8.5：势能图和稳定性

Last updated
Save as PDF

Page ID: 204965

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

学习目标

创建和解释势能图
解释稳定性与势能之间的联系

通常，只要将机械系统的势能图解释为位置函数（称为势能图），就可以获得有关机械系统动力学行为的大量有用信息。这对于一维系统来说最容易实现，其势能可以在一张纸或计算机程序上用一张二维图表绘制出来，例如 U (x) 与 x。对于运动在多个维度上的系统，需要在三维空间中研究运动。我们将仅简化一维运动的程序。

首先，让我们看一个物体，它在没有空气阻力的情况下垂直自由落下，靠近地球表面。物体的机械能是守恒的，E = K + U，相对于地面零的势能为 U (y) = mgy，这是一条穿过原点的直线，斜率为 mg。在图中所示的图表中$\PageIndex{1}$，x 轴是离地面的高度 y，y 轴是物体的能量。

以焦耳为单位的能量绘制为地面高度的函数（以米为单位）。势能 U 的图形是一条穿过原点的红色直线，其中 y 小于零等于零。直线的方程为 U of y 等于 m g y。等于 K 加 U 的总能量 E 的图形是一个常数，显示为黑色水平线。 E 和 U 图交叉处的地面高度为 y sub max。红色 U 线和水平轴之间的能量是 U sub A。y 线的红色 U 和黑色 E 线之间的能量为 K sub A。 — 图$\PageIndex{1}$：处于垂直自由落体状态的物体的势能图，其中显示了不同的量。

能量 E 处的线表示物体的恒定机械能，而动能和势能 K _A 和 U _A 表示在特定高度 y _{A 处}。你可以看到随着物体高度的变化，总能量如何在动能和势能之间分配。由于动能永远不能为负，因此存在最大势能和最大高度，具有给定总能量的物体不能超过的最大势能和最大高度：

\[K = E - U \geq 0,\]

\[U \leq E \ldotp\]

如果我们在 y ₀ 处使用零的引力势能参考点，我们可以将引力势能 U 重写为 mgy。求解 y 结果为

\[y \leq \frac{E}{mg} = y_{max} \ldotp\]

我们在这个表达式中注意到，总能量除以重量 (mg) 位于粒子的最大高度或 y _max 处。在最大高度下，动能和速度为零，因此，如果物体最初向上移动，则其速度将在那里超过零，而 y _max 将是运动的转折点。在地面上，y ₀ = 0，势能为零，动能和速度为最大：

\[U_{0} = 0 = E - K_{0},\]

\[E = K_{0} = \frac{1}{2} mv_{0}^{2},\]

\[v_{0} = \pm \sqrt{\frac{2E}{m}} \ldotp\]

最大速度 ±v ₀ 给出达到 y _max 所需的初始速度、最大高度，−v ₀ 表示从 y _max 下降后的最终速度。您可以从我们显示的势能图中阅读所有这些信息以及更多信息。

考虑在无摩擦、静止的水平表面上安装质量弹簧系统，这样重力和法向接触力就不起作用，可以忽略不计（图$\PageIndex{2}$）。这就像一个一维系统，其机械能 E 是一个常数，其势能，相对于弹簧未拉伸长度零位移时的零能量 x = 0，为 U (x) =$\frac{1}{2}$ kx ²。

图 a 是水平空中轨道上弹簧之间的滑翔机的示意图。图 b 是一张以焦耳为单位的能量图，该能量是未拉伸长度的位移的函数（以米为单位）。 x 的势能 U 被绘制为红色向上开口的抛物线。 x 的函数 U 等于 k x 平方的一半。平衡点位于抛物线的最小值，其中 x 小于零等于零。等于 K 加 U 且不变的总能量 E 绘制成一条水平黑线。总E线与潜在的U曲线相交的点被标记为转折点。一个转折点位于负 x sub max，另一个转折点位于加 x sub max 处。 — 图$\PageIndex{2}$：(a) 空中轨道上弹簧之间的滑翔机就是水平质量弹簧系统的一个例子。 (b) 该系统的潜在能量图，标明了不同的数量。

在这种情况下，你可以从势能图中读取相同类型的信息，就像垂直自由落体中的身体一样，但是由于弹簧势能描述的是可变力，你可以从这张图中学到更多。至于处于垂直自由落体状态的物体，你可以从动能极限中推断出物理允许的运动范围以及距离和速度的最大值 0 ≤ K ≤ E。因此，K = 0 和 U = E 在转折点，其中有两个表示弹性弹簧电位能源，

\[x_{max} = \pm \sqrt{\frac{2E}{k}} \ldotp\]

滑翔机的运动仅限于转弯点之间的区域，−x _ma x ≤ x _ma x。对于 E 的任何（正）值都是如此，因为势能相对于 x 是无限的。因此，以及势能曲线的形状，U (x) 被称为无限势井。在潜在井的底部，x = 0，U = 0，动能是最大值，K = E，所以 v _max = ±$\sqrt{\frac{2E}{m}}$。

但是，根据这条势能曲线的斜率，你也可以推断出有关滑翔机上的力及其加速度的信息。我们之前看到，势能斜率的负值是弹簧力，在这种情况下，弹簧力也是净力，因此与加速度成正比。当 x = 0 时，斜率、力和加速度均为零，因此这是一个平衡点。平衡点两侧的斜率负值会产生指向平衡点的力，F = ±kx，因此平衡被称为稳定，该力称为恢复力。这意味着 U (x) 在那里有一个相对最小值。如果平衡点两侧的力的方向与位置变化方向相反，则该平衡被称为不稳定，这意味着U (x) 在那里具有相对最大值。

示例 8.10：四次和二次势能图

沿 x 轴进行一维运动的粒子的势能为 U (x) = 2 (x ⁴ − x ²)，其中 U 以焦耳为单位，x 以米为单位。粒子不受任何非保守力的影响，其机械能在 E = −0.25 J 处是恒定的。(a) 粒子的运动是否局限于 x 轴上的任何区域，如果是，它们是什么？ (b) 是否有任何平衡点，如果有，它们在哪里，它们是稳定还是不稳定？

策略

首先，我们需要将势能绘制为 x 的函数。函数在原点为零，随着 x 在正或负方向上增加时变为负值（x < 1，x ² 大于 x ⁴），然后在足够大时变为正 |x|。你的图应该看起来像一个双势井，零是通过求解方程 U (x) = 0 来确定的，极值是通过检查 U (x) 的一阶和二阶导数来确定的，如图所示$\PageIndex{3}$。

一维、四次和二次势能的势能图 U（以焦耳为单位）与 x 的函数（以米为单位），以不同的量显示。水平比例从 —1.2 到 1.2，间隔为 0.5 m，每隔 0.1 m 标注网格线。垂直比例从 —0.55 到 +0.55 不等，以 0.1 J 为间隔标记，网格线每 0.05 J。函数 U of x 等于数量 x 到第四次减去 x 平方的 2 倍。此函数在正负无限 x 处变为无穷大，x 处为零，x 处的最小值为 —0.5 J，大致等于 —0.7 m 和 +0.7 m。正 x 处的最小值标记为点 Q，负 x 处的最小值标记为点减 Q 处的最小值被标记为点减去 Q。轴，位于两个位置，分别在 x=-1 和 x=+1 处。总能量 E 等于 —0.25 J，在该值处显示为一条水平线。它在四个位置与 U of x 图相交，从左至右描述。最左边的点位于 —0.95 和 —0.9 之间的 x 值，标记为点减去 R。U=-0.25 处于 —0.4 和 —0.35 之间的 x 值的下一个位置，标记为点减去 P。U=-0.25 的下一个位置处于 0.35 和 0.4 之间的 x 值处，被标记为点 P。最右边的位置，U=-0.25 处于 0.9 和 0.95 之间的 x 值，被标记为点 R — 图$\PageIndex{3}$：一维、四次和二次势能的势能图，其中显示了不同的量。

你可以从动能不能为负的条件下找到 (a) 在 x 轴上允许的区域的值，对于给定的机械能值；(b) 平衡点及其稳定性来自力的特性（相对最小值是稳定的，对于 a 来说是不稳定的势能的相对最大值）。您只需注视图表即可获得本示例中问题的定性答案。毕竟，这就是势能图的价值。

你可以看到有两个允许运动的区域（E > U）和三个平衡点（斜率$\frac{dU}{dx}$ = 0），其中中心一个不稳定$\left( \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} < 0 \right)$，另外两个是稳定的$\left(\dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} > 0 \right)$。

解决方案

为了找出 x 的允许区域，我们使用条件 $$K = E-U =-\ frac {1} {4}-2 (x^ {4}-x^ {2})\ geq 0\ ldotp$如果我们在 x 2 中完成正方形，这个条件可以简化为$2 \left(x^{2} − \dfrac{1}{2} \right)^{2} \leq \frac{1}{4}$，我们可以求解得到 $$\ frac {1} {\ frac {\ frac {1} {8}}\ leq x^ {2}\ leq\ frac {1} {2} +\ sqrt {\ frac {1} {8}}\ ldotp$$这代表两个允许的区域，x _p ≤ x ≤ x _R 和 −x _R ≤ x ≤ x _p，其中 x _p = 0.38，x _R = 0.92（以米为单位）。
为了找到平衡点，我们求解方程 $$\ frac {du} {dx} = 8x^ {3}-4x = 0$$然后找到 x = 0 和 x = ±x _Q，其中 x _Q$\frac{1}{\sqrt{2}}$ = 0.707（米）。二阶导数 $$\ frac {d^ {2} U} {dx^ {2}} = 24x^ {2}-4$$在 x = 0 时为负，因此该位置是相对最大值，那里的均衡不稳定。二阶导数在 x = ±x _Q 处为正，因此这些位置是相对最小值，代表稳定的均衡。

意义

本例中的粒子可以在允许的区域内围绕我们发现的两个稳定平衡点中的任何一个振荡，但它没有足够的能量逃离最初碰巧所在的任何一个潜在井。机械能的守恒以及动能和速度以及势能和力之间的关系，使你能够从其势能图中推断出有关粒子运动定性行为的许多信息以及一些定量信息。

练习 8.10

当粒子的机械能为 +0.25 J 时，重复示例 8.10

在本节结束之前，让我们练习一下应用基于粒子势能的方法来找到其作为时间函数的位置，用于本节前面讨论的一维质量弹簧系统。

示例 8.11：正弦波振荡

当粒子在时间 t = 0 时从静止状态开始时，找出 x (t) 表示粒子以恒定机械能 E > 0 和势能 U ($\frac{1}{2}$x) = kx ² 移动。

策略

我们遵循与示例 8.9 中相同的步骤。将势能 U 替换为方程 8.4.9 并分出常数，如 m 或 k。对函数进行积分并求解结果中的位置表达式，现在是时间的函数。

解决方案

替换方程 8.4.9 中的势能，然后使用网络搜索中的积分求解器进行积分：

\ [t =\ int_ {x_ {0}} ^ {x}\ frac {dx} {\ sqrt {\ 左 (\ dfrac {k} {m}\ 右)\ 大 [\ dfrac {2E} {k}\ 右)-x^ {2}\ Big}} =\ sqrt {\ frac {m}}\ Bigg [\ sin^ {-1}\ 左 (\ dfrac {x} {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}}\ 右)-\ sin^ {-1}\ 左 (\ frac {x_ {0}} {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}\ 右)\ Bigg]\ ldotp$来自 t = 0 的初始条件，这个初始动能为零，初始势能为$\frac{1}{2}$ kx ₀ ² = E，从中你可以看出$\frac{x_{0}}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)}}$ = ±1，sin ⁻¹ (±) = ±90°。现在你可以求解 x 了：

\[x(t) = \sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)} \sin \Big[\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\right)t \pm 90^{o} \Big] = \pm \sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)} \cos \Big[ \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\right)t \Big] \ldotp\]

意义

前几段，我们将这种质量弹簧系统称为谐波振荡器的示例。在这里，我们预计谐波振荡器会执行正弦振荡，最大位移为$\sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)}$（称为振幅），振荡速率为$\left(\dfrac{1}{2 \pi}\right) \sqrt{\frac{k}{m}}$（称为频率）。关于振荡的更多讨论可以在振荡中找到。

练习 8.11

如果粒子从 x 0 = 0 开始，t = ₀，则在示例 8.11 中找到质量弹簧系统的 x (t)。粒子的初始速度是多少？