8.0：置信区间简介

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假设你想确定你所在城镇一套两居室公寓的平均租金。你可以看看报纸的分类栏目，写下列出的几笔租金，然后将它们平均在一起。你本可以得到真实均值的点估计值。如果你想确定在射篮时打篮的次数百分比，你可以计算你的射门次数，然后将其除以你尝试的射门次数。在这种情况下，您将获得二项式概率密度函数 $p$ 中参数的真实比率的点估计值。

这是一张 M&Ms 堆积在一起的照片。 M&M 有红色、蓝色、绿色、黄色、橙色和棕色。 — Figure 你 $\PageIndex{1}$ 有没有想过杂货店里袋子里的 M&Ms 的平均数量是多少？您可以使用置信区间来回答此问题。（来源：comedy_nose/flickr）

我们使用样本数据对未知人口进行概括。统计数据的这一部分称为推理统计。 样本数据帮助我们估算总体参数。我们意识到，点估计值很可能不是总体参数的精确值，而是接近总体参数的精确值。计算点估计值后，我们构建区间估计值，称为置信区间。除了简单平均值或点估计值之外，统计数据为我们提供的是一个估计值，我们可以将准确概率附加到该估计值上，我们称之为置信水平。我们以已知的概率水平进行推断。

在本章中，您将学习构造和解释置信区间。你还将学习一个新的分布，即 Student's-T，以及如何在这些间隔内使用它。在本章中，请务必记住置信区间是一个随机变量。它是固定的 population 参数。

如果你在一家娱乐公司的营销部门工作，你可能会对消费者每月从 iTunes 下载的歌曲的平均数量感兴趣。如果是这样，您可以进行调查并计算样本均值和样本标准差 $s$ 。 $\overline x$ 您可以使用 $\overline x$ 来估计总体均值和 $s$ 估计总体标准差。样本均值是总体均值的点估计值 $\mu$ 。 $\overline x$ 样本标准差是总体标准差的点估计值 $\sigma$ 。 $s$

$\overline x$ 和 $s$ 都称为统计数据。

置信区间是另一种类型的估计值，但它不是一个数字，而是数字间隔。数字间隔是根据一组给定的样本数据计算得出的值范围。置信区间可能包含未知的总体参数。

假设，在 iTunes 示例中，我们不知道总体均值 $\mu$ ，但我们知道总体标准差为 100 $\sigma = 1$ ，样本数量为 100。然后，根据中心极限定理，样本均值抽样分布的标准差为

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{100}}=0.1.\nonumber$

适用于正态分布的经验规则表明，在大约 95% 的样本中，样本均值将在总体均值\ mu 的两个标准差之内。 $\overline x$ 对于我们的 iTunes 示例，两个标准差是 $(2)(0.1) = 0.2$ 。样本均 $\overline x$ 值可能在 0.2 个单位以内 $\mu$ 。

$\overline x$ 因为在 0.2 个单位以内（未知）， $\mu$ 则可能在 0.2 个单位以内，概率 $\overline x$ 为 95%。 $\mu$ 总体均 $\mu$ 值包含在一个区间中，该区间的下部数是通过取样本均值减去两个标准差 $(2)(0.1)$ 来计算的，其上限值是通过取样本均值并将两个标准差相加来计算的。换句话说 $\mu$ ， $\overline{x}+0.2$ 在所有样本的95％之间 $\overline{x}-0.2$ 。

对于 iTunes 示例，假设样本产生了样本均值 $\overline{x}=2$ 。然后，如果概率为 95%，则未知总体均值介 $\mu$ 于

$\overline{x}-0.2=2-0.2=1.8 \text { and } \overline{x}+0.2=2+0.2=2.2 \nonumber$

我们说我们有95％的信心认为，未知人口平均每月从iTunes下载的歌曲数量在1.8到2.2之间。 95% 的置信区间为 (1.8, 2.2)。 请注意，我们使用经验法则谈到了95％的置信度。两个标准差的经验规则仅为正态分布下概率的大约 95%。确切地说，正态分布下的两个标准差实际上是概率的95.44％。要计算确切的 95% 置信水平，我们将使用 1.96 个标准差。

95% 的置信区间意味着两种可能性。要么区间 (1.8、2.2) 包含真实均值 $\mu$ ，要么我们的样本生成的实际均值不在 0.2 个单位以内 $\mu$ 。 $\overline x$ 第二种可能性仅发生在所有样本的5％上（95％减去100％= 5％）。

请记住，置信区间是为未知总体参数（如总体均值）创建的 $\mu$ 。

对于均值的置信区间，公式为：

$\mu=\overline{X} \pm Z_{\alpha} \sigma / \sqrt{n}\nonumber$

或者用另一种方式写成：

$\overline{X}-Z_{\alpha} \sigma /_{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha} \sigma / \sqrt{n}\nonumber$

样本均值在哪里 $\overline x$ 。 $Z_{\alpha}$ 由分析师所需的置信水平决定， $\sigma / \sqrt{n}$ 是中心极限定理给我们的均值的抽样分布的标准差。