8.5: 简化复杂的有理表达式

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

学习目标

在本节结束时，您将能够：

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它
使用 LCD 简化复杂的有理表达式

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

如果您遗漏了问题，请返回列出的部分并查看材料。

简化：$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{10}}$。
如果您错过了此问题，请查看练习 1.6.25。
简化：$\frac{1−\frac{1}{3}}{4^2+4·5}$。
如果您错过了此问题，请查看练习 1.6.31。

复杂分数是分子或分母包含分数的分数。在第 1 章中，我们简化了复杂的分数，如下所示：

\[\begin{array}{cc} {\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}}&{\frac{\frac{x}{2}}{\frac{xy}{6}}}\\ \nonumber \end{array}\]

在本节中，我们将简化复杂的有理表达式，即分子或分母中有理表达式的有理表达式。

定义：复杂的有理表达

复杂有理表达式是一种有理表达式，其中分子或分母包含有理表达式。

以下是一些复杂的有理表达式：

$\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}$

$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}$

$\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}$
请记住，我们总是排除会使任何分母为零的值。

我们将使用两种方法来简化复杂的有理表达式。

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它

在本章前面我们已经看到了这个复杂的理性表达。

$\frac{\frac{6x^2−7x+2}{4x−8}}{\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6}}$

我们注意到分数条告诉我们除法，所以把它改写为除法问题

$(\frac{6x^2−7x+2}{4x−8})÷(\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6})$

然后我们将第一个有理表达式乘以第二个有理表达式的倒数，就像我们在除以两个分数时所做的那样。

这是一种简化有理表达式的方法。我们把它写得好像我们在除以两个分数一样。

示例$\PageIndex{1}$

$\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}$。

回答

	$\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}$
将复数分数重写为除法。	$\frac{4}{y−3}÷\frac{8}{y^2−9}$
重写为第一次乘以第二次倒数的乘积。	$\frac{4}{y−3}·\frac{y^2−9}{8}$
乘。	$\frac{4(y^2−9)}{8(y−3)}$
寻找共同因素的因素。	$\frac{4(y−3)(y+3)}{8(y−3)}$
简化。	$\frac{y+3}{2}$

y 是否有任何不应允许的值？简化的有理表达式在分母中只有一个常数。但是最初的复杂有理表达式的分母为 y−3 和$y^2−9$. 如果 y=3 或 y=−3 则此表达式未定义

示例$\PageIndex{2}$

$\frac{\frac{2}{x^2−1}}{\frac{3}{x+1}}$。

回答: $\frac{2}{3(x−1)}$

示例$\PageIndex{3}$

$\frac{\frac{1}{x^2−7x+12}}{\frac{2}{x−4}}$。

回答: $\frac{1}{2(x−3)}$

示例$\PageIndex{4}$

$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}$。

回答

	$。$
简化分子和分母。
找到 LCD 并在分子中添加分数。找到 LCD 并将分母中的分数相加。	$。$
简化分子和分母。	$。$
再次简化分子和分母。	$。$
将复杂的有理表达式重写为除法问题。	$。$
将第一次乘以第二次的倒数。	$。$
简化。	$。$

示例$\PageIndex{5}$

$\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}+\frac{1}{12}}$。

回答: $\frac{14}{11}$

示例$\PageIndex{6}$

$\frac{\frac{3}{4}−\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}+\frac{5}{6}}$。

回答: $\frac{10}{23}$

如何通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它

示例$\PageIndex{7}$

$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}$。

回答: $上图有三列。该图显示了如何将复杂有理表达式分为三个步骤的步骤。第一步是简化分子和分母。我们将简化示例 1 除以 x 加 1 除以 y 除以 y 除以 y 除以 y 除以 y 除以 y 除以 y 除以 y 除以 y 除以 x。找一个公分母，将分子中的分数相加，找到一个公分母，然后减去分子中的分数得到 1 倍 y 除以 x 乘以 y 加 1 倍 x 除以 y 乘以 x 乘以 x 乘以 y 倍 x 除以 y 乘以 y 乘以 y。然后，我们得到 y 除以 x y 加 x 加 x y 除以 x 平方除以 x y 除以 x y。我们现在只有一个有理表达式分子和分母中的一，y 加 x 除以 x y 除以 x 平方减去 y 平方除以 x 平方除以 x y。$ $第二步是将复杂的有理表达式重写为除法问题。我们写出分子除以分母。$ $第三步是划分表达式。将第一个乘以第二个的倒数，得到 y 加 x 除以 x y 乘以 x y 除以 x 平方减去 y 平方。尽可能分解任何表达式。我们现在有 x y 乘以 y 加 x 除以 x y 乘以 x 减去 y 乘以 x 加 y。移除常见因子。从分子中划掉 x、y 和 y 加上 x。从分母中划掉 x、y 和 x 加 y。简化为 1 除以 x 减去 y。$

示例$\PageIndex{8}$

$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}$。

回答: $\frac{y+x}{y−x}$

示例$\PageIndex{9}$

$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a^2}−\frac{1}{b^2}}$。

回答: $\frac{ab}{b−a}$

定义：通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它。

简化分子和分母。
将复杂的有理表达式重写为除法问题。
将表达式分开。

示例$\PageIndex{10}$

$\frac{n−\frac{4n}{n+5}}{\frac{1}{n+5}+\frac{1}{n−5}}$

回答

	$。$
简化分子和分母。
找到 LCD 并在分子中添加分数。找到 LCD 并将分母中的分数相加。	$。$
简化分子。	$。$
减去分子中的有理表达式，然后加上分母。	$。$
重写为分数除法。	$。$
将第一次乘以第二次的倒数。	$。$
尽可能分解任何表达式。	$。$
移除常见因素。	$。$
简化。	$。$

示例$\PageIndex{11}$

$\frac{b−\frac{3b}{b+5}}{\frac{2}{b+5}+\frac{1}{b−5}}$。

回答: b (b+2)

示例$\PageIndex{12}$

$\frac{1−\frac{3}{c+4}}{\frac{1}{c+4}+\frac{c}{3}}$。

回答: 3c+3

使用 LCD 简化复杂的有理表达式

当我们用分数求解方程时，我们通过乘以液晶显示器 “清除” 分数。我们可以在这里使用这个策略来简化复杂的有理表达式。我们将把所有有理表达式的分子和分母乘以 LCD。

让我们来看看我们在示例中以一种方式简化的复杂有理表达式。我们将在这里通过将分子和分母乘以液晶屏来简化它。当我们乘以时，$\frac{LCD}{LCD}$我们乘以 1，因此值保持不变。

示例$\PageIndex{13}$

简化：$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}$。

回答

	$。$
整个表达式中所有分数的 LCD 均为 6。
通过将分子和分母乘以该 LCD 来清除分数。	$。$
分发。	$。$
简化。	$。$
	$。$
	$。$

示例$\PageIndex{14}$

简化：$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{10}+\frac{1}{5}}$。

回答: $\frac{7}{3}$

示例$\PageIndex{15}$

简化：$\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}−\frac{5}{16}}$。

回答: $\frac{7}{3}$

如何使用液晶显示器简化复杂的有理表达式

示例$\PageIndex{16}$

简化：$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}$。

回答: $上图有 3 列。它显示了如何使用液晶显示器 1 除以 x 加 1 除以 y 除以 y 除以 y 除以 y 除以 y 除以 y 减去 y 除以 x 来简化复杂有理表达式的步骤。第一步是找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。所有分数的 LCD 均为 x y。将分子和分母乘以 LCD。$ $第二步是将分子和分母都乘以 x y，得到 x y 乘以 1 除以 x 加 1 除以 y 除以 x y 除以 x y 乘以 y 减去 y 除以 x。$ $第三步是简化表达式。分布得到 x y 乘以 1 除以 x 加 x y 乘以 1 除以 y 除以 x y 乘以 x y 乘以 y 除以 y 减去 x y 乘以 y 除以 y 除以 x。简化为 y 加 x 除以 x 平方减去 y 平方。移除常见因素。在分子中划掉 y 加 x。在分子中划掉 x 加 y。简化为 1 除以 x 减去 y。$

示例$\PageIndex{17}$

简化：$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{a}{b}−\frac{b}{a}}$。

回答: $\frac{b+a}{a^2+b^2}$

示例$\PageIndex{18}$

简化：$\frac{\frac{1}{x^2}−\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}$。

回答: $\frac{y−x}{xy}$

定义：使用液晶显示器简化复杂的有理表达式。

找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。
将分子和分母乘以 LCD。
简化表达式。

一定要先考虑所有分母，这样你才能找到液晶屏。

示例$\PageIndex{19}$

简化：$\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}$。

回答

	$。$
找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。液晶屏是 (x+6) (x−6)
将分子和分母乘以 LCD。	$。$
简化表达式。
在分母中分布。	$。$
简化。	$。$
简化。	$。$
为了简化分母，请分配和合并相似的术语。	$。$
移除常见因素。	$。$
简化。	$。$
请注意，分子和分母没有其他共同的因子了。

示例$\PageIndex{20}$

简化：$\frac{\frac{3}{x+2}}{\frac{5}{x−2}−\frac{3}{x^2−4}}$。

回答: $\frac{3x−6}{5x+7}$

示例$\PageIndex{21}$

简化：$\frac{\frac{2}{x−7}−\frac{1}{x+7}}{\frac{6}{x+7}−\frac{1}{x^2−49}}$。

回答: $\frac{x+21}{6x+43}$

示例$\PageIndex{22}$

简化：$\frac{\frac{4}{m^2−7m+12}}{\frac{3}{m−3}−\frac{2}{m−4}}$。

回答

	$。$
找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。液晶屏是 (m−3) (m−4)
将分子和分母乘以 LCD。	$。$
简化。	$。$
简化。	$。$
分发。	$。$
将相似的术语组合在一起。	$。$

示例$\PageIndex{23}$

简化：$\frac{\frac{3}{x^2+7x+10}}{\frac{4}{x+2}+\frac{1}{x+5}}$。

回答: $\frac{3}{5x+22}$

示例$\PageIndex{24}$

简化：$\frac{\frac{4y}{y+5}+\frac{2}{y+6}}{\frac{3y}{y^2+11y+30}}$。

回答: $\frac{6y+34}{3y}$

示例$\PageIndex{25}$

简化：$\frac{\frac{y}{y+1}}{1+\frac{1}{y−1}}$。

回答

	$。$
找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。
液晶屏是 (y+1) (y−1)
将分子和分母乘以 LCD。	$。$
在分母中分配并简化。	$。$
简化。	$。$
简化分母，保留分子因子。	$。$
	$。$
将分母分数分解，然后移除与分子共有的因子。	$。$
简化。	$。$

示例$\PageIndex{26}$

简化：$\frac{\frac{x}{x+3}}{1+\frac{1}{x+3}}$。

回答: $\frac{x}{x+4}$

示例$\PageIndex{27}$

简化：$\frac{1+\frac{1}{x−1}}{\frac{3}{x+1}}$。

回答: $\frac{x(x+1)}{3(x−1)}$

关键概念

通过将理性表达式写成 Division 来简化它
1. 简化分子和分母。
2. 将复杂的有理表达式重写为除法问题。
3. 将表达式分开。
使用 LCD 简化复杂的有理表达式
1. 找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。
2. 将分子和分母乘以 LCD。
3. 简化表达式。

词汇表

复杂的有理表达: 复杂有理表达式是一种有理表达式，其中分子或分母包含有理表达式。

	\(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\)
将复数分数重写为除法。	\(\frac{4}{y−3}÷\frac{8}{y^2−9}\)
重写为第一次乘以第二次倒数的乘积。	\(\frac{4}{y−3}·\frac{y^2−9}{8}\)
乘。	\(\frac{4(y^2−9)}{8(y−3)}\)
寻找共同因素的因素。	\(\frac{4(y−3)(y+3)}{8(y−3)}\)
简化。	\(\frac{y+3}{2}\)

示例\(\PageIndex{1}\)

示例\(\PageIndex{2}\)

示例\(\PageIndex{3}\)

示例\(\PageIndex{4}\)

示例\(\PageIndex{5}\)

示例\(\PageIndex{6}\)

示例\(\PageIndex{7}\)

示例\(\PageIndex{8}\)

示例\(\PageIndex{9}\)

定义：通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它。

示例\(\PageIndex{10}\)

示例\(\PageIndex{11}\)

示例\(\PageIndex{12}\)

示例\(\PageIndex{13}\)

示例\(\PageIndex{14}\)

示例\(\PageIndex{15}\)

示例\(\PageIndex{16}\)

示例\(\PageIndex{17}\)

示例\(\PageIndex{18}\)

定义：使用液晶显示器简化复杂的有理表达式。

示例\(\PageIndex{19}\)

示例\(\PageIndex{20}\)

示例\(\PageIndex{21}\)

示例\(\PageIndex{22}\)

示例\(\PageIndex{23}\)

示例\(\PageIndex{24}\)

示例\(\PageIndex{25}\)

示例\(\PageIndex{26}\)

示例\(\PageIndex{27}\)