8.0：置信区间简介
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假设你想确定你所在城镇一套两居室公寓的平均租金。 你可以看看报纸的分类栏目，写下列出的几笔租金，然后将它们平均在一起。 你本可以得到真实均值的点估计值。 如果你想确定在射篮时打篮的次数百分比，你可以计算你的射门次数，然后将其除以你尝试的射门次数。 在这种情况下，您将获得二项式概率密度函数\(p\)中参数的真实比率的点估计值。
我们使用样本数据对未知人口进行概括。 统计数据的这一部分称为推理统计。 样本数据帮助我们估算总体参数。 我们意识到，点估计值很可能不是总体参数的精确值，而是接近总体参数的精确值。 计算点估计值后，我们构建区间估计值，称为置信区间。 除了简单平均值或点估计值之外，统计数据为我们提供的是一个估计值，我们可以将准确概率附加到该估计值上，我们称之为置信水平。 我们以已知的概率水平进行推断。
在本章中，您将学习构造和解释置信区间。 你还将学习一个新的分布，即 Student's-T，以及如何在这些间隔内使用它。 在本章中，请务必记住置信区间是一个随机变量。 它是固定的 population 参数。
如果你在一家娱乐公司的营销部门工作，你可能会对消费者每月从 iTunes 下载的歌曲的平均数量感兴趣。 如果是这样，您可以进行调查并计算样本均值和样本标准差\(s\)。\(\overline x\) 您可以使用\(\overline x\)来估计总体均值和\(s\)估计总体标准差。 样本均值是总体均值的点估计值\(\mu\)。\(\overline x\) 样本标准差是总体标准差的点估计值\(\sigma\)。\(s\)
\(\overline x\)和\(s\)都称为统计数据。
置信区间是另一种类型的估计值，但它不是一个数字，而是数字间隔。 数字间隔是根据一组给定的样本数据计算得出的值范围。 置信区间可能包含未知的总体参数。
假设，在 iTunes 示例中，我们不知道总体均值\(\mu\)，但我们知道总体标准差为 100\(\sigma = 1\)，样本数量为 100。 然后，根据中心极限定理，样本均值抽样分布的标准差为
\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{100}}=0.1.\nonumber\]
适用于正态分布的经验规则表明，在大约 95% 的样本中，样本均值将在总体均值\ mu 的两个标准差之内。\(\overline x\) 对于我们的 iTunes 示例，两个标准差是\((2)(0.1) = 0.2\)。 样本均\(\overline x\)值可能在 0.2 个单位以内\(\mu\)。
\(\overline x\)因为在 0.2 个单位以内（未知），\(\mu\)则可能在 0.2 个单位以内，概率\(\overline x\)为 95%。\(\mu\) 总体均\(\mu\)值包含在一个区间中，该区间的下部数是通过取样本均值减去两个标准差\((2)(0.1)\)来计算的，其上限值是通过取样本均值并将两个标准差相加来计算的。 换句话说\(\mu\)，\(\overline{x}+0.2\)在所有样本的95％之间\(\overline{x}-0.2\)。
对于 iTunes 示例，假设样本产生了样本均值\(\overline{x}=2\)。 然后，如果概率为 95%，则未知总体均值介\(\mu\)于
\[\overline{x}-0.2=2-0.2=1.8 \text { and } \overline{x}+0.2=2+0.2=2.2 \nonumber\]
我们说我们有95％的信心认为，未知人口平均每月从iTunes下载的歌曲数量在1.8到2.2之间。 95% 的置信区间为 (1.8, 2.2)。 请注意，我们使用经验法则谈到了95％的置信度。 两个标准差的经验规则仅为正态分布下概率的大约 95%。 确切地说，正态分布下的两个标准差实际上是概率的95.44％。 要计算确切的 95% 置信水平，我们将使用 1.96 个标准差。
95% 的置信区间意味着两种可能性。 要么区间 (1.8、2.2) 包含真实均值\(\mu\)，要么我们的样本生成的实际均值不在 0.2 个单位以内\(\mu\)。\(\overline x\) 第二种可能性仅发生在所有样本的5％上（95％减去100％= 5％）。
请记住，置信区间是为未知总体参数（如总体均值）创建的\(\mu\)。
对于均值的置信区间，公式为：
\[\mu=\overline{X} \pm Z_{\alpha} \sigma / \sqrt{n}\nonumber\]
或者用另一种方式写成：
\[\overline{X}-Z_{\alpha} \sigma /_{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha} \sigma / \sqrt{n}\nonumber\]
样本均值在哪里\(\overline x\)。 \(Z_{\alpha}\)由分析师所需的置信水平决定，\(\sigma / \sqrt{n}\)是中心极限定理给我们的均值的抽样分布的标准差。