3.2: 位置、位移和平均速度

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学习目标

定义位置、位移和行进距离。
以时间函数形式计算给定位置的总位移。
确定总行驶距离。
根据位移和经过的时间计算平均速度。

当你运动时，要问的基本问题是：你在哪里？你要去哪里？你到达那里的速度有多快？这些问题的答案要求您指定位置、位移和平均速度，即我们在本节中定义的术语。

位置

要描述物体的运动，首先必须能够描述其位置 (x)：它在任何特定时间的位置。更确切地说，我们需要指定它相对于方便的参考框架的位置。参考系是一组任意的轴，从中描述物体的位置和运动。地球经常被用作参照基准，我们经常描述物体与地球上静止物体的关系。例如，火箭发射可以用火箭相对于整个地球的位置来描述，而骑自行车的人的位置可以用她相对于她经过的建筑物的位置来描述$\PageIndex{1}$。在其他情况下，我们使用的参考系不是静止的，而是相对于地球运动的。例如，为了描述一个人在飞机中的位置，我们使用飞机而不是地球作为参考框架。为了描述正在进行一维运动的物体的位置，我们经常使用变量 x。在本章的后面，在讨论自由落体时，我们将使用变量 y。

图为三个人在运河旁骑自行车。 — 图$\PageIndex{1}$：这些在越南骑自行车的人可以用他们相对于建筑物或运河的位置来描述。它们的运动可以通过它们在参考系中的位置变化或位移来描述。（来源：苏珊·布莱克）

位移

如果物体相对于参考框架移动（例如，如果教授相对于白板图向右移动$\PageIndex{2}$），则该物体的位置会发生变化。这种位置的变化称为位移。 “位移” 一词表示物体已移动或已移动。尽管位置是 x 沿着物体可能所在的直线的数值，但位移表示沿着这条直线位置的变化。由于位移表示方向，因此它是一个向量，可以是正向或负值，具体取决于正方向的选择。此外，运动分析中可以嵌入许多位移。如果向右移动 2 m，则物体向右移动 2 m，然后向左移动 4 m，则各个位移分别为 2 m 和 −4 m。

位移

位移$\Delta$ x 是物体位置的变化：

\[\Delta x = x_{f} - x_{0}, \label{3.1}\]

其中$\Delta$ x 是位移，x _f 是最终位置，x ₀ 是初始位置。

我们使用大写的希腊字母 delta ($\Delta$) 来表示 “变化”，无论其后面是多少；因此，$\Delta$x 表示位置的变化（最终位置减去初始位置）。我们总是通过从最终位置 x _f 中减去初始位置 x ₀ 来求解位移。请注意，位移的 SI 单位是米，但有时我们使用千米或其他长度单位。请记住，在问题中使用米以外的单位时，可能需要将它们转换为米才能完成计算（参见附录 B）。

运动中的物体也可能有一系列位移。在前一个起搏教授的例子中，单个位移分别为 2 m 和 −4 m，得出的总位移为 −2 m。我们将总位移$\Delta$ x T _otal 定义为单个位移的总和，然后用数学表示此值方程

\[\Delta x_{Total} = \sum \Delta x_{i}, \label{3.2}\]

其中$\delta$ x _i 是单个位移。在前面的示例中，

\[\Delta x_{1} = x_{1} - x_{0} = 2 - 0 = 2\; m \ldotp\]

同样，

\[\Delta x_{2} = x_{2} - x_{1} = -2 - (2) = -4 \; m \ldotp\]

因此，

\[\Delta x_{total} = x_{1} + x_{2} = 2 - 4 = -2\; m \ldotp\]

总位移为向左 2 − 4 = −2 m，或向负方向移动。计算位移的大小或其大小也很有用。位移的大小始终为正。这是位移的绝对值，因为位移是一个矢量，不能有负的量值。在我们的示例中，总位移的大小为 2 m，而单个位移的大小为 2 m 和 4 m。

不应将总位移的大小与行进距离混淆。行进距离 x _总距离，是在两个位置之间行驶的路径的总长度。在前一个问题中，行进距离是单个位移量值的总和：

\[x_{total} = |x_{1}| + |x_{2}| = 2 + 4 = 6\; m \ldotp\]

平均速度

要计算运动学中的其他物理量，我们必须引入时间变量。时间变量不仅允许我们说明物体在运动过程中的位置（位置），还可以说明它移动的速度。物体移动的速度由位置随时间变化的速度给出。

对于每个位置 x _i，我们为 t _i 分配一个特定的时间。如果每个时刻的运动细节都不重要，则速度通常表示为平均速度$\bar{v}$。这个向量量就是两点之间的总位移除以两点之间行驶所花费的时间。在两点之间行驶所花费的时间称为经过的时间$\Delta$ t。

平均速度

如果 x ₁ 和 x ₂ 分别是物体在 t ₁ 和 t ₂ 处的位置，那么

\[\begin{split} Average\; velocity =\; & \bar{v} = \frac{Displacement\; between\; two\; points}{Elapsed\; time\; between\; two\; points} \\ & \bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} \ldotp \end{split} \label{3.3}\]

需要注意的是，平均速度是一个矢量，可以为负数，具体取决于位置 x ₁ 和 x ₂。

示例 3.1：投递传单

吉尔从家里出发，运送传单供她的院子出售，沿着两旁都是房屋的街道向东行驶。在 0.5 公里和 9 分钟后，她的传单用完了，必须回到家里才能获得更多传单。这需要额外的 9 分钟。拿起更多传单后，她再次走上同一条路，继续从上次停下来的地方出发，最后离家1.0公里。她的第三站旅程需要 15 分钟。此时她转回自己的房子，向西行驶。 1.75 公里和 25 分钟后，她停下来休息。

吉尔到停下来休息的总位移量是多少？
最终位移的幅度是多少？
她整个行程中的平均速度是多少？
总行驶距离是多少？
绘制位置与时间的对比图。吉尔的动作草图如图所示$\PageIndex{3}$。

该图显示了一个人的运动时间表。第一次从家向右移动 0.5 千米。第二次位移回到起点。第三个位移向右移动 1.0 千米。第四个位移是从最后一个点向左移1.75千米。 — 图$\PageIndex{3}$：吉尔动作时间表。

策略

这个问题包含有关吉尔旅程各段的数据，因此列出一个物理量表会很有用。我们在问题的措辞中被赋予了位置和时间，这样我们就可以计算出位移和经过的时间。我们以东为正方向。根据这些信息，我们可以找到总位移和平均速度。吉尔的家是起点 x ₀。下表给出了 Jill 在前两列中的时间和位置，位移在第三列中计算。

时间 t _i（分钟）	位置 x _i (km)	位移$\Delta$ x _i (km)
t ₀ = 0	x ₀ = 0	$\Delta$x ₀ = 0
t ₁ = 9	x ₁ = 0.5	$\Delta$x ₁ = x ₁ − x ₀ = 0.5
t ₂ = 18	x ₂ = 0	$\Delta$x2= x ₂ − x ₁ = -0.5
t ₃ = 33	x ₃ = 1.0	$\Delta$x ₃ = x ₃ − x ₂ = 1.0
t ₄ = 58	x ₄ = -0.75	$\Delta$x ₄ = x ₄ − x ₃ = -1.75

解决方案

从上表来看，总排水量为 $$\ sum\ Delta x_ {i} = 0.5-0.5 + 1.0-1.75\; km = -0.75\; km\ ldotp$$
总位移的大小为 |−0.75| km = 0.75 km。
$$Average\; 速度 =\ frac {Total\; 排量} {已过\; time} =\ bar {v} =\ frac {-0.75\; km} {58\; min} = -0.013\; km/min$$
总行进距离（单个位移量值之和）为 $$x_ {Total} =\ sum |\ Delta x_ {i} | = 0.5 + 0.5 + 1.75\; km = 3.75\; km\ ldotp$$
我们可以绘制吉尔的位置与时间的关系，以此作为观察运动的有用辅助工具；图表如图所示$\PageIndex{4}$。

图表以千米为单位显示了按时间函数绘制的位置（以分钟为单位）。 — 图$\PageIndex{4}$：这张图描绘了 Jill 的位置与时间的关系。平均速度是连接初始点和终点的直线的斜率。

意义

吉尔的总排水量为 −0.75 km，这意味着在行程结束时，她最终会在离家以西 0.75 公里处行驶。平均速度意味着，如果有人在吉尔离开家的同时以0.013 km/min的速度向西行走，他们俩将同时到达最后的停靠点。请注意，如果吉尔结束在家的旅行，她的总排水量将为零，平均速度也将为零。她在 58 分钟的行程时间内行驶的总距离为 3.75 km。

练习 3.1

骑自行车的人向西行驶 3 公里，然后转身向东骑行 2 公里。 (a) 他的位移情况如何？ (b) 行驶的距离是多少？ (c) 他流离失所的严重程度如何？

该图显示了骑车人的运动时间表。第一个位移向左移动 3.0 千米。第二个位移量是从最后一个点向右移动 2.0 千米。

时间 t _i（分钟）	位置 x _i (km)	位移\(\Delta\) x _i (km)
t ₀ = 0	x ₀ = 0	\(\Delta\)x ₀ = 0
t ₁ = 9	x ₁ = 0.5	\(\Delta\)x ₁ = x ₁ − x ₀ = 0.5
t ₂ = 18	x ₂ = 0	\(\Delta\)x2= x ₂ − x ₁ = -0.5
t ₃ = 33	x ₃ = 1.0	\(\Delta\)x ₃ = x ₃ − x ₂ = 1.0
t ₄ = 58	x ₄ = -0.75	\(\Delta\)x ₄ = x ₄ − x ₃ = -1.75