3.6：恒定加速运动（第 2 部分）
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把方程组合在一起
在以下示例中，我们将继续探索一维运动，但在需要稍微多一点代数操作的情况下。 这些示例还让人们深入了解了解决问题的技巧。 下面的注释是为了便于参考所需的方程式。 请注意，这些方程不是独立的。 在许多情况下，我们有两个未知数，需要集合中的两个方程来求解未知数。 我们需要与未知数一样多的方程来求解给定情况。
\[x = x_{0} + \bar{v}t\]
\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\]
\[v = v_{0} + at\]
\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\]
\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\]
在进入示例之前，让我们更仔细地看一下其中的一些方程，以了解极值下的加速度行为。 重新整理\(v = v_0 + at\)，我们有
\[a = \frac{v - v_{0}}{t} \ldotp\]
由此我们可以看出，在有限的时间内，如果初始速度和最终速度之间的差异很小，则加速度很小，在初始速度和最终速度相等的极限内接近零。 相反，在初始速度和最终速度之间有限差异的极限 t → 0 中，加速度变为无穷大。
同样，通过重新排列\(v^2 = v^2_0 + 2a(x-x_0) \)，我们可以用速度和位移来表示加速度：
\[a = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2(x - x_{0})} \ldotp\]
因此，对于初始速度和最终速度之间的有限差异，在位移接近零的极限内，加速度变为无限。 加速度在极限中接近零；对于有限位移，初始速度和最终速度的差异接近零。
在干混凝土上，汽车可以以 7.00 m/s 2 的速度减速，而在湿混凝土上，它只能以 5.00 m/s 2 的速度减速。 找出在 (a) 干混凝土和 (b) 湿混凝土上阻止汽车以 30.0 m/s（大约 110 km/h）的速度行驶所需的距离。 (c) 重复两次计算，并考虑到驾驶员踩刹车的反应时间为0.500秒，找出从驾驶员看到交通信号灯变为红色的点起的位移。
策略
首先，我们需要画一个素描图\(\PageIndex{1}\)。 为了确定哪些方程最适合使用，我们需要列出所有已知值并准确确定我们需要求解的方程。
解决方案
- 首先，我们需要确定已知数以及我们想要解决的问题。 我们知道 v 0 = 30.0 m/s，v = 0，a = −7.00 m/s 2（a 为负数，因为它的方向与速度相反）。 我们将 x0 设为零。 我们正在寻找位移\(\Delta\) x 或 x − x 0。 其次，我们确定可以帮助我们解决问题的方程式。 最好使用的方程是 $$v^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (x-x_ {0})\ ldotp$这个方程最好，因为它只包含一个未知的 x。我们知道这个方程中所有其他变量的值。 （其他方程允许我们求解 x，但它们要求我们知道停止时间 t，但我们不知道。 我们可以使用它们，但这需要额外的计算。） 第三，我们重新排列方程以求解 x: $$x-x_ {0} =\ frac {v^ {2}-v_ {0} ^ {2}} {2a} $$然后替换已知值：$$x-0 =\ frac {0^ {2}-(30.0\; m/s) ^ {2})}\ ldotp$thus，$$x = 64.3\; m\; on\; dry\; concrete\ ldotp$$
- 这部分可以用与 (a) 完全相同的方式求解。 唯一的区别是加速度为 −5.00 m/s 2。 结果是 $$x_ {wet} = 90.0\; m\; on\; wet\; 混凝土\ ldotp$$
- 当驾驶员做出反应时，停止距离与 (a) 和 (b) 中干混凝土和湿混凝土的停止距离相同。 因此，要回答这个问题，我们需要计算汽车在反应时间内行驶的距离，然后将其与停止时间相加。 可以合理地假设在驾驶员的反应时间内速度保持不变。 为此，我们再次确定已知问题以及我们想要解决的问题。 我们知道\(\bar{v}\) = 30.0 m/s，t 反应 = 0.500 秒，反应 = 0。 我们将 x 0 反应变为零。 我们正在寻找 x 反应。 其次，和以前一样，我们确定了最适合使用的方程式。 在这种情况下，x = x 0 +\(\bar{v}\) t 效果很好，因为唯一的未知值是 x，这正是我们想要求解的。 第三，我们用已知数来求解方程：$$x = 0 + (30.0\; m/s) (0.500\; s) = 15.0\; m\ ldotp$这意味着汽车在驾驶员做出反应时行驶15.0 m，这使得两种干混凝土和湿混凝土中的总位移量比他立即反应时的总位移量大 15.0 m。 最后，我们将反应时间的排量与制动时的排量相加（图\(\PageIndex{2}\)），$x_ {braking} + x_ {reaction} = x_ {total}，$$and 发现 (a) 干燥时为 64.3 m + 15.0 m = 79.3 m，（b）潮湿时为 90.0 m + 15.0 m = 105 m。
意义
本例中发现的位移对于阻止快速行驶的汽车来说似乎是合理的。 将汽车停在潮湿的人行道上应该比在干燥的人行道上停下更长的时间。 有趣的是，反应时间大大增加了位移，但更重要的是解决问题的一般方法。 我们确定已知数和要确定的量，然后找到合适的方程式。 如果有多个未知数，则我们需要与待解的未知数一样多的独立方程。 解决问题的方法通常不止一种。 实际上，这个例子的各个部分可以通过其他方法求解，但是这里给出的解是最短的。
假设一辆汽车在 200 米长的坡道上合并为高速公路。 如果它的初始速度为 10.0 m/s 并且以 2.00 m/s 2 的速度加速，那么汽车向上行驶 200 米需要多长时间？ （此类信息可能对交通工程师有用。）
策略
首先，我们画一个素描图\(\PageIndex{3}\)。 我们被要求求解时间 t。和以前一样，我们确定已知量以选择方便的物理关系（即，具有一个未知 t 的方程）。
解决方案
同样，我们找出已知数以及我们想要解决的问题。 我们知道 x 0 = 0，v 0 = 10 m/s，a = 2.00 m/s 2，x = 200 m。
我们需要求解 t。方程 x = x 0 + v 0 t +\(\frac{1}{2}\) at 2 的效果最好，因为方程中唯一的未知数是我们需要求解的变量 t。 从这个见解中我们可以看出，当我们将已知数输入方程时，我们最终得到了一个二次方程。
我们需要重新排列方程以求解 t，然后将已知数代入方程中：
\[200\; m = 0\; m + (10.0\; m/s)t + \frac{1}{2}(2.00\; m/s^{2})t^{2} \ldotp\]
然后我们简化方程。 米单位取消，因为它们存在于每个项中。 我们可以用 t = t s 来获得要取消的秒数单位，其中 t 是时间的大小，s 是单位。 这样做会离开
\[200 = 10t + t^{2} \ldotp\]
然后我们使用二次公式求解 t，
\[t^{2} + 10t - 200 = 0\]
\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a},\]
这会产生两个解：t = 10.0 和 t = −20.0。 时间值为负是不合理的，因为这意味着事件发生在动作开始前 20 秒。 我们可以放弃这个解决方案。 因此，
\[ t = 10.0\; s \ldotp\]
意义
每当方程包含未知平方时，就有两个解。 在某些问题中，两种解决方案都是有意义的；在另一些问题中，只有一种解决方案是合理的。 对于典型的高速公路入口坡道来说，10.0秒的答案似乎是合理的。
载人火箭在发射过程中以20 m/s 2 的速度加速。 火箭需要多长时间才能达到 400 m/s 的速度？
一艘太空飞船已离开地球轨道，正在前往月球的途中。 它以 20 m/s 2 的速度加速 2 分钟，行驶 1000 千米的距离。 太空飞船的初始和最终速度是多少？
策略
我们被要求找出太空飞船的初始和最终速度。 看看运动学方程，我们发现一个方程无法给出答案。 我们必须使用一个运动学方程来求解其中一个速度，然后将其替换为另一个运动学方程以获得第二个速度。 因此，我们同时求解了两个运动学方程。
解决方案
首先我们使用\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} = \frac{1}{2}t^{2}\)以下方法求解 v 0：
\[x - x_{0} = v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} = \frac{1}{2}t^{2}\]
\[1.0 \times 10^{6}\; m = v_{0} (120.0\; s) + \frac{1}{2} (20.0\; m/s^{2})(120.0\; s)^{2}\]
\[v_{0} = 7133.3\; m/s \ldotp\]
然后我们用 v 0 替换 v = v 0 + at 来求解最终速度：
\[v = v_{0} + at = 7133.3\; m/s + (20.0\; m/s^{2})(120.0\; s) = 9533.3\; m/s \ldotp\]
意义
位移、时间、速度和加速度有六个变量用于描述一维运动。 给定问题的初始条件可以是这些变量的多种组合。 由于这种多样性，解可能不像简单地替换成其中一个方程那样容易。 此示例说明运动学的解可能需要求解两个联动运动学方程。
在掌握了运动学基础知识之后，我们可以继续阅读许多其他有趣的示例和应用。 在发展运动学的过程中，我们还瞥见了一种解决问题的一般方法，它既能提供正确的答案，又能洞察身体关系。 我们的运动学问题的下一个复杂程度涉及两个相互关联的物体的运动，称为双体追击问题。
双体追击问题
到目前为止，我们已经看过涉及单个身体的运动示例。 即使是两辆车的问题以及潮湿和干燥道路上的停车距离，我们也将这个问题分为两个单独的问题来寻找答案。 在双体追击问题中，物体的运动是耦合在一起的，也就是说，我们寻找的未知物取决于两个物体的运动。 为了解决这些问题，我们为每个物体编写运动方程，然后同时求解它们以找到未知物体。 如图所示\(\PageIndex{4}\)。
赛车 1 赶上赛车 2 所需的时间和距离取决于汽车 1 与赛车 2 的初始距离以及两辆车的速度和赛车 1 的加速度。 必须求解描述两辆车运动的运动学方程才能找到这些未知数。
请看下面的例子。
一只猎豹躲在灌木丛后面等着。 猎豹发现瞪羚以 10 m/s 的速度跑过去。瞪羚在经过猎豹的那一刻，猎豹以 4 m/s 2 的速度从静止状态加速捕捉瞪羚。 (a) 猎豹要花多长时间才能抓到瞪羚？ (b) 瞪羚和猎豹的位移量是多少？
策略
我们使用恒定加速度的方程组来解决这个问题。 由于有两个物体在运动，我们有单独的运动方程来描述每只动物。 但是，将方程联系在一起的是一个常见的参数，每只动物的值都相同。 如果我们仔细观察这个问题，很明显，每只动物的共同参数是它们在稍后时间的 x 位置 t。由于它们都从 x 0 = 0 开始，所以在猎豹赶上瞪羚时，它们的位移量是相同的。 如果我们选择求解每只动物位移的运动方程，那么我们可以将方程设置为彼此相等，然后求解未知情况，即时间。
解决方案
- 瞪羚方程：瞪羚的速度是恒定的，这是它的平均速度，因为它没有加速。 因此，我们使用方程 3.5.7，x 0 = 0: $$x = x_ {0} +\ bar {v} t =\ bar {v} t\ ldotp$方程式表示猎豹：猎豹正在从静止状态中加速，所以我们使用方程式 3.5.17，x 0 = 0: $$x = x_ {0} + v_ {0} t\ fram c {1} {2} at^{2} =\ frac {1} {2} at^ {2}\ ldotp$now 我们有了每只动物的运动方程，有一个共同的参数，可以将其消除以找到解。 在这种情况下，我们求解 t: $$x =\ bar {v} t =\ frac {1} {2} at^ {2} $$ $t =\ frac {2\ bar {v}} {a}\ ldotp$瞪羚的恒定速度为 10 m/s，这是它的平均速度。 猎豹的加速度为 4 m/s 2。 评估 t，猎豹到达瞪羚的时间，我们有 $$t =\ frac {2\ bar {v}} {a} =\ frac {2 (10)} {4} = 5\; s\ ldotp$$
- 为了获得位移，我们要么使用猎豹的运动方程，要么使用瞪羚的运动方程，因为它们应该给出相同的答案。 猎豹的位移：$$x =\ frac {1} {2} at^ {2} =\ frac {1} {2} (4) (5) ^ {2}-50\; m\ ldotp$瞪羚的位移：$$x =\ bar {v} t = 10 (5) = 50\; m\ ldotp$$我们看到两个位移都是相等，不出所料。
意义
分析每个物体的运动并使用适当的运动学方程来描述单个运动非常重要。 对双体追击问题有良好的视觉视角也很重要，这样才能看到将两个物体的运动联系起来的共同参数。
自行车的恒定速度为 10 m/s。当自行车与人处于相同位置时，一个人从休息开始，在 30 秒内开始跑步追赶自行车。 人的加速度是多少？