9.2：结果以及 I 类和 II 类错误

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当您进行假设检验时，有四种可能的结果，具体取决于原假设的实际真相（或虚假性）\(H_0\)以及是否拒绝的决定。结果汇总在下表中：

表 9.2
\(\textbf{Statistical Decision}\)	\(\bf{H_0} \textbf{ is actually...}\)
\ (\ textbf {统计决策}\)” style= “vertical-align: middle;” >	\ (\ bf {H_0}\ textbf {实际上是...}\)” style= “vertical-align: middle;” > T rue	假的
\ (\ textbf {统计决策}\)” style= “vertical-align: middle;” > 无法接受\(H_0\)	\ (\ bf {H_0}\ textbf {实际上是...}\)” style= “vertical-align: middle;” >Type I 错误	正确的结果
\ (\ textbf {统计决策}\)” style= “vertical-align: middle;” > 无法拒绝\(H_0\)	\ (\ bf {H_0}\ textbf {实际上是...}\)” style= “vertical-align: middle;” > 正确的结果	类型 II 错误

表中的四种可能结果是：

当决定为真\(\bf{H_0}\)时\(\bf{H_0}\)，决定不能拒绝（正确的决定）。
\(\bf{H_0}\)如果\(\bf{H_0}\)是真的，则决定不可接受（错误的决定被称为 I 类错误）。这种情况被描述为 “拒绝一个好的空值”。正如我们稍后将看到的那样，我们将通过设置发生此类错误的概率来防范这种错误。目标是不要采取错误的行动。
\(\bf{H_0}\)如果事实上是错误的，则不能拒绝\(\bf{H_0}\)该决定（错误的决定被称为 II 类错误）。这被称为 “接受假空值”。在这种情况下，你允许现状保持不变，而现状本应被推翻。正如我们将看到的，原假设在与替代假设的竞争中具有优势。
如果决定是错误的（正确的决定），\(\bf{H_0}\)则该决定\(\bf{H_0}\)是不可接受的。

每个错误都以特定的概率发生。希腊字母\(\alpha\)和\(\beta\)代表概率。

\(\alpha\)= I 型错误的概率 =\(\bf{P}\)（I 型错误）= 当原假设为真时否定原假设的概率：拒绝一个好的原值。
\(\beta\)= II 型错误的概率 =\(\bf{P}\)（II 型错误）= 原假设为假时不否定原假设的概率。 (\(1 − \beta\)) 被称为 “测试之力”。

\(\alpha\)并且\(\beta\)应该尽可能小，因为它们是错误的概率。

统计数据允许我们设置出现 I 类错误的概率。出现 I 类错误的概率为\(\alpha\)。回想一下，最后一个单位的置信区间是通过选择一个名为\(Z_{\alpha}\)（或\(t_{\alpha}\)）的值来设置的，而 alpha 值决定了估计值的置信水平，因为这是区间未能捕获真实均值（或比例参数\(p\)）的概率。这个 alpha 和那个 alpha 是一样的。

查看 alpha 误差和置信度之间关系的最简单方法是使用下图。

图 9.2 的中心标有正态分布的采样分布\(H_0\)。这是采样分布\(\overline X\)，根据中心极限定理，它是正态分布。中心的分布已标记\(H_0\)，表示原假设的分布\(H_0\)：\(\mu = 100\)。这是正在测试的值。图下方列出了原假设和备选假设的正式陈述。

根据列为 Ha 的\(H_0\)备择假设，分布两侧的分布表示如果为假\(H_0\)则为真分布。我们不知道哪个是真的，也永远不会知道。实际上，如果 Ha 为真，则可以从无限数量的分布中提取数据，但是图 9.2 中只有两个分布代表所有其他分布。

为了检验一个假设，我们从总体中抽取一个样本，然后确定它是否可能来自具有可接受显著性的假设分布。此显著性级别是 alpha 误差，在图 9.2 中标记为\(H_0\)分布每条尾部的阴影区域。（每个区域实际上都是\ alpha/2，因为分布是对称的，备择假设允许该值可能大于或小于假设值（称为双尾检验）。

如果样本均值在分布的尾部标记为 “\(\overline{X}_{1}\)是”\(H_0\)，则我们得出结论，它可能来自\(H_0\)分布的概率小于 alpha。因此，我们指出：“原假设在 (\ alpha) 显著性水平下是不可接受的”。事实可能是，这\(\overline{X}_{1}\)确实来自分\(H_0\)发，但来自尾巴。如果是这样，那么我们就错误地拒绝了真正的原假设，并犯了 I 型错误。统计数据所做的就是对我们所知道的和我们控制的东西进行估计，那就是我们犯错的概率\(\alpha\)。

我们还可以在图 9.2 中看到，样本均值实际上可能来自 Ha 分布，但在 alpha 水平设定的边界内。这种情况被标记为\(\overline{X}_{2}\)。有一种可能性\(\overline{X}_{2}\)实际上来自哈，但出现在两条尾巴\(H_0\)之间的范围内。这个概率是 beta 错误，即接受假空值的概率。

我们的问题是，我们只能设置 alpha 误差，因为存在无限数量的替代分布，均值可能不等于\(H_0\)。因此，统计学家将举证责任置于备择假设上。也就是说，除非原假设的概率大于 90、95 甚至 99%，否则我们不会否定原假设：举证责任在于备择假设。这就是为什么我们早些时候称之为现状的暴政。

举个例子，美国司法制度从被告被 “推定无罪” 的概念开始。这是现状，也是原假设。法官将告诉陪审团，除非证据表明被告有罪，否则 “合理怀疑”（在刑事案件中通常定义为95％的有罪确定性），否则他们无法认定被告有罪。如果陪审团不能接受无效的、无罪的，那么就会采取行动，入狱。举证责任始终在于备选假设。（在民事案件中，陪审团只需要对不当行为有50％以上的确定性即可认定罪责，这被称为 “大量证据”）。

上面的例子是针对均值的检验，但同样的逻辑适用于人们可能希望检验的所有统计参数的假设检验。

以下是类型 I 和类型 II 错误的示例。

示例 9.4

假设原假设是：弗兰克的攀岩设备是安全的。\(H_0\)

第一类错误：弗兰克认为他的攀岩设备可能不安全，而事实上它确实很安全。

第二类错误：弗兰克认为他的攀岩设备可能是安全的，而实际上它并不安全。

\(\bf{\alpha =}\)弗兰克可能认为自己的攀岩设备可能不安全，而事实上它确实很安全。 \(\bf{\beta =}\)弗兰克可能认为自己的攀岩设备可能是安全的，而事实上它并不安全。

请注意，在这种情况下，后果最大的错误是 Type II 错误。（如果弗兰克认为自己的攀岩装备是安全的，他会继续使用它。）

这种情况被描述为 “接受假空值”。

示例 9.5

假设原假设是：车祸的受害者到达医院急诊室时还活着。\(H_0\) 这是现状，如果是真的，则无需采取任何行动。如果无法接受原假设，则需要采取行动，医院将开始适当的程序。

第一类错误：紧急救援人员认为受害者已经死亡，而受害者实际上还活着。 第二类错误：实际上，受害者已经死亡，紧急救援人员不知道受害者是否还活着。

\(\bf{\alpha =}\)实际上，紧急救援人员认为受害者已经死亡的概率 = P（I 型错误）。 \(\bf{\beta =}\)实际上，受害者死亡时，紧急救援人员不知道受害者是否还活着的概率 = P（II 型错误）。

后果更大的错误是 I 型错误。（如果紧急救援人员认为受害者已经死亡，他们就不会治疗他。）

练习 9.5

假设原假设是：患者没有生病。\(H_0\) 哪种错误的后果更大，第一类还是第二类？

示例 9.6

Boy Genetic Labs声称能够增加怀孕导致男孩出生的可能性。统计学家想检验这一说法。假设原假设是：这是个男孩遗传实验室对性别结果没有影响。\(H_0\) 现状是这种说法是错误的。举证责任始终由提出索赔的人承担，在本例中为遗传学实验室。

I 型错误：当真原假设被拒绝时，就会产生这种错误。在这种情况下，我们可以说，我们相信 It's a Boy Genetic Labs 会影响性别结果，而实际上它没有任何影响。此错误发生的概率由希腊字母 alpha\ alpha 表示。

II 型错误：当我们未能否定错误的原假设时，就会产生这种错误。在上下文中，我们可以说，这是个男孩遗传实验室不会影响妊娠的性别结果，而事实上它确实如此。此错误发生的概率由希腊字母 beta\ beta 表示。

后果更大的错误是 I 型错误，因为情侣们会使用 It's a Boy Genetic Labs 产品，希望增加生孩子的机会。

练习 9.6

“赤潮” 是产毒藻类的花朵，这是一种叫做 dinoflagellates 的浮游生物中的几种不同的物种。当天气和水况导致这些花朵时，生活在该地区的蛤蜊等贝类会产生危险水平的诱发麻痹的毒素。在马萨诸塞州，海洋渔业司（DMF）通过定期对海岸线上的贝类进行采样来监测贝类中的毒素水平。如果任何地区蛤蜊中的平均毒素含量超过每千克蛤肉含有 800 微克（微克）的毒素，则禁止在那里收获蛤蜊，直到开花结束且蛤蜊中的毒素水平消退。在此上下文中描述类型I和II型错误，并说明哪个错误的后果更大。

示例 9.7

某种实验药物声称前列腺癌男性的治愈率至少为75％。在上下文中描述类型 I 和类型 II 错误。哪个错误更严重？

I型：癌症患者认为该药物的治愈率低于75％，而实际上治愈率至少为75％。

II型：癌症患者认为，当实验药物的治愈率低于75％时，其治愈率至少为75％。

在这种情况下，Type II 错误包含更严重的后果。如果患者认为该药物至少有75％的时间有效，这很可能会影响患者（和医生）选择是否使用该药物作为治疗方案。