5.7: 普通部队
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- 定义法向力和张力
- 区分真实力量和虚构力量
- 应用牛顿运动定律来解决涉及各种力的问题
力有许多名称，例如推力、拉力、推力和重量。 传统上，部队被分为几类，并根据其来源、传播方式或影响命名。 本节将讨论其中的几个类别以及一些有趣的应用程序。 本文后面将讨论更多的力量示例。
力目录：法向、张力和其他力示例
在我们解决涉及力和运动的各种问题时，力目录将可供参考。 这些力包括法向力、张力、摩擦力和弹簧力。
普通力
重量（也称为重力）是一种无处不在的力，它随时起作用，必须加以抵消以防止物体掉落。 当你保持重物静止时，你必须通过向上推来支撑重物的重量，如图\(\PageIndex{1}\) (a) 所示。 但是，像桌子这样的无生命物体如何支撑放在其上的质量的重量，如图\(\PageIndex{1}\) (b) 所示？ 当将一袋狗粮放在桌子上时，桌子在负荷下会稍微下垂。 如果将负荷放在牌桌上，这会很明显，但是即使是坚固的橡木桌子在施加力时也会变形。 除非物体变形超过其极限，否则它会像变形的弹簧（或蹦床或跳水板）一样施加恢复力。 变形越大，恢复力越大。 因此，当负载放在工作台上时，工作台会下垂，直到恢复力变得与负载的重量一样大。 此时，负载上的净外力为零。 当负载静止在桌子上时，就是这种情况。 桌子下垂得很快，下垂很小，所以我们没有注意到。 但它类似于你爬上蹦床时下垂的情况。
我们必须得出结论，正如我们在前面几个例子中所假设的那样，无论它是否为动画，都必须提供等于载荷重量的向上力。 如果支撑物体重量的力或载荷垂直于载荷与其支撑之间的接触表面，则该力被定义为法向力，此处由符号给出\(\vec{N}\)。 （这不是力的牛顿单位或 N） “正常” 一词表示垂直于表面。 这意味着停留在水平表面的物体所承受的法向力可以用矢量形式表示，如下所示：
\[\vec{N} = -m \vec{g} \ldotp \tag{5.11}\nonumber \]
在标量形式中，这变成
\[N = mg \ldotp \tag{5.12}\nonumber \]
如果物体处于斜坡状态，则法向力可以小于物体的重量。
以图中斜坡上的滑雪者为例\(\PageIndex{2}\)。 她的重量（包括装备）为 60.0 kg。 (a) 如果摩擦力可以忽略不计，她的加速度是多少？ (b) 如果摩擦力为 45.0 N，她的加速度是多少？
策略
这是一个二维问题，因为并非滑雪者身上的所有力（感兴趣系统）都是平行的。 我们在二维运动学中使用的方法在这里也行得通。 选择一个方便的坐标系并将向量投影到其轴上，从而创建两个需要解决的一维问题。 在斜坡上运动的最方便的坐标系是一个坐标平行于斜率的坐标系，一个坐标垂直于斜率的坐标系。 （沿相互垂直的轴的运动是独立的。） 我们分别使用 x 和 y 表示平行和垂直方向。 这种轴的选择简化了此类问题，因为没有垂直于斜率的运动，并且加速度是下坡的。 关于力，摩擦力是与运动对立的（摩擦力总是与向前运动相反），并且始终平行于斜坡，w x 平行于斜坡和下坡绘制（它导致滑雪者沿着斜坡向下移动），w y 被绘制为重量的组成部分垂直于斜率。 然后，我们可以考虑平行于斜率的力和垂直于斜率的力这两个单独的问题。
解决方案
平行于斜率的重量分量的大小为
\[w_{x} = w \sin 25^{o} = mg \sin 25^{o},\nonumber \]
垂直于斜率的权重分量的大小为
\[w_{y} = w \cos 25^{o} = mg \cos 25^{o} \ldotp\nonumber \]
- 忽略摩擦。 由于加速度与斜率平行，因此我们只需要考虑平行于斜率的力。 （垂直于斜率的力相加为零，因为在该方向上没有加速度。） 平行于斜率的力是滑雪者平行于斜率 w x 和摩擦力 f 的重量的分量。使用牛顿第二定律，下标表示平行于斜率的量，$$a_ {x} =\ frac {F_ {net\; x}} {m} $where F net x = w x-mg sin25°，假设该零件没有摩擦。 因此，$$a_ {x} =\ frac {F_ {net\; x}} {m} =\ frac {mg\ sin 25^ {o}} {m} = g\ sin 25^ {o} $$ (9.80\; m/s^ {2}) (0.4226) = 4.14\; m/s^ {2} $$是加速度。
- 包括摩擦力。 我们有一个给定的摩擦值，我们知道它的方向平行于斜率，它与接触的表面之间的运动相反。 所以净外力是 $$F_ {net\; x} = w_ {x}-f\ ldotp$$用它代替牛顿第二定律\(a_x = \frac{F_{net\; x}}{m}\)，得出 $$a_ {x} =\ frac {net\; x}} {m} =\ frac {mg\ sin 25^ {o}-f} {m}\ ldotp$$ 我们用已知值来获得 $$a_ {x} =\ frac {(60.0\; kg) (9.80\; m/s^ {2}) (0.4226)-45。0\; N} {60.0\; kg}\ ldotp$$这给了我们 $$a_ {x} = 3.39\; m/s^ {2}，$$ 这是当有 45.0 N 的对向摩擦力时平行于斜坡的加速度。
意义
由于摩擦力总是与表面之间的运动相反，因此存在摩擦时的加速度要小于没有摩擦时的加速度。 一般的结果是，如果斜坡上的摩擦力可以忽略不计，那么无论质量如何\(\theta\)，斜坡向下加速度都是 a = g sin。 如前所述，在没有空气阻力的情况下，所有物体都以相同的加速度坠落。 同样，所有物体，无论质量如何，都以相同的加速度（如果角度相同）沿着无摩擦的斜坡向下滑动。
当物体停留在\(\theta\)与水平方向成一定角度的斜坡上时，作用在物体上的重力分为两个部分：垂直于平面的作用力 wy 和平行作用的力 wx（图\(\PageIndex{3}\)）。 法向力的大小\(\vec{N}\)通常与权重 w y 的垂直分量相等，方向相反。 平行于平面的力 w x 使物体向下加速。
将物体的重量分解为组件时要小心。 如果倾角与水平线成一定角度 β，则重量分量的大小为
\[w_{x} = w \sin \theta = mg \sin \theta\nonumber \]
和
\[w_{y} = w \cos \theta = mg \cos \theta\nonumber \]
我们使用第二个方程来写出停留在倾斜平面上的物体所承受的法向力：
\[N = mg \cos \theta \ldotp \tag{5.13}\nonumber \]
与其记住这些方程式，不如能够从理性中确定它们。 为此，我们画出由三个权重向量形成的直角。 倾斜角度\(\theta\)与 w 和 w y 之间形成的角度相同。 知道这个属性后，我们可以使用三角函数来确定重量分量的大小：
\[\cos \theta = \frac{w_{y}}{w},\quad w_{y} = w \cos \theta = mg \cos \theta\nonumber \]
\[\sin \theta = \frac{w_{x}}{w},\quad w_{x} = w \sin\theta = mg \sin \theta\nonumber \]
一支 1150 N 的力量与坡道平行作用，将 250 千克的枪支保险箱推入行驶中的货车。 坡道无摩擦，倾斜度为 17°。 (a) 保险箱上坡道的加速度是多少？ (b) 如果我们在这个问题中考虑摩擦力，摩擦力为 120 N，保险箱的加速度是多少？
紧张
张力是沿着介质长度产生的力；特别是，它是沿着拉伸的柔性连接器（例如绳索或电缆）起作用的拉力。 “张力” 一词来自拉丁语，意思是 “伸展”。 并非巧合的是，将肌肉力量传递到身体其他部位的柔性绳索被称为肌腱。 任何柔性连接器，例如绳、绳、链、电线或电缆，都只能施加与其长度平行的拉力；因此，柔性连接器承载的力是一种方向平行于连接器的张力。 张力是连接器的拉动。 考虑一下这句话：“你不能推绳子。” 相反，张力沿着绳索的两端向外拉动。 假设一个人在绳子上拿着肿块，如图所示\(\PageIndex{4}\)。 如果图中的 5.00-kg 质量是静止的，则其加速度为零，净力为零。 作用于物料的唯一外力是其重量和绳索提供的张力。 因此，
\[F_{net} = T - w = 0,\nonumber \]
其中 T 和 w 分别是张力和重量的大小，它们的符号表示方向，向上表示正值。 正如我们使用牛顿第二定律所证明的那样，张力等于支撑质量的重量：
\[T = w = mg \ldotp \tag{5.14}\nonumber \]
因此，对于5.00千克的质量（忽略绳索的质量），我们可以看出
\[T = mg = (5.00\; kg)(9.80\; m/s^{2}) = 49.0\; N \ldotp\nonumber \]
如果我们剪掉绳子并插入弹簧，弹簧将延伸一段相当于 49.0 N 力的长度，从而可以直接观察和测量绳索中的张力。
柔性连接器通常用于在拐角处传递力，例如在医院牵引系统、肌腱或自行车制动电缆中。 如果没有摩擦，则张力传递不会减弱；只有其方向发生变化，并且它始终平行于柔性连接器，如图所示\(\PageIndex{5}\)。
计算支撑 70.0 千克走钢丝的电线的张力，如图所示\(\PageIndex{6}\)。
策略
如图所示\(\PageIndex{6}\)，电线是在人的重量下弯曲的。 因此，人两侧的张力都有向上的成分，可以支撑他的体重。 像往常一样，力是由箭头以图形方式表示的向量，箭头的方向与力的方向相同，长度与其大小成正比。 系统是走钢丝，作用在他身上的唯一外力是他的体重\(\vec{w}\)以及两种张力\(\vec{T}_{L}\)（左张力）和\(\vec{T}_{R}\)（右张力）。 忽略电线的重量是合理的。 净外力为零，因为系统是静态的。 我们可以使用三角学来找出张力。 一开始就可能得出一个结论——我们可以从图\(\PageIndex{6}\) (b) 中看出，张力 T L 和 T R 的幅度必须相等。 我们之所以知道这一点，是因为绳索中没有水平加速度，向左和向右作用的唯一力是 T L 和 T R。 因此，力中这些水平分量的大小必须相等，这样它们才能相互抵消。
每当我们遇到没有两个向量平行的二维向量问题时，最简单的解决方法就是选择一个方便的坐标系并将向量投影到其轴上。 在这种情况下，最佳坐标系有一个水平轴 (x) 和一个垂直轴 (y)。
解决方案
首先，我们需要将张力向量解析为它们的水平和垂直分量。 查看一张新的自由体图会有所帮助，该图显示了作用于系统的每种力的所有水平和垂直分量（图\(\PageIndex{7}\)）。
以力的水平分量为例（用下标 x 表示）：
\[F_{net x} = T_{Rx} − T_{Lx} \ldotp\nonumber \]
净外部水平力 F net x = 0，因为人是静止的。 因此，
\[F_{net x} = 0 = T_{Rx} − T_{Lx} \ldotp\nonumber \]
\[T_{Lx} = T_{Rx} \ldotp\nonumber \]
现在观察图\(\PageIndex{7}\)。 您可以使用三角函数来确定 T L 和 T R 的大小：
\[\cos 5.0^{o} = \frac{T_{Lx}}{T_{L}}, \quad T_{Lx} = T_{L} \cos 5.0^{o}\nonumber \]
\[\cos 5.0^{o} = \frac{T_{Rx}}{T_{R}}, \quad T_{Rx} = T_{R} \cos 5.0^{o} \ldotp\nonumber \]
等同于 T Lx 和 T Rx：
\[T_{L} \cos 5.0^{o} = T_{R} \cos 5.0^{o} \ldotp\nonumber \]
因此，
\[T_{L} = T_{R} = T,\nonumber \]
如预料的那样。 现在，考虑到垂直分量（由下标 y 表示），我们可以求解 T。同样，由于人是静止的，牛顿第二定律意味着 F net y = 0。 因此，如自由体图所示，
\[F_{net y} = T_{Ly} + T_{Ry} - w = 0 \ldotp\nonumber \]
我们可以使用三角学来确定 T Ly、T R y 和 T 之间的关系正如我们从水平方向分析中确定的那样，T L = T R = T：
\[\sin 5.0^{o} = \frac{T_{Ly}}{T_{L}}, \quad T_{Ly} = T_{L} \sin 5.0^{o} = T \sin 5.0^{o}\nonumber \]
\[\sin 5.0^{o} = \frac{T_{Ry}}{T_{R}}, \quad T_{Ry} = T_{R} \sin 5.0^{o} = T \sin 5.0^{o} \ldotp\nonumber \]
现在，我们可以将 T Ly 和 T R y 的值替换为垂直方向的净力方程：
\[F_{net y} = T_{Ly} + T_{Ry} - w = 0\nonumber \]
\[F_{net y} = 0 = T \sin 5.0^{o} + T \sin 5.0^{o} - w = 0\nonumber \]
\[2T \sin 5.0^{o} - w = 0\nonumber \]
\[2T \sin 5.0^{o} = w\nonumber \]
和
\[T = \frac{w}{2 \sin 5.0^{o}} = \frac{mg}{2 \sin 5.0^{o}},\nonumber \]
所以
\[T = \frac{(70.0\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{2(0.0872)},\nonumber \]
而紧张的是
\[T = 3930\; N \ldotp\nonumber \]
意义
钢丝中的垂直张力是一种支撑走钢丝者重量的力。 张力几乎是走钢丝者686-N重量的六倍。 由于电线几乎是水平的，因此其张力的垂直分量仅为电线张力的一小部分。 大型水平组件朝相反的方向移动，因此电线中的大部分张力都不是用来支撑走钢丝的人的重量。
如果我们想产生较大的张力，我们所要做的就是施加垂直于拉紧的柔性连接器的力，如图所示\(\PageIndex{6}\)。 正如我们在示例 5.13 中看到的那样，走钢丝者的重量充当垂直于绳索的力。 我们通过以下方式看到绳索的张力与走钢丝者的重量有关：
\[T = \frac{w}{2 \sin \theta} \ldotp\nonumber \]
我们可以扩展这个表达式来描述在柔性连接器中间施加垂直力 (F \(\perp\)) 时产生的张力 T：
\[T = \frac{F_{\perp}}{2 \sin \theta} \ldotp\nonumber \]
水平连接器和弯曲连接器之间的角度用表示\(\theta\)。 在这种情况下，当\(\theta\)接近零时 T 变大。 即使是任何柔性连接器的相对较小的重量也会导致其下垂，因为如果它是水平的（即 = 0 和 sin\(\theta\)\(\theta\) = 0），则会产生无限张力。 例如，图\(\PageIndex{8}\)显示了这样一种情况：在没有拖车可用的情况下，我们希望将汽车从泥里拉出来。 每次汽车向前移动时，都会拧紧链条以使其尽可能保持笔直。 链中的张力由 T = 给出\(\frac{F_{\perp}}{2 \sin \theta}\)，由于\(\theta\)很小，因此 T 很大。 这种情况类似于走钢丝的人，唯一的不同是这里显示的张力是传递到汽车和树上的张力，而不是在施加F \(\perp\)时起作用的张力。
3.0 米长的绳子的一端绑在树上；另一端绑在泥泞的汽车上。 驾驶者在绳索的中点侧向拉动，将其移动 0.25 m 的距离。如果他在这些条件下施加了 200.0 N 的力，请确定施加在汽车上的力。
在《牛顿定律的应用》中，我们将关于电缆张力的讨论扩展到包括所示角度不相等的情况。
摩擦
摩擦是一种与运动或其趋势相反的阻力。 想象一下，水平表面上有一个静止的物体。 作用在物体上的净力必须为零，这会导致重量和法向力相等，法向作用的方向相反。 如果曲面倾斜，则法向力平衡垂直于曲面的重量分量。 如果物体没有向下滑动，则平行于倾斜平面的重量分量将通过摩擦来平衡。 下一章将更详细地讨论摩擦力。
弹簧力
弹簧是一种具有特定原子结构的特殊介质，如果变形，它能够恢复其形状。 为了恢复其形状，弹簧施加的恢复力与弹簧被拉伸或压缩的方向成正比，方向相反。 这是一种被称为胡克定律的定律的陈述，它具有数学形式
\[\vec{F} = -k \vec{x} \ldotp\nonumber \]
比例常数 k 是衡量弹簧刚度的指标。 该力的作用线平行于弹簧轴，力感的方向与位移向量相反（图\(\PageIndex{9}\)）。 必须从松弛位置开始测量位移；弹簧松弛时 x = 0。
实力和惯性框架
力量之间还有另一个区别：有些力量是真实的，而另一些则不是。 真正的力量有一些物理来源，例如引力。 相比之下，虚构力的产生仅仅是因为观察者处于加速或非惯性参照系中，例如旋转（如旋转木马）或经历线性加速（例如汽车减速）的参照系。 例如，如果一颗卫星正向北飞越地球的北半球，那么对于地球上的观察者来说，它似乎会经历一种没有物理起源的向西的力量。 相反，地球正在向东旋转并在卫星下向东移动。 在地球框架中，这看起来像是卫星上的向西力，或者可以解释为违反牛顿第一定律（惯性定律）。 我们可以通过问 “什么是反应力？” 这个问题来识别虚构的力量 如果我们无法命名反作用力，那么我们正在考虑的力量就是虚构的。 以卫星为例，反作用力必须是地球上向东的力量。 回想一下，惯性参考系是指所有力都是真实的参考框架，同样，牛顿定律具有本章中给出的简单形式。
地球的自转速度足够慢，以至于地球几乎是一个惯性框架。 通常，你必须进行精确的实验才能观察虚构的力和与牛顿定律的轻微偏离，例如刚才描述的效应。 在大规模上，例如天气系统和洋流的旋转，可以很容易地观察到其影响（图\(\PageIndex{10}\)）。
确定参考系是否为惯性系的关键因素是它相对于已知的惯性系加速还是旋转。 除非另有说明，否则本文中讨论的所有现象都是惯性框架。
本节中讨论的力量是真实的力量，但它们不是唯一的真实力量。 例如，升力和推力是更专业的真实力量。 在长长的部队名单中，有些比其他部队更基本吗？ 同一潜在力量有不同的表现形式吗？ 这两个问题的答案都是肯定的，正如你将在本文后面的《现代物理学论述》中看到的那样
在这个交互式模拟中，在坡道上下推动家用物品时，探索力量和运动。 降低并抬高坡道，看看倾角如何影响平行力。 图表显示力、能量和功率。
在本练习中拉伸和压缩弹簧，探索力、弹簧常数和位移之间的关系。 调查两个弹簧串联和并联连接时会发生什么。