6.1: 标准正态分布
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标准正态分布是称为 z 分数的标准化值的正态分布。 z 分数以标准差为单位测量。
标准正态分布的均值为零,标准差为 1。 它的作用是大大简化概率的数学计算。 花点时间在上面公式中的适当位置用零和一代替,你会发现方程会折叠成一个可以使用积分微积分更容易求解的方程。 转换\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)生成分布\(Z \sim N(0, 1)\)。 给定方程\(x\)中的值来自具有已知均值\(\mu\)和已知标准差的已知正态分布\(\sigma\)。 z 分数表示特定\(x\)值与平均值之间有多少标准差。
Z 分数
如果\(X\)是正态分布的随机变量\(X \sim N(\mu, \sigma)\),则特定变量的 z 分数\(x\)为:
\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]
z 分数告诉你该值高\(\bf{x}\)于平均值(右边)或下方(向左)多少标准差\(\bf{\mu}\)。 大于均值\(x\)的值的 z 分值为正,而小于均值的\(x\)值的 z 分数为负。 如果 x 等于平均值,则 x 的 z 分数为零。
示例\(\PageIndex{1}\)
假设\(X \sim N(5, 6)\)。 也\(X\)就是说,这是一个具有均值\(\mu = 5\)和标准差的正态分布随机变量\(\sigma = 6\)。 假设\(x = 17\)。 然后:
\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{17-5}{6}=2\nonumber\]
这意味着在均\(x = 17\)值\((2\sigma)\)上方或右侧有两个标准差\(\mu = 5\)。
现在假设\(x = 1\)。 然后:\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{1-5}{6}=-0.67\)(四舍五入到小数点后两位)
这意味着平均\(\bf{x = 1}\)值\(\bf{(–0.67\sigma)}\)下方或左侧为 0.67 个标准差\(\bf{\mu = 5}\)。
经验规则
如果\(X\)是一个随机变量并且具有具有均值\(\mu\)和标准差的正态分布\(\sigma\),则经验规则规定如下:
- 大约 68% 的\(x\)值介于\(–1\sigma\)和\(+1\sigma\)均值之间\(\mu\)(在平均值的一个标准差之内)。
- 大约 95% 的\(x\)值介于\(–2\sigma\)和\(+2\sigma\)均值之间\(\mu\)(在平均值的两个标准差之内)。
- 大约 99.7% 的\(x\)值介于\(–3\sigma\)和\(+3\sigma\)均值之间\(\mu\)(在平均值的三个标准差之内)。 请注意,几乎所有 x 值都在平均值的三个标准差之内。
- 和的 z 分数分别\(–1\)为\(+1\sigma\)\(+1\)和\(–1\sigma\)。
- 和的 z 分数分别\(–2\)为\(+2\sigma\)\(+2\)和\(–2\sigma\)。
- 和的 z 分数\(–3\)分别为\(+3\sigma\)和\(–3\sigma\)。\(+3\)
示例\(\PageIndex{1}\)
假设\(x\)有一个正态分布,均值为 50,标准差 6。
- 大约 68% 的\(x\)值位于平均值的一个标准差之内。 因此,大约 68% 的\(x\)值介\(1\sigma = (1)(6) = 6\)于平均值 50\(–1\sigma = (–1)(6) = –6\) 和之间。 值\(50 – 6 = 44\)和\(50 + 6 = 56\)在平均值 50 的一个标准差之内。 44 和 56 的 z 分数分别为 —1 和 +1。
- 大约 95% 的\(x\)值位于平均值的两个标准差之内。 因此,大约 95% 的\(x\)值介于\(–2\sigma = (–2)(6) = –12\)和之间\(2\sigma = (2)(6) = 12\)。 值\(50 – 12 = 38\)和在距离\(50 + 12 = 62\)均值 50 的两个标准差之内。 38 和 62 的 z 分数分别为 —2 和 +2。
- 大约 99.7% 的\(x\)值位于平均值的三个标准差之内。 因此,大约 99.7% 的\(x\)值介\(3\sigma = (3)(6) = 18\)于平均值 50\(–3\sigma = (–3)(6) = –18\) 和之间。 值\(50 – 18 = 32\)和\(50 + 18 = 68\)在平均值 50 的三个标准差之内。 32 和 68 的 z 分数分别为 —3 和 +3。