11.3：解释货币的时间价值并计算一次性付款和年金的现在和未来价值
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你妈妈给你\(\$100\)现金买生日礼物，然后说：“明智地花钱。” 你想购买市场上最新的手机，但想知道这是否真的是你钱的最佳用途。 你可以选择：你可以现在花钱，也可以将来花钱。 你应该怎么做？ 与存钱供以后使用相比，现在花钱有好处吗？ 时间会影响你未来的金钱价值吗？ 企业在决定如何分配投资资金时会面临这些问题以及更多问题。 影响他们投资决策的一个主要因素是货币的时间价值的概念。
货币的时间价值基础知识
货币时间价值的概念断言，今天一美元的价值比将来一美元的价值更高。 这通常是因为现在可以用今天的一美元来赚更多的钱。 通常，未来还有通货膨胀的可能性，通货膨胀会随着时间的推移降低一美元的价值，并可能导致经济购买力的降低。
在这一点上，通货膨胀的潜在影响可能最好地用几个例子来证明。 第一个例子是福特野马。 第一辆福特野马于 1964 年售出\(\$2,368\)。 今天最便宜的野马起价为\(\$25,680\). 尽管这一增长的很大一部分是由于新车型的附加功能，但增长在很大程度上是由于1964年至2019年间的通货膨胀造成的。
房价也可以证明类似的通货膨胀特征。 第二次世界大战后, 典型的小房子通常在\(\$16,000\)和之间出售\(\$30,000\). 如今，这些房屋中有许多以数十万美元的价格出售。 增长的主要原因是该物业的位置，但很大一部分也归因于通货膨胀。 1964年至2019年间，野马的年通货膨胀率约为\(4.5\%\)。 如果我们假设房屋\(\$16,500\)在1948年售出，而2019年的房屋价格差不多\(\$500,000\)，那就是年升值率差不多\(5\%\)。
今天的美元也更有价值，因为与长期投资相比，其风险要小，长期投资可能会也可能不会产生预期的结果。 另一方面，如果有机会赚取利息，则延迟支付投资可能是有益的。 延迟付款的时间越长，可获得的收入潜力就越大。 这可能会吸引企业，并可能说服他们承担延期的风险。
企业在做出投资决定之前要考虑金钱的时间价值。 他们需要知道与今天的现值相比，他们的投资的未来价值是多少，以及由于延迟付款他们可以看到多少潜在收益。 这些考虑因素包括现在和未来的价值。
在了解现值和未来价值之前，重要的是要检查两种类型的现金流：一次性付款和年金。
一次性付款和年金
一次性付款是指一次性付款或在特定时间点偿还资金。 一次性付款可以是现值或未来价值。 对于一次性付款，现值是当今给定金额的价值。 例如，假如你今天以给定的利率存\(\$5,000\)入储蓄账户，目标是在整整三年内将其取出，那么\(\$5,000\)今天的利率将是目前的一次性价值。\(6\%\) 为简单起见，假设该账户\(6\%\)在每年年底支付，并且还会增加以前任何年份所得利息的利息。
在我们当前的示例中，利息每年计算一次。 但是，利息也可以通过多种方式计算。 一些最常见的利息计算方法是每日、每月、每季度或每年。 在利息计算中需要理解的一个重要概念是复利。 复利是指利用先前赚取的利息以及原始投资所赚取的利息赚取利息的过程。
以我们的例子为例，如果\(\$5,000\)存入储蓄账户三年，每年复利6％的利息，则该\(\$5,000\)投资在三年末的价值为\(\$5,955.08 (\$5,000 × 1.06 – \$5,300 × 1.06 – \$5,618 × 1.06 – \$5,955.08)\)。 \(\$5,955.08\)这是\(\$5,000\)投资三年的未来价值\(6\%\)。 更正式地说，未来价值是指单项投资或一系列投资在指定时间内以给定的利率增长的金额。 初始\(\$5,000\)投资是现值。 同样，更正式地说，现值是单一未来投资或一系列投资在特定时间内以给定利率的当前价值。 另一种表达方式是说，\(\$5,000\)这是初始金额投资三年\(\$5,955.08\)时的现值。\(6\%\) 三年期内赚取的利息将为\(\$955.08\)，其余\(\$5,000\)为原始存款\(\$5,000\)。
如示例所示，一次性付款的未来价值是给定投资在未来某个时候的价值。 也可以进行一系列付款，构成一系列一次性付款。 假设一家企业获得以下四种现金流。 它们构成了一系列一次性付款，因为它们的金额并不相同。
该公司将获得四笔现金流，全部是一次性付款。 在某些情况下，每个时间段发生的现金流量是相同的；换句话说，每个期间的现金流量都是偶数。 这些类型的均匀现金流以偶数间隔发生，例如每年一次，被称为年金。 下图显示了一笔年金，该年金由四年中\(\$12,000\)每年结束时支付的四笔款项组成。
现金流的性质——单笔现金流、甚至一系列的现金流或不平衡的一系列现金流——对复利有不同的影响。
复合
复利可以应用于许多类型的金融交易，例如为退休账户或大学储蓄账户注资。 假设个人投资\(\$10,000\)于四年期存款证账户，该账户在每年年底（在本例中为12月31日）支付\(10\%\)利息。 年内赚取的任何利息将保留到四年期结束，并且还将每年赚取\(10\%\)利息。
通过复利的影响（利息赚取利息），投资者从四年期投资\(\$4,641\)中获得了利息。 如果投资者扣除了所赚取的利息而不是将其再投资于账户，则投资者将获得\(\$1,000\)为期四年的四年\(\$4,000\)利息或利息（\(\$10,000 × 10\% = \$1,000\)每\(× 4\)年的\(= \$4,000\)总利息）。 复利是一个用于确定未来价值的概念（本节后面将介绍更详细的未来价值计算）。 但是现值呢？ 复利在确定现值方面起作用吗？ 用于寻找现值的术语称为折扣。
折扣
折扣是用于根据假设的利率或投资回报率计算未来将收到的个人付款或一系列付款的现值的程序。 让我们看一个简单的例子来解释折扣的概念。
假设你想积累足够的资金来购买一辆新车，而三年后你将需要\(\$5,000\)这笔资金。 另外，假设您的投资资金将在三年内赚取\(8\%\)一年的收入，并且您将三年期间获得的任何利息进行再投资。 如果您想从储蓄账户中提取足够的资金来为三年期投资提供资金，则需要\(\$3,969.16\)立即进行投资并将其投资于三年收益\(8\%\)的账户。 三年后，\(\$3,969.16\)他们将赚钱\(\$1,030.84\)并成长到你\(\$5,000\)所需要的水平。 这是折扣的一个例子。 折扣是我们获取未来价值并确定其当前或现在价值的方法。 了解未来价值的应用和计算将有助于理解现值的使用和计算。
未来价值
现在投资资金是有好处的，希望将来能获得更大的回报。 这些未来收益之所以成为可能，是因为收到的利息是激励长期占用资金的动力。 了解这些未来的收益将有多少，可以帮助企业决定当前的投资是否值得发挥长期潜力。 回想一下，未来价值（FV）是指一段时间后的投资价值。 未来价值在计算中考虑了初始投资金额、收益时间段和收益利率。 例如，银行在决定是否批准贷款时，会根据长期客户是否获得一定的利率回报来考虑贷款的未来价值。
为了确定未来价值，银行需要一些方法来确定贷款的未来价值。 银行可以使用公式、未来价值表、财务计算器或电子表格应用程序。 现值计算也是如此。 由于计算器和电子表格应用程序种类繁多，我们将使用表格来确定当前和未来的值。 在当今的许多大学课程中，之所以使用这些表格，主要是因为它们在演示材料时相对容易理解。 对于喜欢公式的人，用于创建每个表格的不同公式打印在相应表格的顶部。 在许多金融课中，您将学习如何使用公式。 关于金融计算器的使用，尽管两者都相似，但用户手册或快速的互联网搜索将为每个财务计算器提供具体的指导。 至于像Microsoft Excel这样的电子表格应用程序，有一些常见的公式，如表所示\(\PageIndex{1}\)。 此外，附录 14.3 还提供了有关使用 Excel 特定方面（例如未来价值和现值技术）的视频和教程的链接。
| 时间值组件 | Excel 公式速记 | Excel 公式详解 |
|---|---|---|
| 现值单笔总和 | =PV | =PV（费率、N、付款、FV） |
| 未来价值单笔总和 | +FV | =FV（费率、N、付款、PV） |
| 现值年金 | =PV | =PV（费率、N、付款、FV、类型） |
| 未来价值年金 | =FV | =FV（费率、N、付款、PV、类型） |
| 净现值 | =NPV | =NPV（费率、CF2、CF3、CF4）+ CF1 |
| 内部收益率 | =IRR | =IRR（投资、CF1、CF2、CF3） |
| 利率 = 年利率 | ||
| N = 周期数 | ||
| 付款 = 年度付款金额，以负数输入，在计算单笔总和的现值和单笔总和的未来价值时使用 0 | ||
| FV = 未来价值 | ||
| PV = 当前值或现值 | ||
| 类型 = 0 表示定期年金，1 表示到期年金 | ||
| CF = 一个期间的现金流，因此 CF1 — 现金流周期 1，CF2 — 现金流周期 2，依此类推。 | ||
| 投资 = 以负数输入的初始投资 | ||
由于我们将使用本章正文示例中的表格，因此重要的是要知道有四个可能的表，每个表都是在特定条件下使用的（Table\(\PageIndex{2}\).
| 情况 | 表格标题 |
|---|---|
| 未来价值 — 一次性付款 | 1 美元的未来价值 |
| 未来价值 — 年金（均匀支付流） | 年金的未来价值 |
| 现值 — 一次性付款 | 现值为 1 美元 |
| 现值 — 年金（均匀支付流） | 年金的现值 |
在以前的情况下，银行将使用表格的未来价值或普通年金\(\$1\)表的未来价值，其样本见附录14.2。 要使用正确的表格，银行需要确定客户是在贷款期限结束时还款，还是在整个贷款期限内定期还款。 如果客户将在期末还款，则使用\(\$1\)表的未来价值；如果在整个贷款期限内定期付款，他们将使用年金表的未来价值。 选择正确的表格对于准确确定未来价值至关重要。 在其他商业事务中的应用也是一样的：在选择表格和进行计算之前，企业还需要考虑自己是以一次性还款还是按年金结构进行投资。 在表中，各列显示利率 (\(i\))，行显示周期 (\(n\))。 利息栏代表该投资的预期利率支出。 利率可以基于经验、行业标准、联邦财政政策预期和风险投资。 期限表示收到付款之前的年数。 预期支付年份和利率的交叉点是一个称为未来价值因子的数字。 将未来价值因子乘以初始投资成本，得出预期现金流（或投资回报）的未来价值。
的未来价值\(\$1\)
一次性付款是指投资的现值，回报将在期末分期付清。 要确定此回报，使用\(\$1\)表的未来价值。
例如，您正在为计划在\(6\)数年内休假进行储蓄，并且想知道将来您的初始储蓄会产生多少收益。 你现在决定存\(\$4,500\)入一个投资账户，该账户的预期年回报率为\(8\%\)。 查看 FV 表、\(n = 6\)年份和\(i = 8\%\)，它返回的未来价值因子为\(1.587\)。 将该系数乘以产品的初始投资金\(\$4,500\)额\(\$7,141.50\)。 这意味着您的初始储蓄\(\$4,500\)将价值大约\(\$7,141.50\)以\(6\)年为单位。
普通年金的未来价值
普通年金是指在每个期限结束时分等额分期支付款项的年金。 如果在系列的整个生命周期内定期付款，则普通年金的未来价值是指当前投资在未来的价值。
例如，您正在为退休储蓄，并期望在未来\(15\)几年\(\$10,000\)每年向401（k）退休计划缴款。 该计划预计定期利息收益率为\(12\%\)。 如果符合这些标准，你将来投资的价值是多少？ 在这种情况下，您将使用普通年金表的未来价值。 相关因素在哪里\(n = 15\)和\(i = 12\%\)在哪里\(37.280\)。 将该系数乘以现金流量，得出这些分期付款储蓄的未来价值为 (\(37.280 × \$10,000\))\(\$372,800\)。 因此，根据参数，您可以预期您的投资\(\$372,800\)在\(15\)年底会物有所值。
现在让我们来看看在使用和计算中现值与未来价值有何不同。
示例\(\PageIndex{1}\): Determining Future Value
确定以下每种情况的未来价值。 必要时使用附录 14.2 中提供的未来价值表，并在需要时将答案四舍五入到最接近的美分。
- 你在为汽车存钱，然后存\(\$5,000\)入储蓄账户。 如果你预计的年利率为，你想知道你的初始储蓄在\(7\)几年内将值多少钱\(5\%\)。
- 您正在为退休储蓄，并\(\$11,500\)每年向403（b）退休计划缴纳未来\(14\)几年的缴款。 利率收益率为\(8\%\)。
解决方案
- 使用\(\$1\)表格的 FV。 未来价值因子在哪里\(n = 7\)和\(i = 5\)在哪里\(1.407. 1.407 × 5,000 = \$7,035\)。
- 使用普通年金表的 FV。 未来价值因子在哪里\(n = 14\)和\(i = 8\)在哪里\(24.215. 24.215 × 11,500 = \$278,472.50\)。
现值
将未来美元的价值或潜在购买力与今天的美元进行比较是不可能的；它们存在于不同的时代，具有不同的价值。 现值（PV）考虑以当日价值表示的投资的未来价值。 这使公司能够查看投资的初始成本是高于还是低于未来的回报。 例如，银行可能会在发放资金之前考虑向客户提供贷款的现值，以确保风险和所得利息与最初的现金支出相当。
与未来价值表类似，列显示现值表中的利率 (\(i\)\(n\))，行显示周期 ()。 周期代表复利（支付）利息的频率；也就是说，周期可以代表天、周、月、季度、年份或任何利息时间段。 对于我们的示例和评估，周期 (\(n\)) 几乎总是以年为单位。 预期支付年限 (\(n\)) 和利率 (\(i\)) 的交叉点是一个称为现值因子的数字。 现值系数乘以初始投资成本，得出预期现金流（或投资回报）的现值。
\[\text { Present Value }=\text { Present Value Factor } \times \text { Initial Investment cost }\]
附录14.2 中提供的两个现值表是普通年金的现值\(\$1\)和现值。 与未来价值表一样，选择正确的表对于准确确定现值至关重要。
的现值\(\$1\)
当提及现值时，一次性回报发生在期限结束时。 企业必须确定这种延迟还款加上利息的价值是否等于、高于或低于初始投资成本。 如果延期付款超过初始投资，公司将考虑进行投资。
要计算一次性付款的现值，我们应该使用\(\$1\)表的现值。 例如，你有兴趣为大学存钱，并想计算你今天需要在银行存入多少钱才能返还一笔以\(10\)年为单位\(\$40,000\)的款项。 在这些年中，银行\(3\%\)每年的利率为每\(10\)年。 查看光伏表，\(n = 10\)年份和\(i = 3\%\)返回的现值系数为\(0.744\)。 将该系数乘以产品的回报\(\$40,000\)量\(\$29,760\)。 这意味着你现在需要在银行存入大约\(\$29,760\)\(10\)几\(\$40,000\)年的钱。
如前所述，要确定现金流的现值或未来价值，必须使用财务计算器、Excel 之类的程序、对相应公式的了解或一组表格。 尽管我们使用表格在文本中举例说明，但我们认识到这些其他计算工具的价值，并纳入了使用多种方法来确定现在和未来价值的章节评估。 了解确定现在和未来价值的不同方法很有用，因为在某些情况下，例如采用分数利率，\(8.45\%\)在这种情况下，需要财务计算器或程序（例如Excel）来准确确定现在或未来的价值。
年金表
如前所述，年金是随着时间的推移支付的一系列等额付款，普通年金在该系列的每个付款期结束时支付相等的分期付款。 这可以帮助企业了解他们的定期回报如何转化为今天的价值。
例如，假设 Sam 需要借钱上大学，并预计她将能够\(\$1,200\)每年按年还款偿还贷款。\(5\) 如果贷款机构\(5\%\)每年收取类似贷款的费用，那么银行今天愿意向山姆借多少现金？ 在这种情况下，她将使用附录14.2 中的普通年金表的现值，其中\(n = 5\)和\(i = 5\%\)。 这样得出的现值系数为\(4.329\)。 每个期间现金流的当前值计算公式为\(4.329 × \$1,200 = \$5,194.80\)。 因此，考虑到还款参数，山姆\(\$5,194.80\)现在可以借钱了。
我们的重点是普通年金的例子（高级会计课程将介绍到期年金和其他更复杂的年金示例）。 年金到期后，现金流出现在期初。 例如，如果您想将一笔钱一次性存入一个账户，并从今天开始按月支付租金，则第一笔款项将在您存入资金账户的同一天支付。 由于到期年金提款的时间差异，计算到期年金的过程与普通年金所承保的方法略有不同。
示例\(\PageIndex{2}\): Determining Present Value
确定以下每种情况的现值。 必要时使用附录 14.2 中提供的现值表，必要[1]时将答案四舍五入到最接近的美分。
- 你在为大学存钱，你想以\(12\)年为单位返还一\(\$100,000\)笔款项。 银行返回这些\(12\)年之\(5\%\)后的利率。
- 你需要为大学借钱，并且有能力负担未来\(8\)几年每年向贷款机构支付的\(\$1,000\)款项。 贷款机构收取的利率是\(3\%\)每年。
解决方案
- 使用\(\$1\)表的 PV。 现值因子，其中\(n = 12\) an\(i = 5\) d 在\(0.557. 0.557 × \$100,000 = \$55,700\)。
- 使用普通年金表的 PV。 现值因子，其中\(n = 8\) an\(i = 3\) d 在\(7.020. 7.020 × \$1,000 = \$7,020\)。
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