11.1：关于卡方分布的事实

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

卡方分布的表示法为：

$\chi \sim \chi_{d f}^{2}\nonumber$

其中 $df$ = 自由度，取决于卡方的使用方式。（如果你想练习计算卡方概率，请使用 $df = n - 1$ 。三种主要用途的自由度计算方式各不相同。）

对于分 $\chi^2$ 布，总体均值为 $\mu = df$ ，总体标准差为 $\sigma=\sqrt{2(d f)}$ 。

随机变量显示为 $\chi^2$ 。

具有自由 $k$ 度的卡方分布的随机变量是 $k$ 独立的平方标准正态变量的总和。

$\chi^{2}=\left(Z_{1}\right)^{2}+\left(Z_{2}\right)^{2}+\ldots+\left(Z_{k}\right)^{2}\nonumber$

曲线不对称且向右倾斜。
每个 $df$ ( $\PageIndex{1}$ ) 都有不同的卡方曲线。
任何检验的检验统计量始终大于或等于零。
当时 $df > 90$ ，卡方曲线近似于正态分布。对于 $\chi \sim \chi_{1,000}^{2}$ 均值 $\mu = df = 1,000$ 和标准差， $\sigma=\sqrt{2(1,000)}=44.7$ 。因此 $\chi \sim N(1,000,44.7)$ ，大约。
平均值位于山峰的右边。 $\mu$