5.4: 牛顿第二定律

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学习目标

区分外力和内力
描述牛顿第二运动定律
解释加速度对净力和质量的依赖性

牛顿的第二定律与他的第一定律密切相关。它在数学上给出了力和运动变化之间的因果关系。牛顿第二定律是定量定律，广泛用于计算在涉及力的情况下会发生什么。在我们可以将牛顿第二定律写成一个简单的方程来给出力、质量和加速度的确切关系之前，我们需要强化前面提到的一些想法。

力和加速度

首先，我们所说的运动变化是什么意思？答案是，运动的变化等同于速度的变化。根据定义，速度的变化意味着存在加速度。牛顿的第一定律说，净外力会导致运动变化；因此，我们看到净外力会导致非零加速度。

我们在力中将外力定义为作用在物体或系统之外的物体或系统上的力。让我们进一步考虑这个概念。直观的外部概念是正确的，它超出了兴趣系统。例如，在图中$\PageIndex{1a}$，感兴趣的系统是汽车加上其中的人。两个学生施加的两种力量是外部力量。相比之下，内部力量在系统的元素之间起作用。因此，汽车中的人为挂在方向盘上而施加的力是感兴趣系统元素之间的内力。根据牛顿第一定律，只有外力才会影响系统的运动。（如下一节所述，内力相互抵消。）因此，我们必须先定义系统的边界，然后才能确定哪些力是外部力。有时，系统是显而易见的，而在其他时候，识别系统的边界则更为微妙。系统的概念是许多物理学领域的基础，牛顿定律的正确应用也是如此。在物理学研究中，这个概念被多次重新审视。

图 a 显示了两个人用 F1 和 F2 的力量将一辆汽车推向正确的方向。加速度 a 也在相同的方向上。摩擦力 f 显示在轮胎附近的相反方向，左。向上力 N 和向下力 W 的幅度相等，显示在地面附近。图 b 将图 a 的所有力放在一起，显示了净力 F 净值。这些力也显示在自由体图中。图 c 显示了拖车拖着的汽车。在这里，力 N、W 和 f 与图 a 中的力相同。F 下标拖车的强度大于 F1 或 F2。素数的加速度大于 a。该系统的所有力也显示在自由体图中。 — 图$\PageIndex{1}$：施加在相同质量上的不同力会产生不同的加速度。 (a) 两名学生推着一辆停滞的汽车。显示了作用于汽车的所有外力。 (b) 作用于汽车的力被传递到坐标平面（自由车身图），以便于分析。 (c) 拖车可以在相同质量上产生更大的外力，从而提高加速度。

从这个例子中，你可以看到，施加在相同质量上的不同力会产生不同的加速度。在图中$\PageIndex{1a}$，两个学生推着一辆里面有司机的汽车。显示了代表所有外力的箭头。感兴趣的系统是汽车及其驾驶员。为了完整起见，还显示了系统的重量$\vec{w}$和地面$\vec{N}$支撑，并假定它们会取消（因为没有垂直运动，垂直方向的力也没有不平衡以产生运动的变化）。向量$\vec{f}$表示作用于汽车的摩擦力，它向左起作用，与汽车的运动相反。（我们将在下一章中更详细地讨论摩擦力。）在图中$\PageIndex{1b}$，作用于系统的所有外力加在一起产生净力$\vec{F}_{net}$。自由体图显示了作用在目标系统上的所有力。该点代表系统的质心。每个力向量都从这个点延伸。由于有两个力向右起作用，因此向量以共线方式显示。最后，在图中$\PageIndex{1c}$，当拖车拉动汽车时，较大的净外力会产生更大的加速度 ($\vec{a}' > \vec{a}$)。

加速度与作用于系统的净外力成正比且方向相同，这似乎是合理的。该假设已通过实验验证，如图所示$\PageIndex{1}$。为了获得牛顿第二定律的方程，我们首先将加速度$\vec{a}$和净外力的$\vec{F}_{net}$关系写成比例

\[\vec{a}\; \propto\; \vec{F}_{net}\]

其中符号$\alpha$表示 “成比例”。（回想一下 Forces，净外力是所有外力的矢量和，有时表示为$\sum \vec{F}$。）这种比例表明了我们所说的话——加速度与净外力成正比。一旦选择了感兴趣的系统，就要找出外部力量而忽略内部力量。忽略系统内物体之间作用的众多内力，例如学生体内的肌肉力，更不用说物体中原子之间的无数力了，这是一种极大的简化。不过，这种简化可以帮助我们解决一些复杂的问题。

加速度应该与系统的质量成反比，这似乎也是合理的。换句话说，质量（惯性）越大，给定力产生的加速度越小。如图所示$\PageIndex{2}$，对篮球施加相同的净外力在 SUV 上时产生的加速度要小得多。相称性写成

\[a\; \propto\; \frac{1}{m},\]

其中 m 是系统的质量，a 是加速度的大小。实验表明，加速度与质量成反比，就像它与净外力成正比一样。

图 a 显示了一个人在质量为 m1 的篮球上施加力 F。显示球以加速度 a1 向右移动。图 b 显示了在质量为 m2 的 SUV 上施加相同力的人 F。加速度为 a2，比 a1 小得多。图 c 显示了图 a 和图 b 所示两个系统的自由体图。两者都显示了具有相同大小和方向的力 F。标签上写着：两个物体的自由体图是相同的。 — 图$\PageIndex{2}$：施加在不同质量的系统上的相同力会产生不同的加速度。 (a) 一名篮球运动员推篮球传球。（忽略重力对球的影响。） (b) 同一个玩家对停滞的 SUV 施加相同的力，产生的加速要少得多。 (c) 自由体图是相同的，可以直接比较这两种情况。当你遇到更多问题并在绘制自由体图中学习如何绘制自由体图时，将出现一系列自由体图的模式。

已经发现，物体的加速度仅取决于净外力和物体的质量。将刚才给出的两个比例相结合得出牛顿的第二定律。

牛顿第二运动定律

系统的加速度与作用于系统的净外力成正比，方向相同，与其质量成反比。在方程形式中，牛顿第二定律是

\[\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m},\]

其中$\vec{a}$是加速度，$\vec{F}_{net}$是净力，m 是质量。这通常是用更熟悉的形式写的

\[\vec{F}_{net} = \sum \vec{F} = m \vec{a}, \label{5.3}\]

但是第一个方程可以更深入地了解牛顿第二定律的含义。当只考虑力和加速度的大小时，这个方程可以用更简单的标量形式书写：

\[\vec{F}_{net} = ma \ldotp \label{5.4}\]

定律是三个量之间的因果关系，它不仅仅基于它们的定义。第二定律的有效性基于实验验证。你将在绘制自由体图中学习绘制的自由体图是编写牛顿第二定律的基础。

示例 5.2：一个人在推割草机时会产生什么加速度？

假设施加在割草机上的净外力（推力减去摩擦力）与地面平行于 51 N（约 11 磅）（图$\PageIndex{3}$）。割草机的质量为24千克。它的加速度是多少？

图 a 显示了一个人在草坪上使用割草机。 Force F 从该人手中向右移动。图 b 显示了沿 x 轴正 X 轴的力 F 净值。 — 图$\PageIndex{3}$：(a) 割草机上的净力为右侧 51 N。割草机向右加速的速度是多少？ (b) 显示了此问题的自由体图。

策略

这个问题只涉及水平方向的运动；我们还被赋予了由单向量表示的净力，但我们可以抑制向量性质，专注于应用牛顿第二定律。由于给出了 F _net 和 m，因此可以直接根据牛顿第二定律计算加速度，即 F _net = ma。

解决方案

加速度 a 的大小为 a =$\frac{F_{net}}{m}$。输入已知值可以得出

\[a = \frac{51\; N}{24\; kg} \ldotp\]

用千克单位乘以每平方秒米为单位代替牛顿产生

\[a = \frac{51\; kg \cdotp m/s^{2}}{24\; kg} = 2.1\; m/s^{2} \ldotp\]

意义

加速度的方向与净力的方向相同，后者平行于地面。这是牛顿第二定律中表示的向量关系的结果，也就是说，代表净力的向量是加速度向量的标量倍数。这个例子中没有给出关于作用于系统的单个外力的信息，但我们可以谈谈它们的相对强度。例如，推动割草机的人施加的力必须大于与运动相反的摩擦力（因为我们知道割草机向前移动），并且垂直力必须取消，因为垂直方向上没有加速（割草机只能水平移动）。发现的加速度足够小，对于推割草机的人来说是合理的。这样的努力不会持续太长时间，因为这个人的最高速度很快就会达到。

练习 5.3

在发射时，泰坦尼克号是有史以来最大的移动物体，质量为6.0 x 10 ⁷ 千克。如果对飞船施加了 6 MN（^{6 x 10 6} N）的力，它会经历什么加速？

在前面的示例中，我们处理净力只是为了简单起见。但是，有几种力量作用于割草机。重量$\vec{w}$（在 “质量和重量” 中详细讨论）在割草机上向下拉动，朝向地球中心；这会在地面上产生接触力。地面必须对割草机施加向上的力，即我们在 C ommon Forces 中定义的法向力$\vec{N}$。这些力是平衡的，因此不会产生垂直加速度。在下一个示例中，我们展示了这两种力。当你继续使用牛顿第二定律解决问题时，一定要表现出多种力。

示例 5.3：哪种力量更大？

图$\PageIndex{4}$中所示的汽车以恒定速度行驶。哪种力量更大，还$\vec{F}_{engine}$是$\vec{F}_{friction}$？解释一下。
同一辆车现在正在向右加速。哪种力量更大，还$\vec{F}_{engine}$是$\vec{F}_{friction}$？解释一下。

图 a 显示了一辆速度为每秒 10 米的汽车，向右移动。 F 向右下标引擎，F 向左下标摩擦点。图 b 显示汽车以每秒 10 米的加速度向右移动。力 F 下标引擎和 F 下标摩擦力与图 a 中的相同。 — 图$\PageIndex{4}$：显示了一辆汽车（a）以恒定速度行驶和（b）加速。在每种情况下，作用在汽车上的力如何比较？ (a) 知道汽车以恒定速度移动，这告诉我们与摩擦力相比，汽车上的净水平力是什么？ (b) 与摩擦力相比，汽车正在加速的知识告诉我们汽车上的水平力是什么？

策略

我们必须考虑牛顿的第一定律和第二定律来分析情况。我们需要决定适用哪种法律；这反过来又会告诉我们力量之间的关系。

解决方案

力量是相等的。根据牛顿的第一定律，如果净力为零，则速度恒定。
在这种情况下，$\vec{F}_{engine}$必须大于$\vec{F}_{friction}$。根据牛顿第二定律，需要净力才能引起加速。

意义

这些问题看似微不足道，但通常回答不正确。要使汽车或任何其他物体移动，必须将其从静止状态加速到所需的速度；这要求发动机力大于摩擦力。一旦汽车以恒定速度移动，净力必须为零；否则，汽车将加速（获得速度）。要解决涉及牛顿定律的问题，我们必须明白是应用牛顿第一定律（其中$\sum \vec{F}$ =$\vec{0}$）还是应用牛顿第二定律（其中不$\sum \vec{F}$为零）。当你看到更多的例子并尝试自己解决问题时，这一点就会显而易见。

示例 5.4：什么火箭推力能加速这个雪橇？

在载人太空飞行之前，火箭雪橇被用来高速测试飞机、导弹设备以及对人体受试者的生理影响。它们由一个平台组成，该平台安装在一两条轨道上，由几枚火箭推进。

计算每枚火箭对图中所示的四火箭推进系统施加的力大小，称为其推力 T$\PageIndex{5}$。雪橇的初始加速度为 49 m/s ²，系统的质量为 2100 kg，与运动相反的摩擦力为 650 N

图中显示了向右移动的雪橇。它的背面有四枚火箭，每个推力矢量具有相同的大小并指向右边。向左 f 点的摩擦力。向上的法向力 N 和向下的权重在幅度上是相等的。加速 a 向右。所有这些力也显示在自由体图中。 — 图$\PageIndex{5}$：雪橇受到火箭推力，使其向右加速。每枚火箭都会产生相同的推力 T。这里的系统是雪橇、火箭和骑手，因此不考虑这些物体之间的任何力。绘制的代表摩擦力 ($\vec{f}$) 的箭头大于缩放。

策略

尽管力同时在垂直和水平方向上起作用，但我们假设垂直力会因为没有垂直加速度而取消。这只剩下水平力和一个更简单的一维问题。方向用加号或减号表示，右侧作为正方向。参见图中的自由体图$\PageIndex{5}$。

解决方案

既然给出了加速度、质量和摩擦力，我们就从牛顿第二定律开始，寻找找到发动机推力的方法。我们已经将力和加速度的方向定义为 “向右”，因此在计算中我们只需要考虑这些量的大小。因此，我们从以下开始

\[F_{net} = ma\]

其中 F _网是沿水平方向的净力。从图中我们可以看出，发动机的推力增加，而摩擦力与推力相反。在方程形式中，净外力为

\[F_{net} = 4T − f \ldotp\]

用它代替牛顿第二定律可以给我们

\[F_{net} = ma = 4T − f \ldotp\]

使用一点代数，我们求解总推力 4T：

\[4T = ma + f \ldotp\]

替换已知值会产生

\[4T = ma + f = (2100\; kg)(49\; m/s^{2}) + 650\; N \ldotp\]

因此，总推力为

\[4T = 1.0 \times 10^{5}\; N \ldotp\]

意义

数字很大，所以结果可能会让你感到惊讶。诸如此类的实验是在20世纪60年代初进行的，旨在测试人类耐力的极限，该装置旨在保护喷气式战斗机紧急弹射中的人体受试者。获得的速度为 1000 km/h，加速度为 45 g。（回想一下 g，重力引起的加速度，为 9.80 m/s ²。当我们说加速度为 45 g 时，它是 45 x 9.8 m/s ²，大约是 440 m/s ²。）尽管不再使用活体，但火箭雪橇已经获得了 10,000 km/h 的陆地速度。

在这个例子中，和前一个例子一样，兴趣系统是显而易见的。我们在后面的例子中看到，选择兴趣系统至关重要，而且选择并不总是显而易见的。

牛顿第二定律不仅仅是一个定义；它是加速度、力和质量之间的关系。它可以帮助我们做出预测。这些物理量中的每一个都可以独立定义，因此第二定律告诉我们一些关于自然的基本和普遍的东西。

练习 5.4

一辆550公斤的跑车与一辆2200公斤的卡车相撞，在碰撞期间，每辆车上的净力是另一辆车施加的力。如果卡车的加速度大小为 10 m/s ²，那么跑车的加速度是多少？

牛顿第二定律的组成形式

我们开发了牛顿第二定律，并在方程\ ref {5.3} 中将其作为矢量方程呈现。这个矢量方程可以写成三个分量方程：

\[\sum \vec{F}_{x} = m \vec{a}_{x}, \sum \vec{F}_{y} = m \vec{a}_{y}, \sum \vec{F}_{z} = m \vec{a}_{z} \ldotp \label{5.5}\]

第二定律描述了人体如何机械地应对其环境。环境的影响是净力$\vec{F}_{net}$，身体的响应是加速度$\vec{a}$，响应的强度与质量 m 成反比。物体的质量越大，它对环境影响的响应（其加速度）越小（a 给定净力）。因此，正如我们在牛顿第一定律中所解释的那样，物体的质量是其惯性的量度。

示例 5.5：用力击足球

一个重达 0.400 公斤的足球被球员踢过场地；它的加速度为$\vec{a}$ = 3.00$\hat{i}$ + 7.00$\hat{j}$ m/s ²。找出 (a) 作用于球的合力和 (b) 合力的大小和方向。

策略

涉及$\hat{i}$和$\hat{j}$格式的向量，它们分别表示沿 x 轴和 y 轴的力方向，因此我们以矢量形式应用牛顿第二定律。

解决方案

我们运用牛顿第二定律：$$\ vec {F} _ {net} = m\ vec {a} = (0.400\; kg)\ big (3.00\;\ hat {i} + 7.00\;\ hat {i} + 2.80\;\ hat {j}\; N\ ldotpp $$
。大小和方向是使用以下分量找到的$\vec{F}_{net}$：$$F_ {net} =\ sqrt {(1.20\; N) ^ {2} + (2.80\; N) ^ {2}} = 3.05\; N\; 和\;\ theta =\ tan^ {-1}\ 左 (\ dfrac {2.80} {1.20}\ 右) = 66.8^ {o} dotp$$

意义

我们必须记住，牛顿第二定律是一个向量方程。在 (a) 中，我们将向量乘以标量来确定向量形式的净力。虽然矢量形式简洁地表示了力向量，但它并不能直观地告诉我们它有多 “大” 或去了哪里。在 (b) 中，我们正在确定该力的实际大小（大小）及其移动方向。

示例 5.6：汽车的质量

如果净力为 −600.0$\hat{j}$ N 产生 −0.2 m$\hat{j}$ /s ² 的加速度，则求出汽车的质量。

策略

未定义向量分割，因此$m = \frac{\vec{F}_{net}}{\vec{a}}$无法执行。但是，质量 m 是一个标量，因此我们可以使用牛顿第二定律的标量形式$m = \frac{F_{net}}{a}$。

解决方案

我们使用 m =$\frac{F_{net}}{a}$ 代替两个向量的大小：F _net = 600.0 N 和 a = 0. ^{2 m/s 2}。因此，

\[m = \frac{F_{net}}{a} = \frac{600.0\; N}{0.2\; m/s^{2}} = 3000\; kg \ldotp \nonumber\]

意义

力和加速度以 and$\hat{j}$ 格式给出，但答案 mass m 是一个标量，因此不是$\hat{j}$以$\hat{i}$和形式给出的。$\hat{i}$

示例 5.7

粒子上的几种力质量为 m = 4.0 kg 的粒子受到四种量级力的作用。 F ₁ = 10.0 N，F ₂ = 40.0 N，F ₃ = 5.0 N，F ₄ = 2.0 N，方向如图中的自由体图所示$\PageIndex{6}$。粒子的加速度是多少？

粒子显示在 xy 平面中。力 F1 与正 x 轴成为 30 度的角度，力 F2 向下，力 F3 点向左，施力 F4 点向上。 — 图$\PageIndex{6}$：xy 平面中的四种力施加于 4.0 kg 的粒子。

策略

因为这是一个二维问题，所以我们必须使用自由体图。首先，$\vec{F}_{1}$必须分为 x 和 y 分量。然后，我们可以在每个方向上应用第二定律。

解决方案

我们画了一张自由体图，如图所示$\PageIndex{6}$。现在我们应用牛顿第二定律。我们认为所有向量都解析为 x 和 y 分量：

\[\sum F_{x} = m a_{x}\]

\[F_{1x} - F_{3x} = m a_{x}\]

\[F_{1} \cos 30^{o} - F_{3x} = m a_{x}\]

\[(10.0\; N)(\cos 30^{o}) - 5.0\; N = (4.0\; kg) a_{x}\]

\[a_{x} = 0.92\; m/s^{2} \ldotp\]

\[\sum F_{y} = m a_{y}\]

\[F_{1y} +F_{4y} - F_{2y} = m a_{y}\]

\[F_{1} \sin30^{o} + F_{4y} - F_{2y} = m a_{y}\]

\[(10.0\; N)(\sin 30^{o}) + 2.0\; N - 40.0\; N = (4.0\; kg) a_{y}\]

\[a_{y} =-8.3\; m/s^{2} \ldotp\]

因此，净加速度为

\[\vec{a} = \big( 0.92\; \hat{i} - 8.3\; \hat{j} \big) m/s^{2},\]

这是一个大小为 8.4 m/s ² 的矢量，指向正的 x 轴 276°。

意义

在日常生活中可以找到许多涉及作用于单个物体的三种或更多力量的例子，例如从金门大桥延伸的电缆或一名足球运动员被三名防守者击倒。我们可以看到，这个例子的解决方案只是我们已经做过的事情的延伸。

练习 5.5

汽车有力作用于其上，如下所示。这辆车的质量为 1000.0 千克。道路光滑，因此摩擦力不容忽视。 (a) 汽车上的净力是多少？ (b) 汽车的加速度是多少？

显示了汽车的俯视图。两个力向量来自汽车，指向上和向外。 450 牛顿的力使汽车向右的直线运动成为 30 度的角度。另一个 360 牛顿的力随着汽车的直线向左移动，成为 10 度的角度。

牛顿第二定律和动量

牛顿实际上在动量方面陈述了他的第二定律：“人体动量变化的瞬间速率等于作用于身体的净力。” （“瞬时汇率” 意味着涉及导数。）这可以通过向量方程给出

\[\vec{F}_{net} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp \label{5.6}\]

这意味着牛顿第二定律解决了运动的核心问题：是什么导致物体运动的变化？牛顿将动量描述为 “运动量”，这是一种将物体的速度及其质量结合在一起的方式。我们将线性动量和碰撞用于动量研究。

现在，将动量$\vec{p}$定义为物体 m 的质量及其速度的乘积就足够了$\vec{v}$：

\[\vec{p} = m \vec{v} \ldotp \label{5.7}\]

由于速度是矢量，动量也是如此。

可视化动量很容易。以 10 m/s 的速度行驶的列车比以 2 m/s 的速度行驶的列车更有动力。在日常生活中，我们说一支运动队在对阵对方球队的比赛中得分时是 “有动量”。

如果我们用方程\ ref {5.7} 代替方程\ ref {5.6}，我们得到

\[\vec{F}_{net} = \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d (m \vec{v})}{dt} \ldotp\]

当 m 为常数时，我们有

\[\vec{F}_{net} = m \frac{d(\vec{v})}{dt} = m \vec{a} \ldotp\]

因此，我们看到牛顿第二定律的动量形式简化为本节前面给出的形式。

模拟

探索在拉手推车或推冰箱、箱子或人时起作用的力量。创建施加的力，看看它如何使物体移动。将物体放在坡道上，看看它如何影响其运动。