9.2: 简化平方根

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用 Product 属性简化平方根
• 使用 Quotient 属性简化平方根

做好准备

在开始之前，请先参加这个准备测验。

1. 简化：$\frac{80}{176}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
2. 简化：$\frac{n^9}{n^3}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
3. 简化：$\frac{q^4}{q^{12}}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

在最后一节中，我们估计了两个连续整数之间一个数字的平方根。 我们可以说介$\sqrt{50}$于 7 和 8 之间。 当数字足够小，我们可以使用 [链接] 时，这很容易做到。

但是，如果我们想估算$\sqrt{500}$呢？ 如果我们先简化平方根，我们就能很容易地估算出来。 简化平方根还有其他原因，正如你将在本章后面看到的那样。

如果平方根的基数不包含完美平方因子，则认为平方根是简化的。

定义：简化的平方根

$\sqrt{a}$如果 a 没有完美平方因子，则认为是简化的。

所以简化$\sqrt{31}$了。 但$\sqrt{32}$并未简化，因为 16 是 32 的完美平方因子。

使用产品属性简化平方根

我们将用来简化平方根表达式的属性与指数的属性类似。 我们知道这一点$(ab)^m=a^{m}b^{m}$。 平方根的相应属性就是这样说的$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$。

定义：平方根的乘积属性

如果 a, b 是非负实数，那么$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$。

我们使用平方根乘积属性从基数中移除所有完美平方因子。 我们将在示例中展示如何执行此操作。

如何使用乘积属性简化平方根

示例$\PageIndex{1}$

简化：$\sqrt{50}$。

回答

示例$\PageIndex{2}$

简化：$\sqrt{48}$。

回答

$4\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{3}$

简化：$\sqrt{45}$。

回答

$3\sqrt{5}$

请注意，在前面的示例中，简化形式为$\sqrt{50}$ is $5\sqrt{2}$, which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.

定义：使用乘积属性简化平方根。

1. 找出基数的最大完美平方因子。 使用完美平方因子将基数重写为乘积。
2. 使用乘积法则将激进重写为两个激进的乘积。
3. 简化完美正方形的平方根。

示例$\PageIndex{4}$

简化：$\sqrt{500}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{500}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{100·5}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{100}·\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify}}&{10\sqrt{5}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{5}$

简化：$\sqrt{288}$。

回答

$12\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{6}$

简化：$\sqrt{432}$。

回答

$12\sqrt{3}$

我们可以使用简化的表格$10\sqrt{5}$来估算$\sqrt{500}$。 我们知道介$\sqrt{5}$于 2 和 3 之间，而且$\sqrt{500}$是$10\sqrt{5}$。 因此，介$\sqrt{500}$于 20 和 30 之间。

下一个例子与前面的例子很相似，但带有变量。

示例$\PageIndex{7}$

简化：$\sqrt{x^3}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{x^3}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{x^2·x}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{x^2}·\sqrt{x}}\\ {\text{Simplify}}&{x\sqrt{x}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{8}$

简化：$\sqrt{b^5}$。

回答

$b^2\sqrt{b}$

示例$\PageIndex{9}$

简化：$\sqrt{p^9}$。

回答

$p^4\sqrt{p}$

当@@ 自由基中也有系数时，我们遵循同样的程序。

示例$\PageIndex{10}$

简化：$\sqrt{25y^5}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{25y^5}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{25y^4·y}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{25y^4}·\sqrt{y}}\\ {\text{Simplify.}}&{5y^2\sqrt{y}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{11}$

简化：$\sqrt{16x^7}$。

回答

$4x^3\sqrt{x}$

示例$\PageIndex{12}$

简化：$\sqrt{49v^9}$。

回答

$7v^4\sqrt{v}$

在下一个示例中，常量和变量都有完美的平方因子。

示例$\PageIndex{13}$

简化：$\sqrt{72n^7}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{72n^7}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{36n^{6}·2n}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{36n^{6}}·\sqrt{2n}}\\ {\text{Simplify.}}&{6n^3\sqrt{2n}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{14}$

简化：$\sqrt{32y^5}$。

回答

$4y^2\sqrt{2y}$

示例$\PageIndex{15}$

简化：$\sqrt{75a^9}$。

回答

$5a^4\sqrt{3a}$

示例$\PageIndex{16}$

简化：$\sqrt{63u^{3}v^{5}}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{63u^{3}v^{5}}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}·7uv}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}}·\sqrt{7uv}}\\ {\text{Simplify.}}&{3uv^{2}\sqrt{7uv}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{17}$

简化：$\sqrt{98a^{7}b^{5}}$。

回答

$7a^{3}b^{2}\sqrt{2ab}$

示例$\PageIndex{18}$

简化：$\sqrt{180m^{9}n^{11}}$。

回答

$6m^{4}n^{5}\sqrt{5mn}$

我们已经看到了如何使用运算顺序来简化一些带有激进的表达式。 为了简化$\sqrt{25}+\sqrt{144}$ we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.

表达式$\sqrt{17}+\sqrt{7}$无法简化，首先，我们需要简化每个平方根，但是 17 和 7 都不包含完美平方因子。

在下一个示例中，我们得到了一个整数和一个平方根的总和。 我们简化了平方根，但无法将结果表达式添加到整数中。

示例$\PageIndex{19}$

简化：$3+\sqrt{32}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{3+\sqrt{32}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{3+\sqrt{16·2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{3+\sqrt{16}·\sqrt{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{3+4\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

这些术语不一样，因此我们无法添加它们。 尝试添加一个整数和一个激进就像尝试添加一个整数和一个变量——它们不像术语！

示例$\PageIndex{20}$

简化：$5+\sqrt{75}$。

回答

$5+5\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{21}$

简化：$2+\sqrt{98}$。

回答

$2+7\sqrt{2}$

下一个示例包括一个分数，分子中有一个激进分数。 请记住，为了简化分数，在分子和分母中需要一个公用因子。

示例$\PageIndex{22}$

简化：$\frac{4−\sqrt{48}}{2}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\frac{4−\sqrt{48}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using thelargest perfect square factor.}}&{\frac{4−\sqrt{16·3}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\frac{4−\sqrt{16}·\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{4−4\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Factor the common factor from thenumerator.}}&{\frac{4(1−\sqrt{3})}{2}}\\ {\text{Remove the common factor, 2, from thenumerator and denominator.}}&{2(1−\sqrt{3})}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{23}$

简化：$\frac{10−\sqrt{75}}{5}$。

回答

$2−\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{24}$

简化：$\frac{6−\sqrt{45}}{3}$。

回答

$2−\sqrt{5}$

使用 Quotient 属性简化平方根

每当你必须简化平方根时，你应该采取的第一步就是确定基数是否是完美的正方形。 完美平方分数是其中分子和分母都是完美平方的分数。

示例$\PageIndex{25}$

简化：$\sqrt{\frac{9}{64}}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{9}{64}}}\\ {\text{Since} (\frac{3}{8})^2}&{\frac{3}{8}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{26}$

简化：$\sqrt{\frac{25}{16}}$。

回答

$\frac{5}{4}$

示例$\PageIndex{27}$

简化：$\sqrt{\frac{49}{81}}$。

回答

$\frac{7}{9}$

如果分子和分母有任何共同因子，请将其删除。 你可能会找到一个完美的平方分数！

示例$\PageIndex{28}$

简化：$\sqrt{\frac{45}{80}}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45}{80}}}\\ {\text{Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator.}}&{\sqrt{\frac{5·9}{5·16}}}\\ {\text{Simplify the fraction by removing common factors.}}&{\sqrt{\frac{9}{16}}}\\ {\text{Simplify.} (\frac{3}{4})^2 =\frac{9}{16}}&{\frac{3}{4}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{29}$

简化：$\sqrt{\frac{75}{48}}$。

回答

$\frac{5}{4}$

示例$\PageIndex{30}$

简化：$\sqrt{\frac{98}{162}}$。

回答

$\frac{7}{9}$

在最后一个例子中，我们的第一步是通过移除常见因子来简化激进项下的分数。 在下一个示例中，我们将使用 Quotient Property 在激进下进行简化。 我们通过减去它们的指数来除以相似的基数$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$，$a \ne 0$。

示例$\PageIndex{31}$

简化：$\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first}}&{}\\ {}&{\sqrt{m^2}}\\ {\text{Divide the like bases by subtracting the exponents.}}&{}\\ {\text{Simplify.}}&{m}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{32}$

简化：$\sqrt{\frac{a^8}{a^6}}$。

回答

一个

示例$\PageIndex{33}$

简化：$\sqrt{\frac{x^{14}}{x^{10}}}$。

回答

$x^2$

示例$\PageIndex{34}$

简化：$\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first.}}&{\sqrt{16p^4}}\\ {\text{Simplify.}}&{4p^2}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{35}$

简化：$\sqrt{\frac{75x^5}{3x}}$。

回答

$5x^2$

示例$\PageIndex{36}$

简化：$\sqrt{\frac{72z^{12}}{2z^{10}}}$。

回答

6z

还记得权属性的商吗？ 它说我们可以通过将分子和分母分别提高到幂来将分数提高到幂次。

$(\frac{a}{b})^m=\frac{a^{m}}{b^{m}}$，$b \ne 0$

我们可以使用类似的属性来简化分数的平方根。 从分子和分母中移除所有常用因子后，如果分数不是完美的正方形，我们将分别简化分子和分母。

定义：平方根的商属性

如果 a, b 是非负实数$b \ne 0$，那么

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

示例$\PageIndex{37}$

简化：$\sqrt{\frac{21}{64}}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{21}{64}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{64}}}\\ {\text{Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified.}}&{\frac{\sqrt{21}}{8}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{38}$

简化：$\sqrt{\frac{19}{49}}$。

回答

$\frac{\sqrt{19}}{7}$

示例$\PageIndex{39}$

简化：$\sqrt{\frac{28}{81}}$

回答

$\frac{2\sqrt{7}}{9}$

如何使用商属性简化平方根

示例$\PageIndex{40}$

简化：$\sqrt{\frac{27m^3}{196}}$。

回答

示例$\PageIndex{41}$

简化：$\sqrt{\frac{24p^3}{49}}$

回答

$\frac{2p\sqrt{6p}}{7}$

示例$\PageIndex{42}$

简化：$\sqrt{\frac{48x^5}{100}}$

回答

$\frac{2x^2\sqrt{3x}}{5}$

定义：使用商属性简化平方根。

1. 尽可能简化 radicand 中的分数。
2. 使用 Quotient Property 将激进重写为两个部首的商。
3. 简化分子和分母中的基数。

示例$\PageIndex{43}$

简化：$\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{y^4}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9x^4}\sqrt{5x}}{y^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3x^2\sqrt{5x}}{y^2}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{44}$

简化：$\sqrt{\frac{80m^3}{n^6}}$

回答

$\frac{4m\sqrt{5m}}{n^3}$

示例$\PageIndex{45}$

简化：$\sqrt{\frac{54u^7}{v^8}}$。

回答

$\frac{3u^3\sqrt{6u}}{v^4}$

如果可能的话，一定要先简化 radicand 中的分数。

示例$\PageIndex{46}$

简化：$\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{81d^5}{25}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{81d^5}}{\sqrt{25}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{81d^4}\sqrt{d}}{5}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{9d^2\sqrt{d}}{5}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{47}$

简化：$\sqrt{\frac{64x^7}{9x^3}}$。

回答

$\frac{8x^2}{3}$

示例$\PageIndex{48}$

简化：$\sqrt{\frac{16a^9}{100a^5}}$。

回答

$\frac{2a^2}{5}$

示例$\PageIndex{49}$

简化：$\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{9p^4q^5}{16}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^5}}{\sqrt{16}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^4}\sqrt{q}}{4}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3p^2q^2\sqrt{q}}{4}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{50}$

简化：$\sqrt{\frac{50x^5y^3}{72x^4y}}$。

回答

$\frac{5y\sqrt{x}}{6}$

示例$\PageIndex{51}$

简化：$\sqrt{\frac{48m^7n^2}{125m^5n^9}}$。

回答

$\frac{4m\sqrt{3}}{5n^3\sqrt{5n}}$

关键概念

• 如果 a 没有完美@@ 平方因子，$\sqrt{a}$则认为简化平方根是简化的。
• 平方根的乘积属性如果 a, b 是非负实数，那么

  $\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$

• 使用产品属性简化平方根要使用产品属性简化平方根：
  1. 找出基数的最大完美平方因子。 使用完美平方因子将 radicand 重写为乘积。
  2. 使用乘积法则将激进重写为两个激进的乘积。
  3. 简化完美正方形的平方根。
• 平方根的商属性如果 a, b 是非负实数$b \ne 0$，那么

  $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

• 使用 Quotient 属性简化平方根要使用 Quotient 属性简化平方根：
  1. 尽可能简化 radicand 中的分数。
  2. 使用商法则将激进重写为两个激进的商。
  3. 简化分子和分母中的基数。