3.3: 瞬时速度和速度

学习目标

• 解释平均速度和瞬时速度之间的差异。
• 描述速度和速度之间的差异。
• 根据速度的数学方程计算瞬时速度。
• 在给定瞬时速度的情况下计算速度。

我们现在已经看到了如何计算两个位置之间的平均速度。 但是，由于现实世界中的物体在时空中不断移动，因此我们希望找到物体在任何单点上的速度。 通过使用微积分的一些基本原理，我们可以找到物体在其路径上任何地方的速度。 本节让我们更好地了解运动物理学，并将在后面的章节中很有用。

瞬时速度

告诉我们物体沿其路径任意位置移动的速度的量是瞬时速度，通常简称为速度。 两点之间的时间（以及位移）接近零是极限内路径上两点之间的平均速度。 为了用数学方法说明这个概念，我们需要将位置 x 表示为 t 的连续函数，由 x (t) 表示。 使用此表示法表示两点之间的平均速度的表达式为$\bar{v} = \frac{x(t_{2}) - x(t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$。 为了找到任何位置的瞬时速度，我们让 t ₁ = t 和 t ₂ = t +$\Delta$ t。在将这些表达式插入平均速度方程并将极限设为$\Delta$ t → 0 之后，我们找到了瞬时速度的表达式：

$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx(t)}{dt} \ldotp$$

瞬时速度

物体的瞬时速度是经过时间接近零时平均速度的极限，或者是 x 相对于 t 的导数：

$$v(t) = \frac{d}{dt} x(t) \ldotp \label{3.4}$$

与平均速度一样，瞬时速度是一个具有每次长度维度的矢量。 特定时间点 t ₀ 的瞬时速度是位置函数的变化率，即位置函数 x (t) 在 t ₀ 处的斜率。 该图$\PageIndex{1}$显示了两次$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$之间的平均速度如何接近 t ₀ 处的瞬时速度。 瞬时速度显示在时间 t ₀ 处，恰好处于位置函数的最大值。 此时位置图的斜率为零，因此瞬时速度为零。 在其他时候，t ₁、t ₂ 等等，瞬时速度不为零，因为位置图的斜率为正或负。 如果位置函数具有最小值，则位置图的斜率也将为零，因此那里的瞬时速度也为零。 因此，速度函数的零给出了位置函数的最小值和最大值。

图$\PageIndex{1}$：在位置与时间的关系图中，瞬时速度是给定点处切线的斜率。 显示了时间$\Delta$ t = t ₆ − t ₁、t =$\Delta$ t ₅ − t ₂ 和 t =$\Delta$ t ₄ − t _{3$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{f} - x_{i}}{t_{f} - t_{i}}$} 之间的平均速度。 当$\Delta$ t → 0 时，平均速度接近 t = t ₀ 时的瞬时速度。

示例 3.2：从位置与时间图中查找速度

给出图中的位置与时间图$\PageIndex{2}$，找到速度与时间的对比图。

图$\PageIndex{2}$：物体从正方向开始，停止一小段时间，然后反向方向，向原点移动。 请注意，物体会立即休息，这将需要无限的力。 因此，该图是现实世界中运动的近似值。 （牛顿运动定律中讨论了力的概念。）

策略

该图包含三个时间间隔内的三条直线。 我们通过使用网格计算直线的斜率来找到每个时间间隔内的速度。

解决方案

时间间隔 0 秒到 0.5 秒：$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.5\; m − 0.0\; m}{0.5\; s − 0.0\; s} = 1.0\; m/s$

时间间隔 0.5 秒到 1.0 秒：$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.0\; m − 0.0\; m}{1.0\; s − 0.5\; s} = 0.0\; m/s$

时间间隔 1.0 秒到 2.0 秒：$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.0\; m − 0.5\; m}{2.0\; s − 1.0\; s} = -0.5\; m/s$

这些速度与时间值的关系如图所示$\PageIndex{3}$。

图$\PageIndex{3}$：行程第一部分的速度为正，物体停止时的速度为零，当物体反转方向时为负。

意义

在 0 秒到 0.5 秒的时间间隔内，物体的位置正在远离原点，并且位置与时间曲线呈正斜率。 在这段时间间隔内，在曲线上的任何一点，我们可以通过取其斜率（+1 m/s）来找到瞬时速度，如图所示$\PageIndex{3}$。 在随后的时间间隔中，在 0.5 秒到 1.0 秒之间，位置没有变化，我们看到斜率为零。 从 1.0 秒到 2.0 秒，物体向原点移动，斜率为 −0.5 m/s。物体方向反向且速度为负。

速度

在日常语言中，大多数人可以互换使用速度和速度这两个术语。 但是，在物理学中，它们的含义不同，是不同的概念。 一个主要区别是速度没有方向；也就是说，速度是一个标量。

我们可以通过计算总行驶距离除以经过的时间来计算平均速度：

$$Average\; speed = \bar{s} = \frac{Total\; distance}{Elapsed\; time} \ldotp \label{3.5}$$

平均速度不一定与平均速度的大小相同，后者是通过将总位移的大小除以经过的时间得出的。 例如，如果行程在同一地点开始和结束，则总位移为零，因此平均速度为零。 但是，平均速度不为零，因为总行驶距离大于零。 如果我们进行300公里的公路旅行，并且需要在特定时间到达目的地，那么我们会对我们的平均速度感兴趣。

但是，我们可以根据瞬时速度的大小来计算瞬时速度：

$$Instantaneous\; speed = |v(t)| \ldotp \label{3.6}$$

如果一个粒子以 +7.0 m/s 的速度沿 x 轴移动，而另一个粒子以 −7.0 m/s 的速度沿同一轴移动，则它们的速度不同，但两者的速度相同，均为 7.0 m/s。一些典型的速度如下表所示。

表 3.1-各种物体的速度

速度	m/s	mi/h
大陆漂移	10 ^-7	2 x 10 ^-7
快走	1.7	3.9
骑自行车的人	4.4	10
短跑运动员	12.2	27
农村限速	24.6	56
官方陆地速度记录	341.1	763
海平面上的声速	343	768
航天飞机正在重试	7800	17,500
地球逃生速度*	11,200	25,000
地球绕太阳的轨道速度	29,783	66,623
真空中的光速	299,792,458	670,616,629
*逃跑速度是指物体必须发射的速度，这样它才能克服地球的重力并且不会被拉回地球。

计算瞬时速度

在计算瞬时速度时，我们需要指定位置函数 x (t) 的显式形式。 如果 x (t) 方程中的每个项都采用 At ⁿ 的形式，其中 A 是常数，n 是整数，则可以使用以下乘方规则来区分：

$$\frac{d\left(A t^{n}\right)}{d t}=A n t^{n-1} \ldotp \label{3.7}$$

请注意，如果将其他项加在一起，则可以多次使用该微分乘法则，解是这些项的总和。 以下示例说明了方程\ ref {3.7} 的用法。

示例 3.3：瞬时速度与平均速度

粒子的位置由 x (t) = 3.0t + 0.5t ³ m 给出。

1. 使用方程\ ref {3.4} 和方程\ ref {3.7}，找出 t = 2.0 秒时的瞬时速度。
2. 计算 1.0 秒到 3.0 秒之间的平均速度。

策略

方程\ ref {3.4} 将粒子的瞬时速度作为位置函数的导数。 从给定位置函数的形式来看，我们可以发现它是 t 中的多项式。因此，我们可以使用方程\ ref {3.7}（微积分的幂法则）来求解。 我们使用方程\ ref {3.6} 来计算粒子的平均速度。

解决方案

1. v (t)$\frac{dx(t)}{dt}$ = 3.0 + 1.5t ² m/s。将 t = 2.0 s 代入这个方程得出 v (2.0 s) = [3.0 + 1.5 (2.0) ²] m/s = 9.0 m/s。
2. 为了确定介于 1.0 秒和 3.0 秒之间的粒子平均速度，我们计算了 x (1.0 s) 和 x (3.0 s) 的值：

$$x(1.0 s) = \big[(3.0)(1.0) + 0.5(1.0)^{3} \big]m = 3.5\; m$$

$$x(3.0 s) =\big[(3.0)(3.0) + 0.5(3.0)^{3}\big] m = 22.5\; m$$

那么平均速度是

$$\bar{v} = \frac{x(3.0\; s) - x(1.0\; s)}{t(3.0\; s) - t(1.0\; s)} = \frac{22.5 - 3.5\; m}{3.0 - 1.0\; s} = 9.5\; m/s \ldotp$$

意义

在用于计算的时间间隔为零的极限中，获得的值$\bar{v}$会$\bar{v}$收敛 v 的值。

示例 3.4：瞬时速度与速度

考虑一下位置为 x (t) = 3.0t − 3t ² m 的粒子的运动。

1. t = 0.25 s、t = 0.50 s 和 t = 1.0 秒时的瞬时速度是多少？
2. 此时粒子的速度是多少？

策略

瞬时速度是位置函数的导数，速度是瞬时速度的大小。 我们使用方程\ ref {3.4} 和方程\ ref {3.7} 来求解瞬时速度。

解决方案

1. v (t)$\frac{dx(t)}{dt}$ = 3.0 − 6.0t m/s
2. v (0.25 秒) = 1.50 m/s，v (0.5 s) = 0 m/s，v (1.0 s) = −3.0 m/s
3. 速度 = |v (t) | = 1.50 m/s、0.0 m/s 和 3.0 m/s

意义

粒子的速度为我们提供了方向信息，表示粒子正在向左（西）或右（东）移动。 速度给出了速度的大小。 通过将位置、速度和速度绘制为时间函数，我们可以直观地理解这些概念$\PageIndex{4}$。 在 (a) 中，图表显示粒子沿正方向移动，直到 t = 0.5 s，然后反向移动。 在 (b) 中，也可以在 0.5 秒处看到方向的反转，其中速度为零，然后变为负值。 在 1.0 秒时，它又回到了起始原点。 粒子在 (b) 中 1.0 秒处的速度为负数，因为它朝负方向移动。 但是，在（c）中，它的速度为正值，并且在整个行程时间内保持正值。 我们也可以将速度解释为位置与时间图的斜率。 x (t) 的斜率向零减小，在 0.5 秒时变为零，此后逐渐变为负值。 这种对比位置、速度和速度图表的分析有助于发现计算中的错误。 这些图表必须彼此一致，并有助于解释计算。

图$\PageIndex{4}$：(a) 位置：x (t) 与时间的对比。 (b) 速度：v (t) 与时间的关系。 位置图的斜率是速度。 将 (a) 中切线在 0.25 s、0.5 s 和 1.0 秒处的斜率与相应时间的速度值进行粗略比较表明它们是相同的值。 (c) 速度：|v (t) | 与时间的对比。 速度始终为正数。

练习 3.2

物体作为时间函数的位置为 x (t) = −3t ² m。(a) 物体的速度随时间变化是多少？ (b) 速度是否为正值？ (c) t = 1.0 秒时的速度和速度是多少？