3.4: 平均加速度和瞬时加速度

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学习目标

计算两个时间点之间的平均加速度。
根据速度的函数形式计算瞬时加速度。
解释瞬时加速度和速度的向量性质。
解释平均加速度和瞬时加速度之间的区别。
在速度与时间的关系图表上查找指定时间的瞬时加速度。

了解加速的重要性涵盖了我们的日常经历，也涵盖了广阔的外太空和亚原子物理学的微小世界。在日常交谈中，加速意味着加速；施加制动踏板会导致车辆减速。例如，我们对汽车的加速很熟悉。加速度越大，速度在给定时间内的变化越大。加速在实验物理学中很常见。例如，在线性粒子加速器实验中，在碰撞实验中，亚原子粒子被加速到非常高的速度，这告诉我们有关亚原子世界结构以及宇宙起源的信息。在太空中，宇宙射线是亚原子粒子，它们在超新星（爆炸的巨星）和活跃的银河核中被加速到非常高的能量。了解加速宇宙射线的过程非常重要，因为这些射线含有高穿透力的辐射，例如，这些辐射会损坏航天器上飞行的电子设备。

平均加速度

加速的正式定义与刚才描述的这些概念一致，但更具包容性。

平均加速度

平均加速度是速度变化的速率：

\[\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}, \label{3.8}\]

其中\(\bar{a}\)是平均加速度，v 是速度，t 是时间。（a 上方的柱线表示平均加速度。）

由于加速度等于以米为单位的速度除以时间（以秒为单位），因此加速度的 SI 单位通常缩写为 m/s ²，即米/秒平方或每秒米/秒。这实际上意味着速度每秒变化多少米。回想一下，速度是一个矢量，它既有幅度又有方向，这意味着速度的变化可以是幅度（或速度）的变化，也可以是方向的改变。例如，如果跑步者以 10 km/h 的速度向东行驶时减速到停靠点，反向方向，继续以 10 km/h 的速度向西行驶，则她的速度会因为方向的变化而发生变化，尽管两个方向的速度大小相同。因此，当速度发生幅度（速度的增加或降低）或方向变化或两者兼而有之时，就会发生加速。

作为矢量的加速度

加速度是一个与速度变化方向相同的矢量，\(\Delta\)v 由于速度是一个矢量，它可以在大小或方向上发生变化，或者两者兼而有之。因此，加速是速度或方向的变化，或两者兼而有之。

请记住，尽管加速朝着速度变化的方向发展，但并不总是朝着运动方向发展。当物体减速时，其加速度与其运动方向相反。尽管这通常被称为减速图\(\PageIndex{1}\)，但我们说火车正在朝与其运动方向相反的方向加速。

图为地铁列车驶入车站。 — 图\(\PageIndex{1}\)：巴西圣保罗的一列地铁列车在进入车站时减速。它正在朝与其运动方向相反的方向加速。（来源：川崎优介）

“减速” 一词可能会在我们的分析中造成混乱，因为它不是矢量，而且它不指向相对于坐标系的特定方向，因此我们不使用它。加速度是一个矢量，因此我们必须在所选坐标系中为其选择合适的符号。以图中的列车为例\(\PageIndex{1}\)，在所选坐标系中，加速度为负方向，因此我们说列车正在经历负加速。

如果运动中的物体相对于所选原点具有正方向的速度，并且它获得了恒定的负加速度，则该物体最终会静止并反向方向。如果我们等待足够长的时间，物体就会朝相反的方向穿过原点。如图所示\(\PageIndex{2}\)。

图中显示了三个向量：a 指向西方，vf 指向西方，vo 指向东方。 — 图\(\PageIndex{2}\)：在负加速度下以向东的速度向量运动的物体静止并反向方向。经过足够长的时间后，它会朝相反的方向经过原点。

示例 3.5：计算平均加速度：一匹赛马离开大门

一匹出门的赛马在 1.80 秒内从静止状态加速到正西 15.0 m/s 的速度。它的平均加速度是多少？

图为两匹赛马，车手们正在加速驶出大门。 — 图\(\PageIndex{3}\)：赛马加速冲出大门。（来源：乔恩·沙利文）

策略

首先我们画一个草图并为问题图分配一个坐标系\(\PageIndex{4}\)。这是一个简单的问题，但它总是有助于将其可视化。请注意，我们将东分配为正值，将西分配为负值。因此，在这种情况下，我们的速度为负。

图中显示了三个向量：a 的值未知，ans 指向西方，vf 等于 — 15 m/s，指向西方，vo 等于零。 — 图\(\PageIndex{4}\)：确定坐标系、给定信息以及要确定的内容。

我们可以通过从给定信息中识别\(\Delta\) v 和\(\Delta\) t，然后直接根据方程计算平均加速度来解决这个问题\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}\)。

解决方案

首先，找出已知数：v ₀ = 0，v _f = −15.0 m/s（负号表示向西方向），\(\Delta\)t = 1.80 s。其次，找出速度的变化。由于马从零变为 —15.0 m/s，因此其速度变化等于其最终速度：

\[\Delta v = v_{f} - v_{0} = v_{f} = -15.0\; m/s \ldotp\]

最后，替换已知值（\(\Delta\)v 和\(\Delta\) t）并求解未知值\(\bar{a}\)：

\[\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-15.0\; m/s}{1.80\; s} = -8.33\; m/s^{2} \ldotp\]

意义

加速度的负号表示加速度向西加速。向西加速度为8.33 m/s ² 意味着马每秒向西增加8.33 m/s的速度；也就是说，每秒8.33米，我们将其写为8.33 m/s ²。这确实是平均加速度，因为行驶并不顺畅。我们稍后看到，如此大的加速将需要骑手用几乎等于其体重的力量坚持下去。

练习 3.3

线性加速器中的质子在 10 ^—4 秒内从静止状态加速到 2.0×10 ⁷ m/s。质子的平均加速度是多少？

即时加速

瞬时加速度 a 或特定时刻的加速度是使用与讨论的瞬时速度相同的过程获得的。也就是说，我们计算由\(\Delta\) t 分隔的两个时间点之间的平均速度，然后让\(\Delta\) t 接近零。结果是速度函数 v (t) 的导数，即瞬时加速度，在数学上表示为

\[a(t) = \frac{d}{dt} v(t) \ldotp \label{3.9}\]

因此，与速度是位置函数的导数类似，瞬时加速度是速度函数的导数。我们可以用与瞬时速度相同的方式以图形方式显示这一点。在图中\(\PageIndex{5}\)，时间 t ₀ 处的瞬时加速度是切线与时间 t ₀ 时速度与时间对比图的斜率。我们看到，当 Δt\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) 接近零时，平均加速度接近瞬时加速度。同样在图的 (a) 部分中，我们可以看到，当速度的斜率为零时，速度具有最大值。此时间对应于加速函数的零。在 (b) 部分中，显示了最小速度下的瞬时加速度，也为零，因为那里的曲线斜率也为零。因此，对于给定的速度函数，加速度函数的零给出最小或最大速度

图 A 显示了绘制的速度与时间的关系。速度从 t1 增加到 t2 和 t3。它在 t0 处达到最大值。它减小到 t4 并继续减少到 t5 和 t6。 t0 处切线的斜率表示为瞬时速度。图 B 显示了绘制的速度与时间的关系。速度从 t1 降至 t2 和 t3。它在 t0 处达到最小值。它增加到 t4 并继续增加到 t5 和 t6。 t0 处切线的斜率表示为瞬时速度。 — 图\(\PageIndex{5}\)：在速度与时间的关系图中，瞬时加速度是切线的斜率。 (a) 显示的是时间\(\Delta\) t = t ₆ − t ₁、t =\(\Delta\) t ₅ − t ₂ 和 t =\(\Delta\) t ₄ − t _{3\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}\)} 之间的平均加速度。当\(\Delta\) t → 0 时，平均加速度接近时间 t ₀ 时的瞬时加速度。在视图 (a) 中，显示了速度曲线上点在最大速度下的瞬时加速度。此时，瞬时加速度是切线的斜率，即零。在任何其他时候，切线的斜率（即瞬时加速度）都不会为零。 (b) 与 (a) 相同，但显示的是以最小速度瞬时加速。

为了说明这个概念，让我们看两个例子。首先，使用图 3.3.4 (b)（示例 3.3 中的 velocityversus-time 图）显示了一个简单的示例，以图形方式查找加速度。该图如图\(\PageIndex{6}\) (a) 所示，这是一条直线。相应的加速度随时间的变化图表是从速度斜率中找到的，如图\(\PageIndex{6}\) (b) 所示。在此示例中，速度函数是一条具有恒定斜率的直线，因此加速度是一个常数。在下一个示例中，速度函数对时间的函数依赖性更为复杂。

图 A 显示了以米/秒为单位绘制的速度与时间（以秒为单位）的关系。图形是线性的，斜率为负。图 B 显示了以米/秒为单位的加速度与时间（以秒为单位）的对比。图形是线性的，斜率为零，加速度等于 -6。 — 图\(\PageIndex{6}\)：(a, b) 速度与时间对比图是线性的，其负恒定斜率 (a) 等于加速度，如 (b) 所示。

如果我们知道速度的函数形式 v (t)，则可以使用方程\ ref {3.9} 计算运动中任何时间点的瞬时加速度 a (t)。

示例 3.6：计算瞬时加速度

粒子正在运动并正在加速。速度的函数形式为 v (t) = 20t − 5t ² m/s。

找到加速度的功能形式。
找出 t = 1、2、3 和 5 秒时的瞬时速度。
找出 t = 1、2、3 和 5 秒时的瞬时加速度。
根据加速度和速度向量的方向解释 (c) 的结果。

策略

我们通过取速度函数的导数来找到加速度的函数形式。然后，我们根据给定函数计算每个的瞬时速度和加速度的值。对于 (d) 部分，我们需要比较每次的速度和加速度方向。

解决方案

a (t) =\(\frac{dv(t)}{dt}\) dv (t) dt = 20 − 10t m/s ₂
v (1 s) = 15 m/s，v (2 s) = 20 m/s，v (3 s) = 15 m/s，v (5 s) = −25 m/s
a (1 s) = 10m/s ²，a (2 s) = 0m/s ²，a (3 s) = −10m/s ²，a (5 s) = −30m/s ²
在 t = 1 s 时，速度 v (1 s) = 15 m/s 为正，加速度为正，因此速度和加速度方向相同。粒子移动得更快。

在 t = 2 s 时，速度增加到 v (2 s) = 20 m/s，其中为最大值，对应于加速度为零的时间。我们可以看到，当速度函数的斜率为零（这只是加速度函数的零）时，就会出现最大速度。

t = 3 秒时，速度为 v (3 s) = 15 m/s，加速度为负。粒子降低了速度，加速度向量为负。粒子正在减速。

t = 5 秒时，速度为 v (5 s) = −25 m/s，加速度越来越为负。在 t = 3 s 和 t = 5 秒之间，粒子的速度降低到零，然后变为负数，从而反转了方向。粒子现在又在加速，但方向相反。

我们可以在图中以图形方式看到这些结果\(\PageIndex{7}\)。

图 A 显示了以米/秒为单位绘制的速度与时间（以秒为单位）的关系。速度从零开始，在 1 秒时增加到 15，在 2 秒时达到最大值 20。它在 3 秒钟时减少到 15，在 5 秒后继续减少到 -25。图 B 显示了以米/秒为单位绘制的加速度与时间（以秒为单位）的平方。图形是线性的，斜率为负。当时间为零时，加速从 20 开始，1 秒时减至 10，2 秒时减至零，3 秒时减至 -10，以及 -30 和 5 秒。 — 图\(\PageIndex{7}\)：(a) 速度与时间的关系。切线以时间 1、2 和 3 秒表示。切线的斜率是加速度。 t = 3 s 时，速度为正。 t = 5 s 时，速度为负值，表示粒子的方向相反。 (b) 加速度与时间的关系。将黑点给出的加速度值与 (a) 中切线（直线穿过黑点的斜率）的相应斜率进行比较，我们发现它们是相同的。

意义

通过对粒子的速度和加速度进行数值和图形分析，我们可以学到很多关于其运动的知识。数值分析是对图形分析的补充，提供了运动的总体视图。加速函数的零对应于本示例中速度的最大值。同样在本示例中，当加速度为正值且与速度的方向相同时，速度会增加。当加速度趋向于零，最终变为负值时，速度达到最大值，之后开始降低。如果我们等待足够长的时间，速度也会变为负数，表示方向反转。这种运动的真实例子是速度增加到最大值的汽车，之后它开始减速，停下来，然后反向方向。

练习 3.4

一架飞机降落在向东行驶的跑道上。描述其加速度。

感受一下加速

当你踏上电梯或在车里踩油门踏板时，你可能已经习惯了加速。但是，宇宙中许多其他我们没有直接接触的物体正在发生加速。表 3.2 显示了各种物体的加速度。我们可以看到加速度的幅度超过了许多数量级。

表 3.2-加速度的典型值

（来源：维基百科：数量级（加速度））

加速	值 (m/s ²)
高速列车	0.25
电梯	2
猎豹	5
在地球表面附近自由落体且没有空气阻力的物体	9.8
航天飞机发射时的最大值	29
降落伞正常开启时跳伞运动员达到峰值	59
F16 飞机退出潜水	79
爆炸性座椅从飞机上弹出	147
短跑导弹	982
最快的火箭雪橇峰值加速度	1540
跳蚤	3200
棒球被蝙蝠击中	30,000
闭上陷阱蚂蚁的下巴	1,000,000
大型强子对撞机中的质子	1.9 x 10 ⁹

在此表中，我们可以看到，不同物体的典型加速度差异很大，与物体大小或体积大小无关。在物体运动期间，加速度也会随着时间的推移而有很大差异。飙车手在起步后会有很大的加速度，但是随着车辆达到恒定速度，加速度会逐渐减弱。它的平均加速度可能与其运动期间特定时间的即时加速度大不相同。 \(\PageIndex{8}\)该图以图形方式比较了两个截然不同的运动的平均加速度和瞬时加速度。

图 A 显示了以米/秒为单位绘制的加速度与时间（以秒为单位）的对比。加速度变化很小，并且始终朝着相同的方向发展，因为它是正值。间隔内的平均值与任何给定时间的加速度几乎相同。图 B 显示了以米/秒为单位绘制的加速度与时间（以秒为单位）的平方。加速度差异很大：从每秒 -4 米平方到 5 米每秒 2 平方不等。 — 图\(\PageIndex{8}\)：两个不同的一维运动的瞬时加速度与时间的关系图。 (a) 加速度变化很小，并且方向始终相同，因为它是正值。间隔内的平均值与任何给定时间的加速度几乎相同。 (b) 加速度差异很大，可能代表邮局传送带上的包裹在碰撞时会向前和向后加速。在这种情况下，有必要考虑具有恒定或几乎恒定加速度的小时间间隔（例如从 0—1.0 秒）。

模拟

了解位置、速度和加速度图。用鼠标来回移动小矮人并绘制他的动作。设置位置、速度或加速度，然后让模拟器为你移动人物。访问此链接以使用移动人模拟。