3.7: 自由落体

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学习目标

使用带有变量 y 和 g 的运动学方程来分析自由落体运动。
描述自由落体期间位置、速度和加速度的值是如何变化的。
求解物体自由落体时作为时间函数的位置、速度和加速度。

方程 3.3.2 至方程 3.5.22 的一个有趣应用称为自由落体，它描述了落在引力场中的物体的运动，例如在地球表面附近或其他行星大小的天体附近。假设身体在垂直于表面的直线上坠落，所以它的运动是一维的。例如，我们可以估算垂直矿井的深度，方法是将一块岩石丢入井中，然后听着岩石撞到底部。但是，在自由落体的背景下，“坠落” 并不一定意味着身体正在从更高的高度移动到较低的高度。如果向上投球，则自由落体方程式同样适用于其上升和下降。

重力

关于坠落物体的最引人注目和最出乎意料的事实是，如果空气阻力和摩擦力可以忽略不计，那么在给定位置，所有物体都会以相同的恒定加速度落向地球中心，无论其质量如何。这个由实验确定的事实出乎意料，因为我们已经习惯了空气阻力和摩擦的影响，以至于我们预计轻型物体的掉落速度会比重物体慢。在伽利略伽利略（1564—1642 年）证明并非如此之前，人们认为较重的物体在自由落体时会有更大的加速度。我们现在知道事实并非如此。在没有空气阻力的情况下，当重物从相同的高度掉落时，与较轻的物体同时到达地面$\PageIndex{1}$。

左图显示一把锤子和一根羽毛掉在空中。锤子在羽毛下方。中间图显示一把锤子和一根羽毛在真空中掉下来。锤子和羽毛处于同一等级。右图显示宇航员在月球表面拿着锤子和羽毛躺在地上。 — 图$\PageIndex{1}$：如果空气阻力可以忽略不计，则锤子和羽毛会以相同的恒定加速度掉落。这是重力的一般特征，不是地球独有的，正如宇航员戴维·斯科特1971年在月球上展示的那样，月球上的重力加速度仅为1.67 m/s ²，没有大气层。

在现实世界中，空气阻力可能导致较轻的物体比相同大小的较重物体掉落得更慢。棒球同时掉落后，一个网球到达地面。（如果高度不大，可能很难观察到差异。）空气阻力反对物体在空中运动，物体之间的摩擦（例如衣服和洗衣槽之间或石头和掉落的水池之间）也反对物体之间的运动。

对于前几章的理想情况，在没有空气阻力或摩擦的情况下坠落的物体被定义为自由落体。重力使物体落向地球中心。因此，自由落体物体的加速度称为重力加速度。重力引起的加速度是恒定的，这意味着我们可以将运动学方程应用于任何空气阻力和摩擦力可以忽略不计的坠落物体。这为我们打开了一系列有趣的情况。

重力引起的加速度非常重要，以至于它的大小被赋予了自己的符号 g。它在地球上的任何给定位置都是恒定的，具有平均值

\[g = 9.81\; m/s^{2}\; (or\; 32.2\; ft/s^{2}) \ldotp\]

尽管 g 从 9.78 m/s ² 到 9.83 m/s ² 不等，具体取决于纬度、海拔、底层地质构造和局部地形，但除非另有说明，否则我们在本文中使用 9.8 m/s ² 四舍五入到两个有效数字的平均值。忽略了由于地球表面的位置而对 g 值的这些影响，以及地球自转所产生的影响，我们选择了由于重力而导致的加速方向向下（朝向地球中心）。实际上，它的方向定义了我们所谓的垂直。请注意，运动学方程中的加速度 a 的值是 +g 还是 −g 取决于我们如何定义坐标系。如果我们将向上方向定义为正向，那么 a = −g = −9.8 m/s ²，如果我们将向下方向定义为正向，那么 a = g = 9.8 m/s ²。

涉及重力的一维运动

要了解涉及重力的运动的基本特征，最好的方法是从最简单的情况开始，然后转向更复杂的情况。因此，我们首先考虑没有空气阻力或摩擦力的直线上下运动。这些假设意味着速度（如果有的话）是垂直的。如果物体掉落，我们知道自由落体时的初始速度为零。当物体与持有或投掷的任何物体保持接触时，该物体处于自由落体状态。当物体被抛出时，它在自由落体时的初始速度与释放之前的初始速度相同。当物体与地面或任何其他物体接触时，它不再处于自由落体状态，其 g 的加速度也不再有效。在这种情况下，运动是一维的，其恒定加速度为 g。我们用符号 y 表示垂直位移。

自由落体中物体的运动学方程

我们在此假设加速度等于 −g（正向上）。

\[v =v _{0} - gt \label{3.15}\]

\[y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} gt^{2} \label{3.16}\]

\[v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g(y - y_{0}) \label{3.17}\]

问题解决策略：自由落体

决定重力加速的迹象。在方程\ ref {3.15} 到方程\ ref {3.17} 中，加速度 g 为负，也就是说正方向向上，负方向向下。在某些问题中，将加速度 g 设为正值可能很有用，这表示正方向向下。
画出问题的草图。这有助于可视化所涉及的物理特性。
记录问题描述中的已知和未知数。这有助于制定策略来选择合适的方程来解决问题。
决定使用方程\ ref {3.15} 到方程\ ref {3.17} 中的哪一个来求解未知数。

示例 3.14：球的自由落体

该图$\PageIndex{2}$显示了从 98 米高的建筑物顶部投掷的球以 1 秒为间隔、向下的初始速度为 4.9 m/s 的位置。 (a) 球到达地面需要多长时间？ (b) 它到达地面时的速度是多少？

该图显示了以每秒 -4.9 米的速度从高层建筑向下投掷的球。一秒钟后，球低9.8米，速度为每秒-14.7米。两秒钟后，球会降低 29.4 米，速度为每秒 -24.5 米。三秒钟后，球低58.8米，速度为每秒-34.5米。四秒钟后，球会降低 98.0 米，速度为每秒 -44.1 米。 — 图$\PageIndex{2}$：以 4.9 m/s 的速度从高层建筑向下投掷球以 1 秒为间隔的位置和速度。

策略

在建筑物顶部选择原点，正方向向上，负方向向下。为了找出位置为 −98 m 的时间，我们使用方程\ ref {3.16}，y _{0 = 0}，v ₀ = −4.9 m/s，g = 9.8 m/s ²。

解决方案

将给定值代入方程式：$$y = y_ {0} + v_ {0} t-\ frac {1} {2} gt^ {2} $$ $$-98.0\; m = 0-(4.9\; m/s) t-\ frac {1} {2} (9.8\; m/s^ {2}) t^ {2}\ ldotp$This 简化为 $$t^ {2} + t-20 = 0\ ldotp$$这是一个二次方程，其根 t = −5.0 s，t = 4.0 s。正根是我们很感兴趣，因为时间 t = 0 是球在建筑物顶部被释放的时间。（时间 t = −5.0 s 表示从地面向上投掷的球在以 4.9 m/s 的速度经过建筑物顶部时会在空中停留 5.0 秒。）
使用方程\ ref {3.15}，我们有 $$v =v _ {0}-gt = -4.9\; m/s-(9.8\; m/s^ {2}) (4.0\; s) = -44.1\; m/s\ ldotp$$

意义

对于从时间变量中的二次方程中获得两个根的情况，我们必须查看两个根的物理意义以确定哪个根是正确的。由于 t = 0 对应于球被释放的时间，因此负根将对应于球被释放之前的时间，这在物理上没有意义。当球击中地面时，它的速度不是立即为零，但是一旦球与地面相互作用，它的加速度就不是 g，它会在短时间内以不同的值加速到零速度。这个问题表明，建立正确的坐标系并保持运动学方程中 g 的符号一致是多么重要。

示例 3.15：棒球的垂直运动

击球手在本垒板上直接向上击中棒球，球在击中 5.0 秒后被抓住 Figure$\PageIndex{3}$。 (a) 球的初始速度是多少？ (b) 球达到的最大高度是多少？ (c) 达到最大高度需要多长时间？ (d) 其路径顶部的加速度是多少？ (e) 球被抓到时的速度是多少？假设球在同一位置被击中和接球。

左图显示一名棒球运动员在等于零秒的时间击球。右图显示一名棒球运动员在等于五秒钟的时间接球。 — 图$\PageIndex{3}$：直线击中的棒球在 5.0 秒后被接球手抓住。

策略

选择一个坐标系，该坐标系的 y 轴正向上，原点位于击球和接球的位置。

解决方案

方程\ ref {3.16} 给出 $$y = y_ {0} + v_ {0} t-\ frac {1} {2} gt^ {2} $$ $0 = 0 + v_ {0} (5.0\; s)-\ frac {1} {2} (9.8\; m/s^ {2}) (5.0\; s) ^ {2} $这给出 v ₀ = 24.5 米/秒。
在最大高度处，v = 0。在 v ₀ = 24.5 m/s 时，方程\ ref {3.17} 给出 $$v^ {2} = v_ {0} ^ {2}-2 g (y-y_ {0}) $$ $0 = (24.5\; m/s^ {2})-2 (9.8\; m/s^ {2}) (y-0) $$or $$y = 30.6\; m ldotp$$
为了找出 v = 0 的时间，我们使用方程式\ ref {3.15}：$$v = v_ {0}-gt$$ $$0 = 24.. 5\; m/s-(9.8\; m/s^ {2}) t\ ldotp$这给出 t = 2.5 秒。由于球升起 2.5 秒，落下时间为 2.5 秒。
任何地方的加速度均为 9.8 m/s ²，即使路径顶部的速度为零。尽管顶部的速度为零，但它正在以9.8 m/s ² 的速度向下变化。
t = 5.0 秒时的速度可以通过方程\ ref {3.15} 来确定：$$\ begin {split} v & = v_ {0}-gt\\ & = 24.5\; m/s^ {2} (5.0\; s)\\ & = -24.5\; m/s\ ldotp\ end {split} $$

意义

球以其离开时的速度返回。这是任何初始速度下自由落体的一般属性。我们使用单一方程从投掷到接球，不必将动作分为两个部分，即向上和向下。我们习惯于认为重力的作用是使地球向下自由落体。正如本例所示，重要的是要明白，向上移动的远离地球的物体也处于自由落体状态。

练习 3.7

一块冰从冰川上破裂，在落入水面之前掉落了30.0 m。假设它可以自由落下（没有空气阻力），那么撞到水面需要多长时间？哪个数量增加得更快，是冰块的速度还是它的行进距离？

示例 3.16：火箭助推器

一枚装有助推器的小型火箭爆炸并直向上飞行。当高度为 5.0 km 且速度为 200.0 m/s 时，它会释放助推器。 (a) 助推器达到的最大高度是多少？ (b) 在6.0公里的高度时，助推器的速度是多少？忽略空气阻力。

图中显示了发射助推器的火箭。 — 图$\PageIndex{4}$：火箭以给定的高度和速度释放助推器。助推器能跑多高，速度有多快？

策略

我们需要选择重力加速度的坐标系，我们将其视为负向下。我们得到了助推器的初始速度及其高度。我们将释放点视为起源。我们知道加速间隔内最大位置的速度为零；因此，助推器在最大高度处的速度为零，因此我们也可以使用这些信息。根据这些观测结果，我们使用方程\ ref {3.17}，它为我们提供了助推器的最大高度。我们还使用方程\ ref {3.17} 来给出 6.0 km 处的速度。助推器的初始速度为 200.0 m/s。

解决方案

来自方程\ ref {3.17}，$v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g(y - y_{0})$。使用 v = 0 和 y ₀ = 0，我们可以求解 y: $$y =\ frac {v_ {0} ^ {2}} {-2g} =\ frac {(2.0\ times 10^ {2}\; m/s) ^ {2}} {-2 (9.8\; m/s^ {2})} = 2040.8\; m\ ldotp$此解给出了最大值助推器在我们的坐标系中的高度，其起点位于释放点，因此最大高度为增压器大约为 7.0 km。
在我们使用的坐标系中，6.0 km 的高度对应于 y = 1.0 x 10 ³ m。其他初始条件是 y ₀ = 0，v 0 = 200. ₀ m/s。根据方程\ ref {3.17}，我们有 $$v^ {2} = (200.0\; m/s) ^ {2}-2 (9.8\; m/s {2}) (1.0\ times 10^ {3}\; m)\ Rightarrow v =\ pm 142.8\; m/s $$

意义

我们在 (b) 中有正解和负解。由于我们的坐标系的正向上方向，因此 +142.8 m/s 对应于助推器轨迹向上段中 6000 m 处的正向上速度。值 v = −142.8 m/s 对应于向下腿上 6000 米处的速度。这个例子也很重要，因为物体在坐标系的原点被赋予了初始速度，但原点位于地球表面以上的高度，在形成解时必须考虑这一点。

模拟

访问此网站了解如何绘制多项式图。曲线的形状随着常数的调整而变化。查看各个项的曲线（例如，y = bx）以查看它们如何相加以生成多项式曲线。