8.5: 简化复杂的有理表达式
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- 通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它
- 使用 LCD 简化复杂的有理表达式
复杂分数是分子或分母包含分数的分数。 在第 1 章中，我们简化了复杂的分数，如下所示：
\[\begin{array}{cc} {\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}}&{\frac{\frac{x}{2}}{\frac{xy}{6}}}\\ \nonumber \end{array}\]
在本节中，我们将简化复杂的有理表达式，即分子或分母中有理表达式的有理表达式。
复杂有理表达式是一种有理表达式，其中分子或分母包含有理表达式。
以下是一些复杂的有理表达式：
\(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\)
\(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}\)
\(\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}\)
请记住，我们总是排除会使任何分母为零的值。
我们将使用两种方法来简化复杂的有理表达式。
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它
在本章前面我们已经看到了这个复杂的理性表达。
\(\frac{\frac{6x^2−7x+2}{4x−8}}{\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6}}\)
我们注意到分数条告诉我们除法，所以把它改写为除法问题
\((\frac{6x^2−7x+2}{4x−8})÷(\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6})\)
然后我们将第一个有理表达式乘以第二个有理表达式的倒数，就像我们在除以两个分数时所做的那样。
这是一种简化有理表达式的方法。 我们把它写得好像我们在除以两个分数一样。
\(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\)。
- 回答
-
\(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\) 将复数分数重写为除法。 \(\frac{4}{y−3}÷\frac{8}{y^2−9}\) 重写为第一次乘以第二次倒数的乘积。 \(\frac{4}{y−3}·\frac{y^2−9}{8}\) 乘。 \(\frac{4(y^2−9)}{8(y−3)}\) 寻找共同因素的因素。 \(\frac{4(y−3)(y+3)}{8(y−3)}\) 简化。 \(\frac{y+3}{2}\) y 是否有任何不应允许的值？ 简化的有理表达式在分母中只有一个常数。 但是最初的复杂有理表达式的分母为 y−3 和\(y^2−9\). 如果 y=3 或 y=−3 则此表达式未定义
\(\frac{\frac{2}{x^2−1}}{\frac{3}{x+1}}\)。
- 回答
-
\(\frac{2}{3(x−1)}\)
\(\frac{\frac{1}{x^2−7x+12}}{\frac{2}{x−4}}\)。
- 回答
-
\(\frac{1}{2(x−3)}\)
\(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}\)。
- 回答
-
简化分子和分母。 找到 LCD 并在分子中添加分数。
找到 LCD 并将分母中的分数相加。
简化分子和分母。 
再次简化分子和分母。 
将复杂的有理表达式重写为除法问题。 
将第一次乘以第二次的倒数。 
简化。 
\(\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}+\frac{1}{12}}\)。
- 回答
-
\(\frac{14}{11}\)
\(\frac{\frac{3}{4}−\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}+\frac{5}{6}}\)。
- 回答
-
\(\frac{10}{23}\)
如何通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它
\(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}\)。
- 回答
-
\(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}\)。
- 回答
-
\(\frac{y+x}{y−x}\)
\(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a^2}−\frac{1}{b^2}}\)。
- 回答
-
\(\frac{ab}{b−a}\)
- 简化分子和分母。
- 将复杂的有理表达式重写为除法问题。
- 将表达式分开。
\(\frac{n−\frac{4n}{n+5}}{\frac{1}{n+5}+\frac{1}{n−5}}\)
- 回答
-
简化分子和分母。 找到 LCD 并在分子中添加分数。
找到 LCD 并将分母中的分数相加。
简化分子。 
减去分子中的有理表达式，然后加上分母。
重写为分数除法。 
将第一次乘以第二次的倒数。 
尽可能分解任何表达式。 
移除常见因素。 
简化。 
\(\frac{b−\frac{3b}{b+5}}{\frac{2}{b+5}+\frac{1}{b−5}}\)。
- 回答
-
b (b+2)
\(\frac{1−\frac{3}{c+4}}{\frac{1}{c+4}+\frac{c}{3}}\)。
- 回答
-
3c+3
使用 LCD 简化复杂的有理表达式
当我们用分数求解方程时，我们通过乘以液晶显示器 “清除” 分数。 我们可以在这里使用这个策略来简化复杂的有理表达式。 我们将把所有有理表达式的分子和分母乘以 LCD。
让我们来看看我们在示例中以一种方式简化的复杂有理表达式。 我们将在这里通过将分子和分母乘以液晶屏来简化它。 当我们乘以时，\(\frac{LCD}{LCD}\)我们乘以 1，因此值保持不变。
简化：\(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}\)。
- 回答
-
整个表达式中所有分数的 LCD 均为 6。 通过将分子和分母乘以该 LCD 来清除分数。 
分发。 
简化。 
简化：\(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{10}+\frac{1}{5}}\)。
- 回答
-
\(\frac{7}{3}\)
简化：\(\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}−\frac{5}{16}}\)。
- 回答
-
\(\frac{7}{3}\)
如何使用液晶显示器简化复杂的有理表达式
简化：\(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}\)。
- 回答
-
简化：\(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{a}{b}−\frac{b}{a}}\)。
- 回答
-
\(\frac{b+a}{a^2+b^2}\)
简化：\(\frac{\frac{1}{x^2}−\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}\)。
- 回答
-
\(\frac{y−x}{xy}\)
- 找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。
- 将分子和分母乘以 LCD。
- 简化表达式。
一定要先考虑所有分母，这样你才能找到液晶屏。
简化：\(\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}\)。
- 回答
-
找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。 液晶屏是 (x+6) (x−6) 将分子和分母乘以 LCD。 
简化表达式。 在分母中分布。 
简化。 
简化。 
为了简化分母，请分配和合并相似的术语。 
移除常见因素。 
简化。 
请注意，分子和分母没有其他共同的因子了。
简化：\(\frac{\frac{3}{x+2}}{\frac{5}{x−2}−\frac{3}{x^2−4}}\)。
- 回答
-
\(\frac{3x−6}{5x+7}\)
简化：\(\frac{\frac{2}{x−7}−\frac{1}{x+7}}{\frac{6}{x+7}−\frac{1}{x^2−49}}\)。
- 回答
-
\(\frac{x+21}{6x+43}\)
简化：\(\frac{\frac{4}{m^2−7m+12}}{\frac{3}{m−3}−\frac{2}{m−4}}\)。
- 回答
-
找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。 液晶屏是 (m−3) (m−4) 将分子和分母乘以 LCD。 
简化。 
简化。 
分发。 
将相似的术语组合在一起。 
简化：\(\frac{\frac{3}{x^2+7x+10}}{\frac{4}{x+2}+\frac{1}{x+5}}\)。
- 回答
-
\(\frac{3}{5x+22}\)
简化：\(\frac{\frac{4y}{y+5}+\frac{2}{y+6}}{\frac{3y}{y^2+11y+30}}\)。
- 回答
-
\(\frac{6y+34}{3y}\)
简化：\(\frac{\frac{y}{y+1}}{1+\frac{1}{y−1}}\)。
- 回答
-
找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。 液晶屏是 (y+1) (y−1) 将分子和分母乘以 LCD。 
在分母中分配并简化。 
简化。 
简化分母，保留分子因子。 
将分母分数分解，然后移除与分子共有的因子。 
简化。 
简化：\(\frac{\frac{x}{x+3}}{1+\frac{1}{x+3}}\)。
- 回答
-
\(\frac{x}{x+4}\)
简化：\(\frac{1+\frac{1}{x−1}}{\frac{3}{x+1}}\)。
- 回答
-
\(\frac{x(x+1)}{3(x−1)}\)
关键概念
- 通过将理性表达式写成 Division 来简化它
- 简化分子和分母。
- 将复杂的有理表达式重写为除法问题。
- 将表达式分开。
- 使用 LCD 简化复杂的有理表达式
- 找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。
- 将分子和分母乘以 LCD。
- 简化表达式。
词汇表
- 复杂的有理表达
- 复杂有理表达式是一种有理表达式，其中分子或分母包含有理表达式。