8.3: 保守势力和非保守势力

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学习目标

用几种不同的方式描述保守势力
指定保守力及其分量必须满足的数学条件
将系统粒子之间的保守力与系统的势能关联起来
在各种情况下计算保守力的分量

在《势能与能量守恒》中，动能和势能之间的任何过渡都会节约系统的总能量。这与路径无关，这意味着我们可以在问题的任意两个点开始和停止，并且系统在这些点上的总能量（动能加电位）彼此相等。这是保守势力的特征。我们在上一节中讨论了保守力，例如引力和弹簧力。比较图 8.2.1 中足球的运动时，尽管足球的引力势能增加，但系统的总能量永远不会改变，因为球相对于地面上升并回落到足球时的初始引力势能玩家接球。 非保守力量是消耗力，例如摩擦力或空气阻力。随着系统的发展，这些力量会从系统中夺走能量，这是你无法回收的能量。这些力取决于路径；因此，物体的起点和停止位置很重要。

定义：保守力量

保守力量所做的工作与路径无关；换句话说，对于连接两点的任何路径，保守力量所做的工作都是相同的：

\[W_{AB,\; path-1} = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = W_{AB,\; path-2} = \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{8.8}\]

非保守势力所做的工作取决于所走的道路。同样，如果力围绕任何封闭路径所做的工作为零，则该力是保守的：

\[W_{closed\; path} = \oint \vec{E}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \label{8.9}\]

在方程\ ref {8.9} 中，我们使用积分符号中间的圆表示法表示封闭路径上的直线积分，这种表示法存在于大多数物理和工程文本中。] 方程\ ref {8.8} 和\ ref {8.9} 是等效的，因为任何封闭路径都是两条路径的总和：第一条从 A 到 B，第二条从 B 到 A。沿着从 B 到 A 的路径完成的工作是沿着从 A 到 B 的相同路径完成的工作的负数，其中 A 和 B 是任意两点封闭路径：

\[\begin{split} 0 = \int \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} + \int_{BA,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \\ & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} - \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \end{split}\]

你可能会问，我们如何证明力是否是保守的，因为定义涉及从 A 到 B 的任意和所有路径，或者任何和所有封闭路径，但是要对工作进行积分，你必须选择一条特定的路径。一个答案是，当我们在工作能量定理中得出工作能量定理时，如果无穷小功$\vec{F} \cdotp d \vec{r}$是精确的微分，则所做的工作与路径无关，$dW_{net} = m\vec{v}\; \cdotp d\vec{v}= d \frac{1}{2}mv^{2}$就像无穷小网络工作等于动能的精确微分一样。您可以使用数学条件来测试力所做的无穷小功效是否为精确的微分，以及力是否为保守力。这些条件仅涉及差异化，因此相对容易适用。在二维中，$\vec{F} \cdotp d \vec{r}$= F _{x dx} + F _{y dy} 成为精确差分的条件为

\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{dF_{y}}{dx} \ldotp \label{8.10}\]

你可能还记得，示例 7.2.4 中部队所做的工作取决于路径。为了那支部队

\[F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x \ldotp\]

因此，

\[\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = 5\; N/m \neq \left(\dfrac{dF_{y}}{dx}\right) = 10\; N/m,\]

这表明它是一支非保守势力。你能看出可以改变什么来使其成为一支保守力量吗？

正在使用的砂轮的照片。 — 图$\PageIndex{1}$：砂轮施加非保守力，因为完成的工作取决于砂轮旋转的次数，因此它取决于路径。

示例$\PageIndex{1}$: Conservative or Not?

以下哪种二维力是保守的，哪些不是？假设 a 和 b 是具有适当单位的常量：

$axy^{3} \hat{i} + ayx^{3} \hat{j},$
$a \left[ \left(\dfrac{y^{2}}{x}\right) \hat{i} + 2y \ln \left(\dfrac{x}{b}\right) \hat{j} \right],$
$\frac{ax \hat{i} + ay \hat{j}}{x^{2} + y^{2}}$

策略

应用方程\ ref {8.10} 中所述的条件，即使用所示每种力的分量的导数。如果力的 y 分量相对于 x 的导数等于力的 x 分量相对于 y 的导数，则该力是一种保守力，这意味着计算势能或功率所采用的路径始终会产生相同的结果。

解决方案

\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d(axy^{3})}{dy} = 3axy^{2} \nonumber\]

和

\[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(ayx^{3})}{dx} = 3ayx^{2}, \nonumber\]

所以这支力量是不保守的。

\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ay^{2}}{x}\right)}{dy} = \frac{2ay}{x} \nonumber\]

和

\[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(2ay \ln \left(\dfrac{x}{b}\right))}{dx} = \frac{2ay}{x}, \nonumber\]

所以这支力量很保守。

\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ax}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dy} = - \frac{ax(2y)}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{ay}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dx },\]

又是保守派。

意义

方程\ ref {8.10} 中的条件是作为单变量函数的导数；在三维中，存在涉及更多导数的相似条件。

练习$\PageIndex{1}$

二维保守力在 x 和 y 轴上为零，满足条件$\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = \left(\dfrac{dF_{y}}{dy}\right)$ = (4 N/m ³) xy。该点的力的大小是$x = y = 1\, m$多少？

在离开本节之前，我们注意到非保守势力没有与之相关的潜在能量，因为能量会流失给系统，以后无法转化为有用的功效。因此，每种潜在能量总会有一种保守的力量。我们已经看到，潜在能量是根据保守势力所做的工作来定义的。这种关系，即方程 8.2.1，涉及功的积分；从力和位移开始，你进行整合以得到功率和势能的变化。但是，积分是微分的反向运算；你同样可以从势能开始，然后取其相对于位移的导数来获得力。势能的无穷小增量是力和无穷小位移的点积，

\[dU = - \vec{F}\; \cdotp d \vec{l} = - F_{l}dl \ldotp\]

在这里，我们选择用 d 表示任意方向上的位移$\vec{l}$，这样就不局限于任何特定的坐标方向。我们还用无穷小位移的大小和在其方向上的力分量来表示点积。这两个数量都是标量，所以你可以除以 dl 得到

\[F_{l} = - \frac{dU}{dl} \ldotp \label{8.11}\]

这个方程给出了力和与之相关的势能之间的关系。换句话说，保守力在特定方向上的分量等于相应势能导数的负值，相对于该方向的位移。对于一维运动，比如沿 x 轴，方程\ ref {8.11} 给出整个向量力，

\[\bar{F} = F_{x} \hat{i} = - \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} \ldotp\]

在二维空间中，

\[ \begin{align} \bar{F} &= F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} \\[4pt] &= - \left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\right) \hat{i} - \left(\dfrac{\partial U}{\partial y}\right) \hat{j} \ldotp \end{align}\]

从这个方程中，你可以明白为什么方程\ ref {8.11} 是功率成为精确微分的条件，就力分量的导数而言。通常，使用偏导数表示法。如果一个函数中有许多变量，则只取偏导数指定的变量的导数。其他变量保持不变。在三维中，为 z 分量添加另一个项，结果是力是势能梯度的负值。但是，我们暂时不会看三维示例。

示例$\PageIndex{2}$: Force due to a Quartic Potential Energy

沿 x 轴进行一维运动的粒子的势能为

\[U(x) = \frac{1}{4} cx^{4}, \nonumber\]

其中 c = 8 N/m ³. 它在 x = 0 时的总能量为 2 J，它不受任何非保守力量的影响。找出（a）其动能为零的位置和（b）这些位置的力。

策略

我们可以找到 K = 0 的位置，因此势能等于给定系统的总能量。
使用方程\ ref {8.11}，我们可以找到在上一部分中找到的位置上计算的力，因为机械能是守恒的。

解决方案

2 J 系统的总能量等于问题 $2\; J =\ frac {1} {4} (8\; n/m^ {3}) x_ {f} ^ {4}\ ldotp$求解 x _f 得出 x _f = ±1 m。
来自方程\ ref {8.11}，$$F_ {x} =-\ frac {du} {dx} =-cx^ {3}\ ldotp$$ 因此，在计算力为 ±1 m 时，我们得到 $$\ vec {F} =-(8\; n/m^ {3}) (\ pm 1\; m) ^ {3}\ hat {i} =\ pm 8; N\ hat {i}\ ldotp$$在两个位置，力的大小为 8 N，方向朝向原点，因为这是恢复力量的潜在能量。

意义

从数学上讲，从势能中找到力比从力中找到势能容易，因为区分函数通常比积分一个函数容易。

练习$\PageIndex{2}$

在示例中找出$\PageIndex{2}$当粒子动能为 1.0 J 时粒子上的力$x = 0$。

学习目标

定义：保守力量

示例\(\PageIndex{1}\): Conservative or Not?

解决方案

练习\(\PageIndex{1}\)

示例\(\PageIndex{2}\): Force due to a Quartic Potential Energy

解决方案

练习\(\PageIndex{2}\)