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1.E：单位和测量（练习）

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    概念性问题

    1.1 物理学的范围和规模

    1. 什么是物理学？
    2. 有些人将物理学描述为 “追求简单”。 解释为什么这可能是个恰当的描述。
    3. 如果两种不同的理论同样很好地描述了实验观测结果，那么可以说其中一种理论比另一种更有效吗（假设两者都使用公认的逻辑规则）？
    4. 什么决定了理论的有效性？
    5. 如果要相信测量或观测结果，必须满足某些标准。 预期结果的标准是否一定和意想不到的结果一样严格？
    6. 模型的有效性能否受到限制，还是必须普遍有效？ 这与理论或法律所需的有效性相比如何？

    1.2 单位和标准

    1. 找出公制单位的一些优点。
    2. 长度、质量和时间的 SI 基本单位是多少？
    3. 基本单位和派生单位有什么区别？ (b) 基本数量和派生数量有什么区别？ (c) 基本数量和基本单位有什么区别？
    4. 对于以下每种场景，请参阅图 1.4 和表 1.2，以确定测量仪上的哪个指标前缀最适合以下每种场景。 (a) 你想用表格列出太阳系中每颗行星与太阳的平均距离。 (b) 你想比较一些常见病毒的大小，设计一个能够阻断致病病毒的机械过滤器。 (c) 你想列出元素周期表上所有元素的直径。 (d) 你想列出与10年前已经收到来自地球的任何无线电广播的所有恒星的距离。

    1.6 重要数字

    1. (a) 测量的精度和不确定度之间有什么关系？ (b) 测量的精度和差异之间有什么关系？

    1.7 解决物理学中的问题

    1. 您需要什么信息来选择使用哪个方程或方程来解决问题？
    2. 在解决问题时获得数字答案后你该怎么做？

    问题

    1.1 物理学的范围和规模

    1. 求出以下物理量的数量级。
      1. 地球大气层的质量：5.1×10 18 千克；
      2. 月球大气层的质量：25,000千克；
      3. 地球水圈的质量：1.4×10 21 千克；
      4. 地球的质量：5.97×10 24 千克；
      5. 月球的质量：7.34×10 22 千克；
      6. 地月距离（半长轴）：3.84×10 8 m；
      7. 平均地球与太阳距离：1.5×10 11 m；
      8. 地球的赤道半径：6.38×10 6 m；
      9. 电子的质量：9.11×10 −31 kg；
      10. 质子的质量：1.67×10 −27 kg；
      11. 太阳的质量：1.99×10 30 千克。
    2. 使用您在上一个问题中找到的数量级来回答以下问题，精确到一个数量级以内。
      1. 等于质子的质量需要多少电子？
      2. 要等于太阳的质量需要多少地球？
      3. 覆盖从地球到太阳的距离需要多少地球与月球的距离？
      4. 需要多少月球大气层才能等同于地球大气层的质量？
      5. 需要多少颗卫星才能等同于地球的质量？
      6. 需要多少质子才能等于太阳的质量？

    对于其余的问题，您需要使用图 1.4 来获得必要的长度、质量和时间的数量级。

    1. 一生中大约有多少心跳？
    2. 一代人大约是一生的三分之一。 自公元0年以来已经过去了大约几代人？
    3. 人类的寿命大约比极不稳定的原子核的平均寿命长多少倍？
    4. 计算细菌中原子的近似数量。 假设细菌中原子的平均质量是质子质量的10倍。
    5. (a) 假设普通细胞的质量是细菌质量的10倍，计算蜂鸟中的细胞数量。 (b) 做出同样的假设，人体内有多少细胞？
    6. 假设一个神经冲动必须在另一个神经冲动开始之前结束，那么以每秒冲动为单位的神经的最大射速是多少？
    7. 一台超级计算机每年能执行多少浮点运算？
    8. 一台超级计算机在人类的一生中大约可以执行多少浮点运算？

    1.2 单位和标准

    1. 以下时间是使用基本 SI 时间单位的指标前缀给出的：秒。 用不带前缀的科学记数法重写它们。 例如，47 T 将被重写为 4.7 × 10 13 秒。
      1. 980 Ps；
      2. 980 fs；
      3. 17 ns；
      4. 577 µs。
    2. 以下时间以秒为单位给出。 使用指标前缀对其进行重写，使数值大于一但小于 1000。 例如，7.9 × 10 −2 秒可以写成 7.9 cs 或 79 ms。
      1. 9.57×10 5 s；
      2. 0.045 秒；
      3. 5.5×10 −7 秒;
      4. 3.16×10 7 秒
    3. 以下长度是使用基本 SI 长度单位的公制前缀给出的：米。 用不带前缀的科学记数法重写它们。 例如，4.2 Pm 将被重写为 4.2 × 10 15 m。
      1. 89 Tm；
      2. 晚上 89 点；
      3. 711 毫米；
      4. 0.45 µm。
    4. 以下长度以米为单位给出。 使用指标前缀对其进行重写，使数值大于一但小于 1000。 例如，7.9 × 10 −2 m 可以写成 7.9 厘米或 79 毫米。
      1. 7.59×10 7 m；
      2. 0.0074 m；
      3. 8.8×10 −11 m；
      4. 1.63×10 13 m。
    5. 以下质量使用克上的度量前缀书写。 用 SI 基本质量单位：千克，用科学记数法重写它们。 例如，40 Mg 将被写成 4 × 10 4 千克。
      1. 23 毫克；
      2. 320 Tg;
      3. 42 ng;
      4. 7 克;
      5. 9 Pg。
    6. 以下质量以千克为单位给出。 在克上使用度量前缀将其重写，使数值大于 1 但小于 1000。 例如，7×10−4 千克可以写成 70 cg 或 700 mg。
      1. 3.8×10−5 千克；
      2. 2.3×1017 千克；
      3. 2.4×10−11 千克；
      4. 8×1015 千克；
      5. 4.2 × 10−3 千克。

    1.3 单位换算

    1. 地球的体积约为 10 21 m 3。 (a) 以立方千米（km 3）为单位是多少？ (b) 以立方英里（mi 3）为单位是多少？ (c) 以立方厘米 (cm 3) 为单位是多少？
    2. 一些州际公路的限速约为 100 km/h。(a) 这是多少（以米/秒为单位）？ (b) 这是每小时多少英里？
    3. 汽车以 33 m/s 的速度行驶。(a) 以每小时千米为单位的速度是多少？ (b) 是否超过 90 公里/小时的限速？
    4. 在 SI 单位中，速度以米每秒 (m/s) 为单位测量。 但是，根据你居住的地方，你可能更愿意用每小时千米（km/h）或每小时英里数（mi/h）来考虑速度。 在这个问题中，你会看到 1 m/s 大约是 4 km/h 或 2 mi/h，这在培养你的身体直觉时很方便。 更确切地说，显示 (a) 1.0 m/s = 3.6 km/h，(b) 1.0 m/s = 2.2 mi/h。
    5. 美式足球在 100 码长的场地上进行，不包括终点区域。 该字段有多长（以米为单位）？ （假设 1 m = 3.281 英尺）
    6. 足球场的大小各不相同。 大型足球场长 115 米，宽 85.0 米。 它的面积是多少（以平方英尺为单位）？ （假设 1 m = 3.281 英尺）
    7. 身高 6 英尺 1.0 英寸的人的身高是多少（以米为单位）？
    8. 珠穆朗玛峰高29,028英尺，是地球上最高的山峰。 它以千米为单位的高度是多少？ （假设 1 m = 3.281 英尺）
    9. 某一天的声速测量为342 m/s。 这个测量单位是多少（千米/小时）？
    10. 构造板块是地壳中移动缓慢的大部分。 假设一块这样的板的平均速度为 4.0 cm/yr。 (a) 它以这种速度在 1.0 秒内移动多远距离？ (b) 以每百万年千米为单位的速度是多少？
    11. 地球和太阳之间的平均距离为1.5×10 11 m。（a）以米/秒为单位计算地球在其轨道（假设为圆形）上的平均速度。 (b) 这个速度是多少（以英里/小时为单位）？
    12. 核物质的密度约为 10 18 kg/m 3。 鉴于 1 mL 的体积等于 cm 3，那么以兆克/微升（即 mg/µL）为单位的核物质的密度是多少？
    13. 铝的密度为 2.7 g/cm 3。 以千克/立方米为单位的密度是多少？
    14. 英语系统中常用的质量单位是磅质量，缩写为 lbm，其中 1 lbm = 0.454 kg。 以每立方英尺磅质量为单位的水密度是多少？
    15. 弗隆是 220 码。 两周等于 2 周。 将每两周一弗隆的速度转换为每秒毫米。
    16. 绕过一个圆需要\(2 \pi\)弧度 (rad)，这与 360° 相同。 1° 中有多少弧度？
    17. 光的传播距离约为 3×10 8 m/s。一光分钟是光在 1 分钟内传播的距离。 如果太阳距离地球 1.5 × 10 11 米，那么在光分钟内它有多远？
    18. 光纳秒是光在 1 ns 内传播的距离。 将 1 英尺转换为光纳秒。
    19. 电子的质量为 9.11×10 −31 千克。 质子的质量为 1.67×10 −27 千克。 电子质量中质子的质量是多少？
    20. 液体盎司约为 30 mL。 一罐 12 液体盎司的汽水的体积是多少（以立方米为单位）？

    1.4 尺寸分析

    1. 一位学生正在尝试记住几何学中的一些公式。 在接下来的内容中，假设 A 是面积，V 是体积，所有其他变量都是长度。 确定哪些公式在尺寸上是一致的。 (a) V =\(\pi r^{2} h\)；(b) A =\(2 \pi r^{2} + 2 \pi r h\)；(c) V = 0.5bh；(d) V =\(\pi d^{2}\)；(e) V =\(\frac{\pi d^{3}}{6}\)
    2. 考虑物理量 s、v、a 和 t，维度 [s] = L，[v] = LT −1，[a] = LT −2，[t] = T。确定以下每个方程在维度上是否一致。 (a) v 2 = 2as；(b) s = vt 2 + 0.5at 2；(c) v = s/t；(d) a = v/t。
    3. 以物理量 m、s、v、a 和 t 为例，维度为 [m] = M，[s] = L，[v] = LT —1，[a] = LT —2，[t] = T 假设以下每个方程在尺寸上都一致，请在方程左侧找到量的维度：(a) F = ma；(b) K =0.5mv 2；(c) p = mv；(d) W = mas；(e) L = mvr。
    4. 假设数量 s 是一个长度而数量 t 是一个时间。 假设量 v 和 a 由 v = ds/dt 和 a = dv/dt 定义。 (a) v 的维度是多少？ (b) 数量 a 的尺寸是多少？ (c)\(\int\) vdt、(d)\(\int\) adt 和 (e) da/dt 的尺寸是多少？
    5. 假设 [V] = L3，[] = ML —3，[t] = T. (a)\(\int \rho\) dV 的维度是多少？ (b) dv/dt 的尺寸是多少？ (c) (dV/dt\(\rho\)) 的尺寸是多少？
    6. 弧长公式表示，由半径为 r 的圆\(\Theta\)中的角度所减去的弧长 s 由方程 s = r 给出\(\Theta\)。 (a) s、(b) r 和 (c) 的维度是\(\Theta\)多少？

    1.5 估计值和费米计算

    1. 假设人体主要由水组成，估计一个人的体积。
    2. 假设人体主要由水组成，请估计其中的分子数量。 （请注意，水的分子质量为 18 g/mol，一颗摩尔中大约有 10 24 个原子。）
    3. 估计教室里的空气质量。
    4. 估计构成地球的分子数量，假设平均分子质量为 30 g/mol。 （注意每颗摩尔大约有 10 24 个物体。）
    5. 估计一个人的表面积。
    6. 大概需要多少太阳系才能平铺银河系的圆盘？
    7. (a) 估计月球的密度。 (b) 估计月球的直径。 (c) 鉴于月球在天空中以大约半度的角度消退，估计它与地球的距离。
    8. 太阳的平均密度约为 10 3 kg/m 3。 (a) 估计太阳的直径。 (b) 鉴于太阳在天空中以大约半度的角度消退, 估计它与地球的距离. 64. 估计病毒的质量。
    9. 浮点运算是一种单一算术运算，例如加法、减法、乘法或除法。 (a) 估计人类一生中可能进行的最大浮点运算次数。 (b) 超级计算机执行那么多浮点运算需要多长时间？

    1.6 重要数字

    1. 考虑方程 4000/400 = 10.0。 假设答案中的重要数字数量是正确的，那么对于4000和400中的重要数字的数量，你能说些什么？
    2. 假设您的浴室秤显示您的体重为 65 kg，不确定性为 3%。 你的质量的不确定性是多少（以千克为单位）？
    3. 质量好的卷尺在 20 m 的距离内可以偏离 0.50 厘米。它的不确定度百分比是多少？
    4. 测量婴儿的脉搏率为每分钟 130 ± 5 次。 此测量的不确定度百分比是多少？
    5. (a) 假设一个人的平均心率为72.0次/分钟。 他或她在 2.0 年内有多少节拍？ (b) 在 2.00 年后？ (c) 在 2.000 年后？
    6. 一罐含有 375 毫升的苏打水。 去除 308 mL 后还剩下多少？
    7. 说明以下计算结果中有多少重要数字是正确的：(a) (106.7) (98.2)/(46.210) (1.01)；(b) (18.7) 2；(c) (1.60×10 −19) (3712)
    8. (a) 数字 99 和 100 中有多少重要数字。？ (b) 如果每个数字的不确定性为 1，则每个数字的不确定性百分比是多少？ (c) 哪一种更有意义的方式来表达这两个数字的准确性：重要数字还是不确定性百分比？
    9. (a) 如果你的车速表在 90 km/h 的速度下有 2.0 km/h 的不确定性，那么不确定性百分比是多少？ (b) 如果它在读取 60 km/h 时具有相同百分比的不确定性，那么你能走的速度范围是多少？
    10. (a) 测量一个人的血压为120±2 mm Hg。 它的不确定性百分比是多少？ (b) 假设不确定度百分比相同，80 mm Hg的血压测量的不确定度是多少？
    11. 一个人通过计算 30 秒内的心跳次数来测量自己的心率。如果在 30.0 ± 0.5 秒内计算了 40±1 次心率，那么心率及其以每分钟心跳为单位的不确定性是多少？
    12. 直径为 3.102 厘米的圆的面积是多少？
    13. 确定以下测量值中重要数字的数量：(a) 0.0009、(b) 15,450.0、(c) 6×103、(d) 87.990 和 (e) 30.42。
    14. 执行以下计算，并使用正确的有效位数表示答案。 (a) 一位女士有两个重 13.5 磅的袋子和一个重量为 10.2 磅的袋子。这些袋子的总重量是多少？ (b) 物体上的力 F 等于其质量 m 乘以其加速度 a。如果质量为 55 kg 的货车以 0.0255 m/s 2 的速度加速，则货车上的力是多少？ （力单位称为牛顿，用符号 N 表示）

    其他问题

    1. 考虑方程 y = mt +b，其中 y 的维度是长度，t 的维度是时间，m 和 b 是常量。 (a) m 和 (b) b 的尺寸和 SI 单位是多少？
    2. 以方程为\(s = s_{0} + v_{0} t + \frac{a_{0} t^{2}}{2} + \frac{j_{0} t^{3}}{6} + \frac{S_{0} t^{4}}{24} + \frac{ct^{5}}{120}\)例，其中 s 是长度，t 是时间。 (a) s 0、(b) v 0、(c) a 0、(d) j 0、(e) S 0 和 (f) c 的尺寸和 SI 单位是多少？
    3. (a) 汽车速度计的不确定性为5％。 读取 90 km/h 时可能的速度范围是多少？ (b) 将此范围转换为英里/小时。 注意 1 km = 0.6214 英里。
    4. 马拉松运动员在 2 h、30 分钟和 12 秒内完成了 42.188 公里的路线。行进距离的不确定性为 25 m，所经过的时间的不确定性为 1 秒。 (a) 计算距离的不确定性百分比。 (b) 计算经过的时间内的不确定性百分比。 (c) 以米/秒为单位的平均速度是多少？ (d) 平均速度的不确定性是多少？
    5. 矩形小盒子的侧面测量为1.80±0.1厘米、2.05±0.02厘米和3.1±0.1厘米长。 计算其体积和不确定度（以立方厘米为单位）。
    6. 在英国使用非公制单位时，使用一种称为磅质量（lbm）的质量单位，其中 1 lbm = 0.4539 kg。 (a) 如果磅质量单位的不确定度为0.0001 kg，则其不确定性百分比是多少？ (b) 根据该百分比的不确定性，当转换为千克时，以磅质量为单位的多少质量的不确定性为1 kg？
    7. 矩形房间的长度和宽度测量为3.955±0.005 m和3.050±0.005 m。计算房间的面积及其不确定度（以平方米为单位）。
    8. 汽车发动机移动直径为7.500±0.002厘米的圆形横截面的活塞，距离为3.250±0.001厘米，以压缩气缸中的气体。 (a) 气体体积减少了多少（以立方厘米为单位）？ (b) 找出本卷中的不确定性。

    挑战问题

    1. 第一枚原子弹于 1945 年 7 月 16 日在洛斯阿拉莫斯以南约 200 英里处的三位一体试验场引爆。 1947 年，美国政府解密了一部关于爆炸的影片。 在这部影片中，英国物理学家G.I. Taylor得以确定爆炸产生的火球半径增长的速度。 然后，通过维度分析，他得以推断出爆炸中释放的能量，这在当时是一个严密保护的秘密。 因此，泰勒直到1950年才公布他的结果。 这个问题要求你重新创建这个著名的计算。
      1. 根据多年经验积累的敏锐物理洞察力，泰勒决定火球的半径 r 应仅取决于爆炸以来的时间 t、空气密度和最初爆炸的能量 E。因此，他做出了有根据的猜测，即\(r = kE^{a} \rho^{b} t^{c}\)对于某个无量纲常数 k还有一些未知指数 a、b 和 c。假定 [E] = ML 2 T —2，确定使该方程在维度上保持一致所需的指数值。 （提示：注意方程暗示了这一点，\(k = rE^{-a} \rho^{-b} t^{-c}\)而且 [k] = 1。）
      2. 通过分析来自高能常规炸药的数据，泰勒发现只要常数 k 的值为 1.03，他得出的公式似乎是有效的。 从胶片卷轴中，他能够确定 r 的许多值和 t 的相应值。例如，他发现 25.0 ms 后，火球的半径为 130.0 m。使用这些值以及 1.25 kg/m 3 的平均空气密度来计算三位一体的初始能量释放以焦耳 (J) 为单位的爆炸。 （提示：要获得以焦耳为单位的能量，你需要确保你替换的所有数字都以 SI 基本单位表示。） (c) 大型爆炸中释放的能量通常以 “TNT of TNT”（缩写为 “t TNT”）为单位引用，其中 1 t TNT 约为 4.2 GJ。 将你的答案 (b) 转换为千吨 TNT（即 kt TNT）。 将你的答案与物理学家恩里科·费米（Enrico Fermi）在原本被认为是安全的距离目睹爆炸后不久得出的10 kt TNT的快速估算值进行比较。 （据报道，费米是在冲击波残余物击中他之前丢下了一些碎纸，看看冲击波携带了多远，从而得出了他的估计。）
    2. 这个问题的目的是展示维度一致性的整个概念可以用一句老话 “你不能加苹果和橘子” 来概括。 如果你在微积分课程中研究过幂级数展开，你就会知道标准的数学函数，例如三角函数、对数和指数函数，可以表示为无限和，其\(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a^{3} x^{3} + \cdotp \cdotp \cdotp,\)中 a n 是所有 n = 0、1、2 的无量纲常数，和 x 是函数的参数。 （如果你还没有在微积分中研究过幂级数，请相信我们。） 用这个事实来解释为什么要求方程中的所有项都具有相同的维度就足以定义维度一致性。 也就是说，它实际上意味着标准数学函数的参数必须是无量纲的，因此实际上没有必要像我们在本节中所做的那样将后一个条件作为维度一致性定义的单独要求。

    贡献者和归因