上升所花费的时间 (a) 大于、(b) 小于、或 (c) 等于回落所需的时间？ 解释一下。

在这些示例中，我们能够使用能量守恒来计算粒子在运动中特定点的速度。 但是，从节能开始，分析粒子运动的方法比这更强大。 对力学理论的更高级处理允许你计算给定势能下粒子运动的全时依赖性。 实际上，通常情况下，更好的粒子运动模型是由其动能和势能的形式提供的，而不是作用在粒子运动上的力的方程式。 （对于电子或原子等粒子的量子力学描述尤其如此。）

我们可以通过考虑处于一维运动中的粒子来说明这种基于能量的方法的一些最简单的特征，该粒子具有势能 U (x) 且不存在非保守的相互作用。 方程\ ref {8.12} 和速度的定义需要

$$K = \frac{1}{2} mv^{2} = E - U(x)$$

$$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}} \ldotp$$

将变量 x 和 t 分开并积分，从初始时间 t = 0 到任意时间，得到

$$t = \int_{0}^{t} dt = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}}} \ldotp \label{8.14}$$

如果你能在方程\ ref {8.14} 中求积分，那么你可以将 x 求解为 t 的函数。

示例 8.9：恒定加速度

在方程\ ref {8.14} 中使用势能 U (x) = −E$\left(\dfrac{x}{x_{0}}\right)$，表示 E > 0，求出粒子的位置 x 作为时间 t 的函数。

策略

由于我们知道势能如何作为 x 的函数而变化，因此我们可以代替方程\ ref {8.14} 中的 U (x)，积分，然后求解 x。这会得出 x 的表达式为时间函数，其常数为能量 E、质量 m 和初始位置 x ₀。

解决方案

继上述战略的前两个建议步骤之后,

$$t = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)(x_{0} - x)}} = \frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \Big| -2\sqrt{(x_{0} - x)} \Big|_{x_{0}}^{x} = \frac{-2\sqrt{(x_{0} - x)}}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \ldotp$$

求解这个位置，我们得到

$$x(t) = x_{0} - \frac{1}{2} \left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right) t^{2} \ldotp$$

意义

对于这个电位，以时间函数形式表示一维运动，其加速度恒定 a =$\left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right)$，从位置 x ₀ 开始。 这并不奇怪，因为这是恒定力 F = 和 a$− \frac{dU}{dx}$ =$\frac{E}{x_{0}}$ 的势能$\frac{F}{m}$。

练习 8.9

在方程\ ref {8.13} 中，你可以用什么势能 U (x) 代替，它会使质量为 1 kg、机械能 1 J 的粒子以 2 m/s 的恒定速度运动？

在我们探讨了可以从粒子势能的函数形式中得出一些进一步的含义之后，我们将看另一个物理上更合适的使用方程\ ref {8.13} 的例子。

包含多个粒子或物体的系统

系统通常由多个粒子或物体组成。 但是，机械能守恒是物理学的基本定律，适用于任何系统，采用方程\ ref {8.12} 或方程\ ref {8.13} 中的一种形式。 你只需要包括所有粒子的动能和势能，以及所有作用于粒子的非保守力量所做的工作。 在你进一步了解由许多粒子组成的系统的动力学之前，在《线性动量与碰撞》、《固定轴旋转》和《角动量》中，最好推迟到那时再讨论节能的应用。