8.3：加减带有公分母的有理表达式
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在本节结束时，您将能够：
- 添加带有公分母的有理表达式
- 用公分母减去有理表达式
- 加减分母相反的有理表达式
添加带有公分母的有理表达式
当你添加数值分数时，你要做的第一步是什么？ 你检查它们是否有共同点。 如果有，则将分子相加，然后将总和放在公分母之上。 如果它们没有公分母，则在添加之前先找到一个公分母。
有理表达式也是如此。 要添加有理表达式，它们必须有一个共同的分母。 当分母相同时，将分子相加，然后将总和置于公分母之上。
如果 p、q 和 r 是多项式\(r \ne 0\)，其中，那么
\(\frac{p}{r}+\frac{q}{r}=\frac{p+q}{r}\)
要添加带有公分母的有理表达式，请添加分子并将总和置于公分母之上。
我们将首先添加两个数字分数，以提醒我们这是如何完成的。
添加：\(\frac{5}{18}+\frac{7}{18}\)。
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\(\frac{5}{18}+\frac{7}{18}\) 分数具有公分母，因此将分子相加，然后将总和放在公分母之上。 \(\frac{5+7}{18}\) 添加分子。 \(\frac{12}{18}\) 将分子和分母分数分解以显示常见因子。 \(\frac{6·2}{6·3}\) 简化。 \(\frac{2}{3}\)
添加：\(\frac{7}{16}+\frac{5}{16}\)。
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\(\frac{3}{4}\)
添加：\(\frac{3}{10}+\frac{1}{10}\)。
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\(\frac{2}{5}\)
请记住，我们不允许使用会使分母为零的值。 在下一个示例中应排除 yy 的哪个值？
添加：\(\frac{3y}{4y−3}+\frac{7}{4y−3}\)。
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\(\frac{3y}{4y−3}+\frac{7}{4y−3}\)。 分数具有公分母，因此将分子相加，然后将总和放在公分母之上。 \(\frac{3y+7}{4y−3}\) 分子和分母不能分解。 分数已简化。
添加：\(\frac{5x}{2x+3}+\frac{2}{2x+3}\)。
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\(\frac{5x+2}{2x+3}\)。
添加：\(\frac{x}{x−2}+\frac{1}{x−2}\)。
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\(\frac{x+1}{x−2}\)
添加：\(\frac{7x+12}{x+3}+\frac{x^2}{x+3}\)。
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\(\frac{7x+12}{x+3}+\frac{x^2}{x+3}\) 分数具有公分母，因此将分子相加，然后将总和放在公分母之上。 \(\frac{7x+12+x^2}{x+3}\) 按降序写下学位。 \(\frac{x^2+7x+12}{x+3}\) 将分子分解为因子。 \(\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}\) 简化。 x+4
添加：\(\frac{9x+14}{x+7}+\frac{x^2}{x+7}\)。
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x+2
添加：\(\frac{x^2+8x}{x+5}+\frac{15}{x+5}\)。
- 回答
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x+3
用公分母减去有理表达式
要减去有理表达式，它们还必须有一个共同的分母。 当分母相同时，可以减去分子，然后将差值放在公分母上。
如果 p、q 和 r 是多项式，其中\(r \ne 0\)
\(\frac{p}{r}−\frac{q}{r}=\frac{p−q}{r}\)
要减去有理表达式，请减去分子，然后将差值放在公分母上。
我们总是简化有理表达。 如果可能的话，一定要在减去分子之后进行分数，这样你就可以识别出任何常见的因子。
减去：\(\frac{n^2}{n−10}−\frac{100}{n−10}\)。
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\(\frac{n^2}{n−10}−\frac{100}{n−10}\) 分数具有公分母，因此将分子相加，然后将总和放在公分母之上。 \(\frac{n^2−100}{n−10}\) 将分子分解为因子。 \(\frac{(n−10)(n+10)}{n−10}\) 简化。 n+10
减去：\(\frac{x^2}{x+3}−\frac{9}{x+3}\)。
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x−3
减去：\(\frac{4x^2}{2x−5}−\frac{25}{2x−5}\)。
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2x+5
减去二项式时要小心这些符号！
减去：\(\frac{y^2}{y−6}−\frac{2y+24}{y−6}\)。
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\(\frac{y^2}{y−6}−\frac{2y+24}{y−6}\) 分数具有公分母，因此将分子相加，然后将总和放在公分母之上。 \(\frac{y^2−(2y+24)}{y−6}\) 在分子中分配符号。 \(\frac{y^2−2y−24}{y−6}\) 将分子分解为因子。 \(\frac{(y−6)(y+4)}{y−6}\) 简化。 y+4
减去：\(\frac{n^2}{n−4}−\frac{n+12}{n−4}\)。
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n+3
减去：\(\frac{y^2}{y−1}−\frac{9y−8}{y−1}\)。
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y−8
减去：\(\frac{5x^2−7x+3}{x^2−3x-18}−\frac{4x^2+x−9}{x^2−3x-18}\)。
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\(\frac{5x^2−7x+3}{x^2−3x+18}−\frac{4x^2+x−9}{x^2−3x+18}\) 分数具有公分母，因此将分子相加，然后将总和放在公分母之上。 \(\frac{5x^2−7x+3−(4x^2+x−9)}{x^2−3x+18}\) 在分子中分配符号。 \(\frac{5x^2−7x+3−4x^2−x+9}{x^2−3x+18}\) 将相似的术语组合在一起。 \(\frac{x^2−8x+12}{x^2−3x+18}\) 将分子和分母分数分数除外。 \(\frac{(x−2)(x−6)}{(x+3)(x−6)}\) 简化。 \(\frac{x−2}{x+3}\)
减去：\(\frac{4x^2−11x+8}{x^2−3x+2}−\frac{3x^2+x−3}{x^2−3x+2}\)。
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\(\frac{x−11}{x−2}\)
减去：\(\frac{6x^2−x+20}{x^2−81}−\frac{5x^2+11x−7}{x^2−81}\)。
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\(\frac{x−3}{x+9}\)
加减分母对立的有理表达式
当两个有理表达式的分母相反时，很容易得到一个共同的分母。 我们只需要将其中一个分数乘以\(\frac{−1}{−1}\)
让我们看看这是如何工作的。
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| 将第二个分数乘以\(\frac{−1}{−1}\)。 |  |
| 分母是一样的。 |  |
| 简化。 |  |
添加：\(\frac{4u−1}{3u−1}+\frac{u}{1−3u}\)。
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将第二个分数乘以\(\frac{−1}{−1}\)。 
简化第二个分数。 
分母是一样的。 添加分子。 
简化。 
简化。 
添加：\(\frac{8x−15}{2x−5}+\frac{2x}{5−2x}\)。
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3
添加：\(\frac{6y^2+7y−10}{4y−7}+\frac{2y^2+2y+11}{7−4y}\)。
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y+3
减去：\(\frac{m^2−6m}{m^2−1}−\frac{3m+2}{1−m^2}\)。
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将第二个分数乘以\(\frac{−1}{−1}\)。 
简化第二个分数。 
分母是一样的。 减去分子。 
分发。 m2−6m+3m+2m2−1 将相似的术语组合在一起。 
系数分子和分母。 
通过删除常见因素进行简化。 
简化。 
减去：\(\frac{y^2−5y}{y^2−4}−\frac{6y−6}{4−y^2}\)。
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\(\frac{y+3}{y+2}\)
减去：\(\frac{2n^2+8n−1}{n^2−1}−\frac{n^2−7n−1}{1−n^2}\)。
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\(\frac{3n−2}{n−1}\)
关键概念
- 理性表达式加法
- 如果 p、q 和 r 是多项式\(r \ne 0\)，其中，那么
\(\frac{p}{r}+\frac{q}{r}=\frac{p+q}{r}\)
- 要添加带有公分母的有理表达式，请添加分子并将总和置于公分母之上。
- 如果 p、q 和 r 是多项式\(r \ne 0\)，其中，那么
- 有理表达式减法
- 如果 p、q 和 r 是多项式，其中\(r \ne 0\)
\(\frac{p}{r}−\frac{q}{r}=\frac{p−q}{r}\)
- 要减去有理表达式，请减去分子，然后将差值放在公分母上。
- 如果 p、q 和 r 是多项式，其中\(r \ne 0\)