11.2: 单方差检验

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到目前为止，我们的兴趣完全集中在人口参数\(μ\)或二项式中的对应参数上\(p\)。当然，总体的平均值是掌握的最关键的信息，但在某些情况下，我们对某些分布结果的可变性感兴趣。在几乎所有的生产过程中，质量的衡量标准不仅是机器与目标的匹配程度，还包括过程的可变性。如果有人用薯片装满袋子，不仅会对袋子的平均重量感兴趣，还会对重量有多大的变化感兴趣。没有人愿意放心，当他们的包里没有碎片时，平均重量是准确的。电压可能达到一定的平均水平，但是很大的波动（峰值）会对电机，尤其是计算机造成严重损坏。我不仅希望在课堂上有较高的平均分数，而且还希望这个平均值的变化较小。简而言之，有关分布方差的统计检验具有很大的价值和许多用途。

单方差检验假设基础分布是正态分布。原假设和备择假设是用总体方差表示的。检验统计数据是：

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\nonumber\]

哪里：

\(n\)= 样本数据中的观测值总数
\(s^2\)= 样本方差
\(\sigma_{0}^{2}\)= 总体方差的假设值
\(H_{0} : \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}\)

在这个测试中，你可以将 s 视为随机变量。自由度数为\(df = n - 1\)。单方差的检验可以是右尾、左尾或双尾。示例\(\PageIndex{1}\)将向您展示如何设置原假设和备选假设。原假设和备择假设包含有关总体方差的陈述。

示例\(\PageIndex{1}\)

数学教师不仅对学生在考试中的平均成绩感兴趣，还对考试分数的变化感兴趣。对许多教师来说，方差（或标准差）可能比平均值更重要。

假设一位数学教师认为他的期末考试的标准差为五分。他最优秀的学生之一不这么认为。学生声称标准差超过五分。如果学生要进行假设检验，原假设和备选假设会是什么？

回答

尽管我们得到了总体标准差，但我们可以使用总体方差设置检验，如下所示。

\(H_{0} : \sigma^{2} \leq 5^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}>5^{2}\)

练习\(\PageIndex{1}\)

水肺潜水教练希望记录每位学生在结账时潜水的集体深度。他对深度如何变化很感兴趣，尽管每个人都应该处于相同的深度。他认为标准差是三英尺。他的助手认为标准差小于三英尺。如果教师要进行测试，那么原假设和备选假设会是什么？

示例\(\PageIndex{2}\)

由于各个窗口各有排队，邮局发现周五下午客户等待时间的标准差为7.2分钟。邮局尝试了单一的主等候线，发现对于25名客户的随机抽样，周五下午客户的等待时间标准差为3.5分钟。

在显著性水平为5％的情况下，测试单线导致客户等待时间差异较小的说法。

回答

由于声称单线导致的变异较少，因此这是对单方差的检验。参数是总体方差\(\sigma^2\)。

随机变量：样本标准差是随机变量。\(s\) 让\(s\) = 等待时间的标准偏差。

\(H_{0} : \sigma^{2} \geq 7.2^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}<7.2^{2}\)

测试分布：\(\chi_{24}^{2}\)，其中：

\(n\)= 抽样的客户数量
\(df = n – 1 = 25 – 1 = 24\)

计算测试统计数据：

\(\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{(25-1)(3.5)^{2}}{7.2^{2}}=5.67\)

其中\(n = 25\)\(s = 3.5\)、和\(\sigma = 7.2\)。

这是一条非对称的卡方曲线，水平轴上标有值 0 和 5.67。点 5.67 位于曲线峰值的左边。一条垂直向上的线从 5.67 延伸到曲线，该线左侧的区域呈阴影。阴影区域等于 p 值。

卡方图显示了分布并以 24 个自由度标记临界值，置信度为 95%\(\alpha = 0.05\)，即 13.85。 13.85 的临界值来自 Chi 平方表，该表的读法与学生 t 表非常相似。区别在于学生 t 分布是对称的，而 Chi 平方分布不对称。在 Chi 平方表的顶部，我们不仅可以看到熟悉的 0.05、0.10 等，还有 0.95、0.975 等。这些列用于查找左手临界值。该图还标记了 5.67 的计算得出的\(\chi^2\)检验统计量。将检验统计量与临界值进行比较，就像我们在所有其他假设检验中所做的那样，得出结论。

“少” 这个词告诉你这是个左尾测试。

做出决定：因为计算出的测试统计数据在尾部，所以我们无法接受\(H_0\)。这意味着你拒绝\(\sigma^2 \geq 7.2^2\)。换句话说，你认为等待时间的变化不是 7.2 分钟或更长时间；你认为等待时间的变化较小。

结论：从数据来看，在5％的显著性水平上，有足够的证据可以得出结论，单条线路导致等待时间之间的差异较小；对于单线，客户等待时间变化不到7.2分钟。

示例\(\PageIndex{3}\)

哈德利教授对充满奶油的甜甜圈有弱点，但他认为有些面包店填充的甜甜圈不正确。 24 个甜甜圈样本显示平均填充量等于 0.04 杯，样本标准差为 0.11 杯。当然，哈德利教授对馅料的平均量很感兴趣，但是如果一个甜甜圈与另一个甜甜圈截然不同，他会特别沮丧。哈德利教授不喜欢惊喜。

在 95% 时检验原假设，即甜甜圈填充的总体方差与平均填充量有显著差异。

回答

这显然是处理差异的问题。在这种情况下，我们正在测试单个样本，而不是比较来自不同群体的两个样本。因此，原假设和备选假设是：

\[H_{0} : \sigma^{2}=0.04\nonumber\]

\[H_{0} : \sigma^{2} \neq 0.04\nonumber\]

该测试之所以设置为双尾测试，是因为哈德利教授对填充量变化太大以及填充量太少表示担忧：他不喜欢任何超出预期平均水平的0.04杯填充量。检验统计量的计算公式为：

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{o}^{2}}=\frac{(24-1) 0 \cdot 11^{2}}{0.04^{2}}=6.9575\nonumber\]

计算出的\(\chi^2\)检验统计量 6.96 位于尾部，因此在 0.05 显著性水平上，我们不能接受圆环填充方差等于 0.04 杯的原假设。看来哈德利教授注定要对每一点感到失望。

练习\(\PageIndex{3}\)

联邦通信委员会进行宽带速度测试，以测量每秒有多少数据在消费者的计算机和互联网之间传输。截至2012年8月，互联网服务提供商（ISP）的互联网速度标准差为12.2％。假设采集了 15 个 ISP 的样本，标准差为 13.2。一位分析师声称，速度的标准差比报告的要大。陈述原假设和备择假设，计算自由度，检验统计量，绘制分布图，标记与置信度相关的区域，然后得出结论。在 1% 显著性水平上进行测试。