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11.1:关于卡方分布的事实

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    卡方分布的表示法为:

    \[\chi \sim \chi_{d f}^{2}\nonumber\]

    其中\(df\) = 自由度,取决于卡方的使用方式。 (如果你想练习计算卡方概率,请使用\(df = n - 1\)。 三种主要用途的自由度计算方式各不相同。)

    对于分\(\chi^2\)布,总体均值为\(\mu = df\),总体标准差为\(\sigma=\sqrt{2(d f)}\)

    随机变量显示为\(\chi^2\)

    具有自由\(k\)度的卡方分布的随机变量是\(k\)独立的平方标准正态变量的总和。

    \[\chi^{2}=\left(Z_{1}\right)^{2}+\left(Z_{2}\right)^{2}+\ldots+\left(Z_{k}\right)^{2}\nonumber\]

    1. 曲线不对称且向右倾斜。
    2. 每个\(df\) (\(\PageIndex{1}\)) 都有不同的卡方曲线。
    3. 任何检验的检验统计量始终大于或等于零。
    4. 当时\(df > 90\),卡方曲线近似于正态分布。 对于\(\chi \sim \chi_{1,000}^{2}\)均值\(\mu = df = 1,000\)和标准差,\(\sigma=\sqrt{2(1,000)}=44.7\)。 因此\(\chi \sim N(1,000,44.7)\),大约。
    5. 平均值位于山峰的右边。\(\mu\)
    第 (a) 部分显示了一条自由度为 2 的卡方曲线。 它是非对称的,并且不断向下倾斜。 第 (b) 部分显示了 24 df 的卡方曲线。 这条非对称曲线确实有峰值并且向右倾斜。 这些图表明,不同的自由度会产生不同的卡方曲线。
    \(\PageIndex{1}\)