4.S：二维和三维运动（摘要）

关键条款

加速度向量	通过用单位向量表示法取速度函数相对于时间的导数得出的瞬时加速度
角频率	$\omega$，物体在圆形路径上移动的角度的变化率
向心加速度	物体在圆圈中移动的加速度分量，该圆圈向径向内指向圆心方向
位移向量	从粒子轨迹上初始位置到最终位置的向量
位置向量	从所选坐标系的原点到二维或三维空间中粒子位置的向量
射弹运动	物体的运动仅受重力加速度影响
范围	弹丸移动的最大水平距离
参考框架	用于测量静止或移动物体的位置、速度和加速度的坐标系
相对速度	从特定参考系观察到的物体的速度，或一个参考系相对于另一个参考系的速度
切向加速度	其幅度是速度变化的时间速率。 它的方向与圆相切。
飞行时间	弹丸在空中经过的时间
总加速	向心加速度和切向加速度的向量和
轨迹	弹丸在空中的路径
速度向量	给出粒子瞬间速度和方向的向量；与轨迹相切

关键方程式

位置向量	$$\ vec {r} (t) = x (t)\ hat {i} + y (t)\ hat {j} + z (t)\ hat {k}$$
位移向量	$$\ Delta\ vec {r} =\ vec {r} (t_ {2})-\ vec {r} (t_ {1})$$
速度向量	$$\ vec {v} (t) =\ lim_ {\ Delta t\ rightarrow 0}\ frac {\ vec {r} (t +\ Delta t)-\ vec {r} {\ Delta t} =\ frac {d\ vec {r}} {dt}$$
以分量表示的速度	$$\ vec {v} (t) = v_ {x} (t)\ hat {i} + v_ {y} (t)\ hat {j} + v_ {z} (t)\ hat {k}$$
速度分量	$$v_ {x} (t) =\ frac {dx (t)} {dt} v_ {y} (t) =\ frac {dy (t)} {dt} v_ {z} (t) =\ frac {d z (t)} {dt}$$
平均速度	$$\ vec {v} _ {avg} =\ frac {\ vec {r} (t_ {2})-\ vec {r} (t_ {1})} {t_ {2}-t_ {1}}$$
即时加速	$$\ vec {a} (t) =\ lim_ {\ Delta t\ rightarrow 0}\ frac {\ vec {v} (t +\ Delta t)-\ vec {v} {\ Delta t} =\ frac {d\ vec {v}} {dt}$$
瞬时加速，组件形式	$$\ vec {a} (t) =\ frac {dv_ {x} (t)} {dt}\ hat {i} +\ frac {dv_ {y} (t)} {dt}\ hat {k}$$
瞬时加速度作为位置的二阶导数	$$\ vec {a} (t) =\ frac {d^ {2} x (t)} {dt^ {2}}\ hat {i} +\ frac {d^ {2} y (t)} {dt^ {2} z (t)} {dt^ {2}}\ hat {k}$$
飞行时间	$$T_ {tof} =\ frac {2 (v_ {0}\ sin\ theta)} {g}$$
轨迹	$$y = (\ tan\ theta_ {0}) x-\ Big [\ frac {g} {2 (v_ {0}\ cos\ theta_ {0}) ^ {2}\ Big] x^ {2}$$
射程	$$R =\ frac {v_ {0} ^ {2}\ sin 2\ theta_ {0}} {g}$$
向心加速	$$a_ {C} =\ frac {v^ {2}} {r}$$
位置向量，均匀的圆周运动	$$\ vec {r} (t) = A\ cos\ omega t\ hat {i} + A\ sin\ omega t\ hat {j}$$
速度矢量，均匀的圆周运动	$$\ vec {v} (t) =\ frac {d\ vec {r} (t)} {dt} =-A\ omega\ sin\ omega t\ hat {i} + A\ omega\ cos\ omega t\ hat {j}$$
加速度矢量，均匀的圆周运动	$$\ vec {a} (t) =\ frac {d\ vec {v} (t)} {dt} =-A\ omega^ {2}\ cos\ omega t\ hat {i}-A\ omega^ {2}\ sin\ omega t\ hat {j}$$
切向加速度	$$a_ {T} =\ frac {d|\ vec {v} |} {dt}$$
总加速度	$$\ vec {a} =\ vec {a} _ {C} +\ vec {a} _ {T}$$
帧 S 中的位置向量是帧 S′ 中的位置向量加上从 S 原点到 S′ 原点的向量	$$\ vec {r} _ {PS} =\ vec {r} _ {PS'} +\ vec {r} _ {S'S}$$
连接两个参考系的相对速度方程	$$\ vec {v} _ {PS} =\ vec {v} _ {PS'} +\ vec {v} _ {S'S}$$
连接两个以上参考系的相对速度方程	$$\ vec {v} _ {PC} =\ vec {v} _ {PA} +\ vec {v} _ {AB} +\ vec {v} _ {BC}$$
相对加速度方程	$$\ vec {a} _ {PS} =\ vec {a} _ {PS'} +\ vec {a} _ {S'S}$$

摘要

4.1 位移和速度向量

• 位置函数$\vec{r}$ (t) 以时间函数形式给出粒子在二维或三维上移动的位置。 在图形上，它是从所选坐标系的原点到粒子在特定时间所在点的向量。
• 位移向量$\Delta \vec{r}$给出了粒子轨迹上任意两点之间在二维或三维上的最短距离。
• 瞬时速度表示粒子在特定时间在其轨迹上的二维或三维速度和方向，是二维和三维向量。
• 速度矢量与粒子的轨迹相切。
• 位移$\vec{r}$ (t) 可以写成沿 x、y 和 z 方向的一维位移$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{z}$ (t)、(t) 的矢量和。
• 速度$\vec{v}$ (t) 可以写成沿 x、y 和 z 方向的一维速度 v _x (t)、v _y (t)、v _z (t) 的矢量和。
• 任何给定方向上的运动都与垂直方向上的运动无关。

4.2 加速度向量

• 在二维和三维中，加速度向量可以具有任意方向，不一定指向速度的给定分量。
• 瞬时加速度是由非常短（无穷小）的时间段内速度的变化产生的。 瞬时加速度是二维或三维向量。 它是通过取速度函数相对于时间的导数来找到的。
• 在三维中，加速度$\vec{a}$ (t) 可以写成沿 _{x、y 和 z 轴的一维加速度 a x} (t)、a _y (t) 和 _z (t) 的矢量和。
• 恒定加速度的运动学方程可以写成 x、y 和 z 方向上恒定加速度方程的矢量和。

4.3 射弹运动

• 弹丸运动是指物体在靠近地球表面时仅受重力加速度影响的运动，重力加速度是恒定的。
• 为了解决弹丸运动问题，我们使用 x 和 y 的一维运动学方程分析弹丸在水平和垂直方向上的运动。
• 在均匀表面上以初始垂直速度 v _0y 发射的弹丸的飞行时间由 $$T_ {tof} =\ frac {2 (v_ {0}\ sin\ theta)} {g}$$ 这个方程只有在弹丸降落在发射时相同的高度时才有效。
• 弹丸行进的最大水平距离称为射程。 同样，射程方程只有在弹丸降落在发射时相同的高度时才有效。

4.4 均匀的圆周运动

• 均匀的圆周运动是指以恒定速度在圆圈中运动。
• 向心加速度$\vec{a}_{C}$是粒子沿着圆形路径必须经过的加速度。 向心加速度始终指向旋转中心，其幅度为 _C =$\frac{v^{2}}{r}$。
• 当执行圆周运动的物体出现切向加速度以致物体的速度发生变化时，就会发生非均匀的圆周运动。 这种加速度称为切向加速度$\vec{a}_{T}$。 切向加速度的大小是速度幅值的时间变化率。 切向加速度向量与圆相切，而向心加速度向量径向内指向圆的中心。 总加速度是切向和向心加速度的矢量和。
• 执行均匀圆周运动的物体可以用运动方程来描述。 物体的位置向量为$\vec{r}$ (t) = A cos$\omega$ t$\hat{i}$ + A sin$\omega$ t$\hat{j}$，其中 A 是幅度 |$\vec{r}$ (t) |，也是圆的半径，$\omega$是角频率。

4.5 一维和二维的相对运动

• 在分析物体的运动时，需要指定位置、速度和加速度方面的参考框架。
• 相对速度是从特定参考系中观察到的物体的速度，它随参考系的选择而变化。
• 如果 S 和 S′ 是两个以恒定速度相对于彼此移动的参考系，则物体相对于 S 的速度等于其相对于 S′ 的速度加上 S′ 相对于 S 的速度
• 如果两个参考系以恒定速度相对于彼此移动，则在两个参考系中观察到的物体的加速度是相等的。

贡献者和归因

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