3.8: 通过加速度求出速度和位移

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学习目标

使用积分微积分推导出恒定加速度的运动学方程。
在分析运动时使用运动学方程的积分公式。
在给定加速度函数的情况下，找出速度与时间的函数形式。
给定速度函数，求出位置与时间的函数形式。

本节假设你有足够的微积分背景来熟悉积分。在 “瞬时速度和速度” 和 “平均和瞬时加速度” 中，我们使用导数介绍了速度和加速度的运动学函数。通过取位置函数的导数，我们找到了速度函数，同样，通过取速度函数的导数，我们找到了加速度函数。使用积分微积分，我们可以向后移动，根据加速度函数计算速度函数，从速度函数计算位置函数。

来自积分微积分的运动学方程

让我们从一个加速度为 a (t) 的粒子开始，这是一个已知的时间函数。由于速度函数的时间导数是加速度，

\[\frac{d}{dt} v(t) = a(t),\]

我们可以取双方的无限积分，找到

\[\int \frac{d}{dt} v(t) dt = \int a(t) dt + C_{1},\]

其中 C ₁ 是积分常数。因为$\int \frac{d}{dt} v(t) dt = v(t)$，速度由下式给出

\[v(t) = \int a(t) dt + C_{1} \ldotp \label{3.18}\]

同样，位置函数的时间导数是速度函数，

\[\frac{d}{dt} x(t) = v(t) \ldotp\]

因此，我们可以使用刚才使用的相同数学操作并找到

\[x(t) = \int v(t) dt + C_{2}, \label{3.19}\]

其中 C ₂ 是第二个积分常数。

我们可以使用这些积分推导出恒定加速度的运动学方程。使用 a (t) = a，一个常数，并在方程\ ref {3.18} 中进行积分，我们发现

\[v(t) = \int a dt + C_{1} = at + C_{1} \ldotp\]

如果初始速度为 v (0) = v ₀，则

\[v_{0} = 0 + C_{1} \ldotp\]

然后，C ₁ = v ₀ 和

\[v(t) = v_{0} + at,\]

即方程式 3.5.12。将这个表达式代入方程\ ref {3.19} 可以得出

\[x(t) = \int (v_{0} + at) dt + C_{2} \ldotp\]

我们发现，在进行整合时

\[x(t) = v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} + C_{2} \ldotp\]

如果 x (0) = x ₀，我们有

\[x_{0} = 0 + 0 + C_{2} \ldotp\]

所以，C ₂ = x ₀。在方程中用 x (t) 代替 x (t)，我们终于有了

\[x(t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

即方程式 3.5.17。

示例 3.17：摩托艇的运动

当摩托艇开始减速到达码头时，它正以 5.0 m/s 的恒定速度行驶。它的加速度为 a (t) =$-\frac{1}{4}$ t m/s ²。 (a) 摩托艇的速度函数是什么？ (b) 速度在什么时候达到零？ (c) 摩托艇的位置功能是什么？ (d) 摩托艇从开始减速到速度为零的排量是多少？ (e) 绘制速度和位置函数的图表。

策略

(a) 要获得速度函数，我们必须积分并使用初始条件来找到积分常数。 (b) 我们将速度函数设置为零并求解 t。(c) 同样，我们必须积分才能找到位置函数，并使用初始条件来找到积分常数。 (d) 由于将初始位置视为零，因此我们只需要在 t = 0 处计算位置函数。

解决方案

我们把 t = 0 作为船开始减速的时间。

从加速度的函数形式我们可以求解方程\ ref {3.18} 得到 v (t): $$v (t) =\ int a (t) dt + C_ {1} =\ int-\ frac {1} {1} =-\ frac {1} {8} t^ {2} + C_ {1}\ ldotp$at t = 0 我们有 v (0) = 5.0 m/s = 0 + C _{1，所以 C ₁} = 5.0 m/s 或 v (t) = 5.0 m/s −$\frac{1}{8}$ t²。
v (t) = 0 = 5.0 m/s −$\frac{1}{8}$ t ² (\ Rightarrow\) t = 6.3 s
求解方程\ ref {3.19}：$$x (t) =\ int v (t) dt + C_ {2} =\ int (5.0-\ frac {1} {8} t^ {2}) dt + C_ {2} = 5.0t-\ frac {1} {24} t^ {3} + C_ {2}\ ldotp$at t = 0，我们设置 x (_{0) = 0 = x 0}，因为我们只对船开始减速后的位移感兴趣。我们有 $$x (0) = 0 = C_ {2}\ ldotp$因此，头寸的方程为 $$x (t) = 5.0t-\ frac {1} {24} t^ {3}\ ldotp$$
由于将初始位置视为零，因此我们只需要在速度为零时计算 x (t)。这发生在 t = 6.3 秒。因此，位移为 $$x (6.3) = 5.0 (6.3) −\ frac {1} {24} (6.3) ^ {3} = 21.1\; m\ ldotp$$

图 A 是以米/秒为单位的速度与时间函数的图（以秒为单位）。起始速度为每秒五米，减小到零。图 B 是以米为单位的位置图，以秒为单位的时间函数。起始位置为零，在六到七秒之间增加到最大值，然后开始减少。 — 图$\PageIndex{1}$：(a) 摩托艇的速度随时间变化。摩托艇在 6.3 秒内将其速度降低到零。有时大于此速度时，速度变为负值，这意味着船正在反转方向。 (b) 摩托艇的位置随时间变化。 t = 6.3 秒时，速度为零，船已停止。有时，速度会变为负值，这意味着，如果船继续以相同的加速度移动，它会反转方向并返回起源地。

意义

加速度函数在时间上是线性的，因此积分涉及简单的多项式。在图中$\PageIndex{1}$，我们可以看到，如果我们将解延伸到速度为零的点以外，速度变为负值，船的方向反转。这告诉我们，解决方案可以为我们提供超出我们直接利益的信息，我们在解释它们时应谨慎行事。

练习 3.8

粒子从静止状态开始，具有加速功能$a(t)=\left(5-\left(10 \frac{1}{s}\right) t\right) \frac{m}{s^{2}}$。 (a) 什么是速度函数？ (b) 什么是位置函数？ (c) 什么时候速度为零？