11.3: 拟合优度测试
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在这种类型的假设检验中，您可以确定数据是否 “拟合” 特定分布。 例如，您可能会怀疑您的未知数据符合二项分布。 您可以使用卡方检验（这意味着假设检验的分布为卡方）来确定是否存在拟合。 该检验的空假设和备选假设可以用句子写成，也可以说成方程或不等式。
拟合优度检验的检验统计量为：
\[\sum_{k} \frac{(O-E)^{2}}{E}\nonumber\]
哪里：
- \(O\)= 观测值（数据）
- \(E\)= 预期值（来自理论）
- \(k\)= 不同数据单元格或类别的数量
观测值是数据值，而预期值是原假设为真时您期望得到的值。 表单有 n 个术语\(\frac{(O-E)^{2}}{E}\)。
自由度数为\(df\) =（类别数 — 1）。
拟合优度测试几乎总是右尾的。 如果观测值和相应的预期值彼此不接近，则检验统计量可能会变得非常大，并且将在卡方曲线的右尾中消失。
注意
要使用此测试，每个单元格内的预期值数必须至少为五个。
示例\(\PageIndex{4}\)
大学生缺勤数学课是数学教师最关心的问题，因为缺课似乎会增加辍学率。 假设进行了一项研究，以确定实际的学生缺勤率是否符合教师的看法。 根据表，教师预计将有100名学生缺课\(\PageIndex{1}\)。
\ (\ pageIndex {1}\) “>| 每学期缺勤人数 | 预期学生人数 |
|---|---|
| 0—2 | 50 |
| 3—5 | 30 |
| 6—8 | 12 |
| 9—11 | 6 |
| 12+ | 2 |
然后对所有数学课程进行了随机调查，以确定某门课程的实际缺勤人数（观察到的）。 表中的图表\(\PageIndex{2}\)显示了该调查的结果。
\ (\ pageIndex {2}\) “>| 每学期缺勤人数 | 实际学生人数 |
|---|---|
| 0—2 | 35 |
| 3—5 | 40 |
| 6—8 | 20 |
| 9—11 | 1 |
| 12+ | 4 |
确定进行拟合优度检验所需的零假设和备选假设。
\(\bf{H_a}\): 学生缺勤符合教师的看法。
备择假设与原假设相反。
\(\bf{H_a}\): 学生缺勤不符合教师的看法。
a. 你能否使用图表中显示的信息进行拟合优度测试？
b. 自由度数是多少 (\(df\))？
- 回答
-
解决方案 11.4
b. 每个新表格中有四个 “单元格” 或类别。
\(d f=\text { number of cells }-1=4-1=3\)
练习\(\PageIndex{4}\)
工厂经理需要了解有多少产品存在缺陷，以及生产了多少产品。 表中列出了预期缺陷的数量\(\PageIndex{5}\)。
\ (\ pageIndex {5}\) “>| 生产数量 | 号码有缺陷 |
|---|---|
| 0—100 | 5 |
| 101—200 | 6 |
| 201—300 | 7 |
| 301—400 | 8 |
| 401—500 | 10 |
随机抽取样本以确定实际缺陷数。 表\(\PageIndex{6}\)显示了调查结果。
\ (\ pageIndex {6}\) “>| 生产数量 | 号码有缺陷 |
|---|---|
| 0—100 | 5 |
| 101—200 | 7 |
| 201—300 | 8 |
| 301—400 | 9 |
| 401—500 | 11 |
陈述进行拟合优度检验所需的零假设和备选假设，并陈述自由度。
示例\(\PageIndex{5}\)
雇主想知道员工每周工作五天中哪几天缺勤。 大多数雇主都希望相信员工在一周内的缺勤率相同。 假设随机抽样的 60 名经理被问及他们在一周中的哪一天缺勤人数最多。 结果分布如表所示\(\PageIndex{7}\)。 对于员工群体而言，每周五天工作期间缺勤次数最多的天数是否相等？ 以 5% 的显著性水平进行测试。
\ (\ pageIndex {7}\) 每周一天员工缺勤次数最多” >| 星期一 | 星期二 | 周三 | 星期四 | 星期五 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 缺勤人数 | 15 | 12 | 9 | 9 | 15 |
- 回答
-
解决方案 11.5
原假设和备选假设是：
- \(H_0\)：缺席天数以相等的频率出现，也就是说，它们拟合均匀分布。
- \(H_a\): 缺席天数发生在频率不平等的情况下，也就是说，它们不符合均匀的分布。
如果缺勤天数以相等的频率出现，那么，在 60 天（样本中的总缺勤天数：\(15 + 12 + 9 + 9 + 15 = 60\)）中，星期一将有 12 天缺席，星期二 12 天，星期三 12 天，星期四 12 天，星期五 12 天。 这些数字是预期的 (\(E\)) 值。 表中的值是观测值 (\(O\)) 或数据。
这次，手动计算\ chi2 检验统计量。 使用以下标题制作图表并填写各列：
- 预期 (\(E\)) 值\((12, 12, 12, 12, 12)\)
- 观测值 (\(O\))\((15, 12, 9, 9, 15)\)
- \((O – E)\)
- \((O – E)^2\)
- \(\frac{(O-E)^{2}}{E}\)
现在添加（求和）最后一列。 总和为三。 这是\(\chi^2\)测试统计数据。
计算出的检验统计量为 3，\(\chi^2\)分布在 4 个自由度处的临界值为 0.05 的置信水平为 9.48。 该值可在\(\chi^2\)表中自由度行 4 的 0.05 列中找到。
\(\text{The degrees of freedom are the number of cells }– 1 = 5 – 1 = 4\)
接下来，使用正确的标签和阴影完成如下图所示的图表。 （你应该遮住右尾巴。）
-
图\(\PageIndex{5}\)
\[\bf{\chi}_{c}^{2}=\sum_{k} \frac{(O-E)^{2}}{E}=3\nonumber\]
决定不否定原假设，因为检验统计量的计算值不在分布的尾部。
结论：从样本数据来看，在显著性水平为5％的情况下，没有足够的证据得出结论，缺席天数不是在相同频率下发生的。
练习\(\PageIndex{5}\)
老师们想知道学生每周哪个晚上都在做大部分作业。 大多数老师认为学生在一周内做家庭作业是平等的。 假设一个随机抽样的56名学生被问及他们在一周中的哪个晚上做的作业最多。 结果分布如表所示\(\PageIndex{8}\)。
\ (\ pageIndex {8}\) “>| 星期日 | 星期一 | 星期二 | 周三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 学生人数 | 11 | 8 | 10 | 7 | 10 | 5 | 5 |
从学生人数来看，完成大部分作业的学生的夜晚在一周内是否以相等的频率进行？ 你应该使用哪种类型的假设检验？
示例\(\PageIndex{6}\)
一项研究表明，美国家庭拥有的电视机数量是分布的（这是美国家庭的给定分布情况），如表所示\(\PageIndex{9}\)。
\ (\ pageIndex {9}\) “>| 电视机数量 | 百分比 |
|---|---|
| 0 | 10 |
| 1 | 16 |
| 2 | 55 |
| 3 | 11 |
| 4+ | 8 |
对美国西部遥远的600个家庭进行了随机抽样，得出了表中的数据\(\PageIndex{10}\)。
\ (\ pageIndex {10}\) “>| 电视机数量 | 频率 |
|---|---|
| 总计 = 600 | |
| 0 | 66 |
| 1 | 119 |
| 2 | 340 |
| 3 | 60 |
| 4+ | 15 |
该表包含观测的 (\(O\)) 频率值。
在1％的显著性水平上，美国远西部家庭的 “电视数量” 分布似乎与整个美国人口的分布有所不同吗？
- 回答
-
解决方案 11.6
这个问题要求你测试美国西部的家庭分布是否符合美国家庭的分布。 这个测试总是右尾的。
第一张表包含预期的百分比。 要获得预期 (E) 频率，请将百分比乘以 600。 预期频率如表所示\(\PageIndex{11}\)。
\ (\ pageIndex {11}\) “>电视机数量 百分比 预期频率 0 10 (0.10) (600) = 60 1 16 (0.16) (600) = 96 2 55 (0.55) (600) = 330 3 11 (0.11) (600) = 66 3 岁以上 8 (0.08) (600) = 48 桌子\(\PageIndex{11}\) 因此，预期频率为 60、96、330、66 和 48。
\(H_0\)：美国远西部家庭的 “电视数量” 分布与美国人口的 “电视数量” 分布相同。
\(H_a\)：美国远西部家庭的 “电视数量” 分布与美国人口的 “电视数量” 分布不同。
测试分布:\(\chi_{4}^{2} \text { where } d f=(\text { the number of cells })-1=5-1=4\).
计算测试统计数据：\(\chi^2 = 29.65\)
图表：
图\(\PageIndex{6}\) 卡方图显示了分布并以四个自由度标记临界值，置信度为 99%，α = .01，13.277。 该图还标记了计算出的 29.65 的 chi 平方检验统计量。 将检验统计量与临界值进行比较，就像我们在所有其他假设检验中所做的那样，得出结论。
做出决定：因为检验统计量位于分布的尾部，所以我们不能接受原假设。
这意味着你拒绝这样的信念，即远西各州的分布与整个美国人口的分布相同。
结论：从数据来看，在1％的显著性水平上，有足够的证据得出结论，美国西部的 “电视数量” 分布与整个人口的 “电视数量” 分布不同。
练习\(\PageIndex{6}\)
学生家中宠物数量的预期百分比是分布的（这是美国学生群体的给定分布），如表所示\(\PageIndex{12}\)。
\ (\ pageIndex {12}\) “>| 宠物数量 | 百分比 |
|---|---|
| 0 | 18 |
| 1 | 25 |
| 2 | 30 |
| 3 | 18 |
| 4+ | 9 |
来自美国东部的 1,000 名学生随机抽样得出了表中的数据\(\PageIndex{13}\)。
\ (\ pageIndex {13}\) “>| 宠物数量 | 频率 |
|---|---|
| 0 | 210 |
| 1 | 240 |
| 2 | 320 |
| 3 | 140 |
| 4+ | 90 |
在1％的显著性水平上，美国东部学生的 “宠物数量” 分布似乎与整个美国学生群体的分布有所不同吗？
示例\(\PageIndex{7}\)
假设你掷两枚硬币 100 次。 结果是\(20 HH, 27 HT, 30 TH\)、和\(23 TT\)。 这些硬币公平吗？ 以 5% 的显著性水平进行测试。
- 回答
-
解决方案 11.7
这个问题可以设置为拟合优度问题。 翻转两枚精美硬币的样本空间为\(\{HH, HT, TH, TT\}\)。 在 100 次翻转中，你预计有 25 次\(HH, 25 HT, 25 TH\)，而且\(25 TT\)。 这是二项式概率分布的预期分布。 问题是 “硬币公平吗？” 就像说：“硬币的分布是否\((20 HH, 27 HT, 30 TH, 23 TT)\)符合预期的分布？”
随机变量：让\(X\) = 两枚硬币一次翻转的头数。 X 取值 0、1、2。 （两枚硬币的翻转中有 0、1 或 2 个头。） 因此，细胞的数量为三个。 由于\(X\) = 头数，因此观测到的频率为 20（对于两个头）、57（对于一个头）和 23（对于零个头部或两个尾部）。 预期频率为 25（对于两个头）、50（对于一个头）和 25（对于零个头部或两个尾部）。 这个测试是右尾的。
\(\bf{H_0}\): 硬币很公平。
\(\bf{H_a}\): 这些硬币不公平。
测试分布：\(\chi_2^2\)哪里\(df = 3 – 1 = 2\)。
计算测试统计数据:\(\chi^2 = 2.14\).
图表：
图\(\PageIndex{7}\) 卡方图显示了分布并以两个自由度标记临界值，置信度为 95%\(\alpha = 0.05\)，即 5.991。 该图还标记了 2.14 的计算得出的\(\chi^2\)检验统计量。 将检验统计量与临界值进行比较，就像我们在所有其他假设检验中所做的那样，得出结论。
结论：没有足够的证据得出硬币不公平的结论：我们不能否认硬币公平的原假设。