6.1: 标准正态分布

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标准正态分布是称为 z 分数的标准化值的正态分布。 z 分数以标准差为单位测量。

标准正态分布的均值为零，标准差为 1。它的作用是大大简化概率的数学计算。花点时间在上面公式中的适当位置用零和一代替，你会发现方程会折叠成一个可以使用积分微积分更容易求解的方程。转换\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)生成分布\(Z \sim N(0, 1)\)。给定方程\(x\)中的值来自具有已知均值\(\mu\)和已知标准差的已知正态分布\(\sigma\)。 z 分数表示特定\(x\)值与平均值之间有多少标准差。

Z 分数

如果\(X\)是正态分布的随机变量\(X \sim N(\mu, \sigma)\)，则特定变量的 z 分数\(x\)为：

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]

z 分数告诉你该值高\(\bf{x}\)于平均值（右边）或下方（向左）多少标准差\(\bf{\mu}\)。 大于均值\(x\)的值的 z 分值为正，而小于均值的\(x\)值的 z 分数为负。如果 x 等于平均值，则 x 的 z 分数为零。

示例\(\PageIndex{1}\)

假设\(X \sim N(5, 6)\)。也\(X\)就是说，这是一个具有均值\(\mu = 5\)和标准差的正态分布随机变量\(\sigma = 6\)。假设\(x = 17\)。然后：

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{17-5}{6}=2\nonumber\]

这意味着在均\(x = 17\)值\((2\sigma)\)上方或右侧有两个标准差\(\mu = 5\)。

现在假设\(x = 1\)。然后:\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{1-5}{6}=-0.67\)（四舍五入到小数点后两位）

这意味着平均\(\bf{x = 1}\)值\(\bf{(–0.67\sigma)}\)下方或左侧为 0.67 个标准差\(\bf{\mu = 5}\)。

经验规则

如果\(X\)是一个随机变量并且具有具有均值\(\mu\)和标准差的正态分布\(\sigma\)，则经验规则规定如下：

大约 68% 的\(x\)值介于\(–1\sigma\)和\(+1\sigma\)均值之间\(\mu\)（在平均值的一个标准差之内）。
大约 95% 的\(x\)值介于\(–2\sigma\)和\(+2\sigma\)均值之间\(\mu\)（在平均值的两个标准差之内）。
大约 99.7% 的\(x\)值介于\(–3\sigma\)和\(+3\sigma\)均值之间\(\mu\)（在平均值的三个标准差之内）。请注意，几乎所有 x 值都在平均值的三个标准差之内。
和的 z 分数分别\(–1\)为\(+1\sigma\)\(+1\)和\(–1\sigma\)。
和的 z 分数分别\(–2\)为\(+2\sigma\)\(+2\)和\(–2\sigma\)。
和的 z 分数\(–3\)分别为\(+3\sigma\)和\(–3\sigma\)。\(+3\)

该频率曲线说明了经验规则。法线曲线显示在水平轴上。该轴标有点 -3s、-2s、-1s、m、1s、2s、3s。垂直线将轴连接到每个标记点处的曲线。曲线的峰值与点 m 对齐。

示例\(\PageIndex{1}\)

假设\(x\)有一个正态分布，均值为 50，标准差 6。

大约 68% 的\(x\)值位于平均值的一个标准差之内。因此，大约 68% 的\(x\)值介\(1\sigma = (1)(6) = 6\)于平均值 50\(–1\sigma = (–1)(6) = –6\) 和之间。值\(50 – 6 = 44\)和\(50 + 6 = 56\)在平均值 50 的一个标准差之内。 44 和 56 的 z 分数分别为 —1 和 +1。
大约 95% 的\(x\)值位于平均值的两个标准差之内。因此，大约 95% 的\(x\)值介于\(–2\sigma = (–2)(6) = –12\)和之间\(2\sigma = (2)(6) = 12\)。值\(50 – 12 = 38\)和在距离\(50 + 12 = 62\)均值 50 的两个标准差之内。 38 和 62 的 z 分数分别为 —2 和 +2。
大约 99.7% 的\(x\)值位于平均值的三个标准差之内。因此，大约 99.7% 的\(x\)值介\(3\sigma = (3)(6) = 18\)于平均值 50\(–3\sigma = (–3)(6) = –18\) 和之间。值\(50 – 18 = 32\)和\(50 + 18 = 68\)在平均值 50 的三个标准差之内。 32 和 68 的 z 分数分别为 —3 和 +3。