Skip to main content
Global

3.5：恒定加速运动（第 1 部分）

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    204175

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    学习目标
    • 确定要使用哪些运动方程来求解未知数。
    • 使用适当的运动方程来解决双体追击问题。

    你可能会猜到，比如说，一辆汽车离开停车标志的加速度越大，汽车在给定时间内的排量就越大。 但是，我们还没有开发出将加速度和位移联系起来的具体方程。 在本节中，我们将从位移、速度和加速度的定义开始，介绍一些便捷的运动学关系方程。 我们首先研究运动中的单个物体，称为单体运动。 然后我们研究两个物体的运动，称为双体追击问题。

    符号

    首先，让我们对符号进行一些简化。 将初始时间设为零，就像用秒表测量时间一样，是一种很好的简化。 由于经过的时间为\(\Delta\) t = t f − t 0，因此 t 0 = 0 表示\(\Delta\) t = t f，这是秒表上的最后时间。 当初始时间设为零时，我们使用下标 0 表示位置和速度的初始值。 也就是说，x 0 是初始位置，v 0 是初始速度。 我们在最终值上没有下标。 也就是说，t 是最后时间，x 是最终位置，v 是最终速度。 这为经过的时间提供了一个更简单的表达式，\(\Delta\)t = t。它还简化了 x 位移的表达式，现在是\(\Delta\) x = x − x 0。 此外，它还简化了速度变化的表达式，现在是\(\Delta\) v = v − v 0。 总而言之，使用简化的表示法，初始时间为零，

    \[\Delta t = t\]

    \[\Delta x = x - x_{0}\]

    \[\Delta v = v - v_{0},\]

    其中，下标 0 表示初始值，缺少下标表示正在考虑的任何动作中的最终值。

    我们现在做了一个重要的假设，即加速度是恒定的。 这个假设使我们能够避免使用微积分来寻找瞬时加速度。 由于加速度是恒定的，因此平均加速度和瞬时加速度是相等的，也就是说，

    \[\bar{a} = a = constant \ldotp\]

    因此，我们可以随时使用符号 a 来加速。 假设加速度恒定不会严重限制我们可以研究的情况，也不会降低我们治疗的准确性。 首先，在很多情况下，加速度是恒定的。 此外，在许多其他情况下，我们可以通过假设恒定加速度等于该运动的平均加速度来准确描述运动。 最后，对于加速度发生巨大变化的运动，例如汽车加速到最高速度然后制动到停止，可以将运动分成不同的部分，每个部分都有自己的恒定加速度。

    位移和位置与速度的关系

    为了得到前两个方程，我们从平均速度的定义开始：

    \[\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \ldotp\]

    用简化表示法替换\(\Delta\) x 和\(\Delta\) t 会得到

    \[\bar{v} = \frac{x - x_{0}}{t} \ldotp\]

    求解 x 可以给我们

    \[x = x_{0} + \bar{v} t,\label{3.10}\]

    其中，平均速度为

    \[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} \ldotp \label{3.11}\]

    该方程\(\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\)反映了这样一个事实，即当加速度恒定时，v 只是初始速度和最终速度的简单平均值。 图中以图形方式\(\PageIndex{1}\)说明了这个概念。 在图 (a) 部分中，加速度是恒定的，速度以恒定速度增加。 从 40 km/h 到 80 km/h 的 1 小时间隔内的平均速度为 60 km/h：

    \[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} = \frac{40\; km/h + 80\; km/h}{2} = 60\; km/h \ldotp\]

    在 (b) 部分中，加速度不是恒定的。 在 1 小时间隔内，速度比 40 km/h 更接近 80 km/h。因此，平均速度大于 (a) 部分。

    图 A 显示了以千米/小时为单位绘制的速度与时间（以小时为单位）的对比。 速度从 1 小时时每小时 40 千米呈线性增加，point vo 增加到 2 小时时每小时 80 千米，point v. Graph B 显示了以每小时千米为单位绘制的速度与以小时为单位的时间的关系。 速度从 1 小时时每小时 40 千米，point vo 增加到 2 小时时每小时 80 千米，point v 的增加不是线性的 —— 首先速度增加得非常快，然后增加速度会减慢。
    图\(\PageIndex{1}\)：(a) 具有恒定加速度的 Velocity-versus-Time 图，显示初始和最终速度 v 0 和 v。平均速度为\(\frac{1}{2}\) (v 0 + v) = 60 km/h。(b) 速度与时间图表，加速度随时间而变化。 平均速度不是由\(\frac{1}{2}\) (v 0 + v) 给出的，而是大于 60 km/h。

    根据加速度和时间求解最终速度

    我们可以通过操纵加速度的定义来推导出另一个有用的方程：

    \[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \ldotp\]

    用简化符号代替\(\Delta\) v 和\(\Delta\) t 可以给我们

    \[a = \frac{v - v_{0}}{t}\; (constant\; a) \ldotp\]

    求解 v 收益率

    \[v = v_{0} + at\; (constant\; a) \ldotp \label{3.12}\]

    示例 3.7：计算最终速度

    飞机以 70.0 m/s 的初始速度着陆，然后以 1.50 m/s 2 的速度减速 40.0 秒。它的最终速度是多少？

    策略

    首先，我们确定已知数：v 0 = 70 m/s，a = −1.50 m/s 2，t = 40 秒。

    其次，我们识别未知数；在本例中，它是最终速度 v f。

    最后，我们确定要使用哪个方程。 为此，我们找出哪个运动学方程根据已知数给出了未知数。 我们使用方程式\ ref {3.12} 来计算最终速度，v = v 0 + at。

    解决方案

    替换已知值并求解：

    \[v = v_{0} + at = 70.0\; m/s + (-1.50\; m/s^{2})(40.0\; s) = 10.0\; m/s \ldotp\]

    图\(\PageIndex{2}\)是显示加速度和速度向量的草图。

    该图显示了两个不同时间段的飞机。 t 等于零秒时，它的速度为每秒 70 米，加速度为每秒 -1.5 米的平方。 在 t 等于 40 秒时，它的速度为每秒 10 米，加速度为每秒 -1.5 米的平方。
    图\(\PageIndex{2}\)：飞机以 70.0 m/s 的初始速度着陆，在飞往航站楼之前减速至 10.0 m/s 的最终速度。 请注意，加速度是负的，因为它的方向与其速度相反，后者为正。

    意义

    如减速时所希望的那样，最终速度远低于初始速度，但仍为正值（见图）。 使用喷气发动机，反向推力可以保持足够长的时间以使飞机停止并开始向后移动，这由负的最终速度表示，但这里的情况并非如此。

    除了可用于解决问题外，方程 v = v 0 + at 还让我们深入了解速度、加速度和时间之间的关系。 例如，我们可以看到

    • 最终速度取决于加速度的大小及其持续时间
    • 如果加速度为零，则最终速度等于预期的初始速度（v = v 0）（换句话说，速度是恒定的）
    • 如果 a 为负数，则最终速度小于初始速度

    所有这些观察结果都符合我们的直觉。 请注意，根据我们的直觉和经验来研究基本方程总是很有用的，以检查它们是否确实准确地描述了自然。

    使用恒定加速度求解最终位置

    我们可以将前面的方程组合起来，找到第三个方程，它使我们能够计算出经历恒定加速度的物体的最终位置。 我们从以下开始

    \[v = v_{0} + at \ldotp\]

    将 v 0 与该方程的两边相加，然后除以 2 得出

    \[\frac{v_{0} + v}{2} = v_{0} + \frac{1}{2} at \ldotp\]

    因为\(\frac{v_{0} + v}{2} = \bar{v}\)为了持续加速，我们有

    \[\bar{v} = v_{0} + \frac{1}{2} at \ldotp\]

    现在我们用这个表达式\(\bar{v}\)代替位移方程 x = x 0 +\(\bar{v}\) t，得出

    \[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\; (constant\; a) \ldotp \label{3.13}\]

    示例 3.8：计算加速物体的位移

    赛车手的平均加速度可达到 26.0 m/s 2。 假设一辆高速赛车以这个速度从静止状态加速 5.56 秒图\(\PageIndex{3}\)。 这段时间它能行驶多远？

    图为一辆后轮胎冒出烟雾的赛车。
    图\(\PageIndex{3}\)：美国陆军顶级燃料飞行员 Tony “The Sarge” Schumacher 以可控的倦怠开始比赛。 （来源：威廉·瑟蒙德中校。 照片由美国陆军提供。）

    策略

    首先，让我们画一个素描图\(\PageIndex{4}\)。 我们被要求找出位移，如果我们将 x 0 设为零，则为 x。 （把 x 0 当作比赛的起跑线。 它可以在任何地方，但我们称之为零，并测量与之相关的所有其他位置。） \(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\)当我们从问题陈述中识别 v 0、a 和 t 时，我们可以使用方程。

    该图显示了加速度为每秒 26 米的赛车。
    图\(\PageIndex{4}\)：加速赛车的草图。
    解决方案

    首先，我们需要识别已知数。 从静止状态开始意味着 v 0 = 0，a 以 26.0 m/s 2 给出，t 以 5.56 秒给出。

    其次，我们将已知值代入方程以求解未知值：

    \[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

    由于初始位置和速度均为零，因此该方程简化为

    \[x = \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

    将 a 和 t 的已识别值替换给出

    \[x = \frac{1}{2} (26.0\; m/s^{2})(5.56\; s)^{2} = 402\; m \ldotp\]

    意义

    如果我们将 402 米转换为英里，我们会发现所覆盖的距离非常接近四分之一英里，这是飙车的标准距离。 所以，我们的答案是合理的。 这是一个令人印象深刻的位移，仅需5.56秒，但一流的赛车手可以在比这更短的时间内行驶四分之一英里。 如果给高速赛车一个初始速度，这将为距离方程添加另一个项。 如果在方程中使用相同的加速度和时间，则覆盖的距离会大得多。

    通过研究这个方程我们还能学到\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\)什么？ 我们可以看到以下关系：

    • 当加速度不为零时，位移取决于所用时间的平方。 在示例 3.8 中，高速赛车在经过的时间的前半段仅覆盖总距离的四分之一。
    • 如果加速度为零，则初始速度等于平均速度 (v 0 =\(\bar{v}\))，\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\)变成 x = x 0 + v 0 t。

    根据距离和加速度求解最终速度

    第四个有用的方程可以通过对先前方程的另一种代数操作获得。 如果我们在 t 处求解 v = v 0 +，我们得到

    \[t = \frac{v - v_{0}}{a} \ldotp\]

    用这个替换\(\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\)成\(x = x_{0} + \bar{v} t\)，我们得到

    \[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\; (constant\; a) \ldotp \label{3.14}\]

    示例 3.9：计算最终速度

    在不使用时间信息的情况下计算示例 3.8 中赛车的最终速度。

    策略

    该方程\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\)非常适合此任务，因为它涉及速度、加速度和位移，不需要时间信息。

    解决方案

    首先，我们确定已知值。 我们知道 v 0 = 0，因为赛车是从静止状态开始的。 我们也知道 x − x 0 = 402 m（这是示例 3.8 中的答案）。 平均加速度由 a = 26.0 m/s 2 给出。 其次，我们将已知数代入方程\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\)并求解 v：

    \[v^{2} = 0 + 2(26.0\; m/s^{2})(402\; m) \ldotp\]

    因此，

    \[v^{2} = 2.09 \times 10^{4}\; m/s^{2}\]

    \[v = \sqrt{2.09 \times 10^{4}\; m^{2}/s^{2}} = 145\; m/s \ldotp\]

    意义

    145 m/s 的速度约为 522 km/h，约为 324 英里/小时，但即使是这种惊人的速度也低于四分之一英里的记录。 另外，请注意，平方根有两个值；我们使用正值来表示与加速度相同方向的速度。

    对方程式的检查\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\)可以进一步了解物理量之间的一般关系：

    • 最终速度取决于加速度的大小及其作用的距离。
    • 对于固定的加速，行驶速度提高两倍的汽车不会简单地在两倍的距离内停下来。 停下来需要更远的时间。 （这就是为什么我们在学校附近降低了速度区的原因。）