4.7: 章节关键项目

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Nov 1, 2022
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- 4.6: 章节作业
- 4.8: 章节练习

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伯努利试验

具有以下特征的实验：

每项试验只有两种可能的结果，分别称为 “成功” 和 “失败”。
任何试验 $p$ 的成功概率都相同（因此任何试验 $q = 1 − p$ 的失败概率都相同）。

二项式实验

满足以下三个条件的统计实验：

试用次数是固定的， $n$ 。
每项试验只有两种可能的结果，分别是 “成功” 和 “失败”。字母 $p$ 表示一次试验成功的概率， $q$ 表示一次试验失败的概率。
$n$ 试验是独立的，使用相同的条件重复进行。

二项式概率分布: 来自伯努利试验的离散随机变量 (RV)；独立试验的数量是固定的。 $n$ “独立” 是指任何试验（例如试验一）的结果不影响以下试验的结果，并且所有试验都是在相同的条件下进行的。在这种情况下，二项式 RV 被定义 $X$ 为 n 次试验中的成功次数。均值为 $\mu=n p$ ，标准差为 $\sigma=\sqrt{n p q}$ 。 $n$ 试验中恰好有 x 次成功的概率为 $P(X=x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}$ 。

几何分布: 产生于伯努利试验的离散随机变量 (RV)；重复试验，直到第一次成功。几何变量 X 被定义为第一次成功之前的试验次数。均值为 $\mu=\frac{1}{p}$ ，标准差为 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}-1\right)}$ 。在第一次成功之前，恰好有 x 次失败的概率由公式给出： $P(X=x)=p(1-p)^{x-1}$ 其中人们想知道在第一次成功之前试验次数的概率： $x$ 第 th 条线是第一次成功。
另一种几何分布公式提出了一个问题：在第一次成功之前 $x$ 失败的概率是多少？在此公式中，不计算取得第一次成功的试验。这种几何表示的公式是： $P(X=x)=p(1-p)^{x}$
这种形式的几何分布的预期值是 $\mu=\frac{1-p}{p}$
保持这两种形式的几何分布直线的最简单方法是记住 p 是成功概率和 $(1−p)$ 是失败的概率。在公式中，指数仅计算预期实验结果的成功次数和失败次数。当然，这两个数字的总和必须与实验中的试验次数相加。

几何实验

具有以下属性的统计实验：

有一次或多次伯努利试验都失败了，最后一次是成功的。
从理论上讲，试验的数量可能会永远持续下去。必须至少进行一次试验。
成功的 $p$ 概率和失败的概率不会因试验而变化。 $q$

超几何实验

具有以下属性的统计实验：

你从两组中采集样本。
你关心的是一个兴趣群体，称为第一组。
您可以从组合组中抽样，无需替换。
每个采样都不是独立的，因为采样无需替换。

超几何概率

一种离散随机变量 (RV)，其特征为：

固定数量的试验。
每次试验的成功概率都不一样。

当我们只对一组物品感兴趣时，我们会从两组物品中抽样。

$X$ 定义为所选物品总数中的成功次数。

泊松概率分布

一种离散随机变量 (RV)，用于计算特定事件在特定间隔内发生的次数；变量的特征：

所有时间间隔内事件发生的概率是相同的。
这些事件以已知的平均值发生，与自上次事件发生以来的时间无关。

分布由间隔

$\mu$ 内事件的平均值定义。意思是

$\mu = np$ 。标准差为

$\sigma=\sqrt{\mu}$ 。在

$r$ 试验中

$x$ 取得成功的概率是

$P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}$ 。泊松分布通常用于近似二项分布，当

$n$ “大” 和

$p$ “小” 时（一般规则是

$np$ 应大于或等于 25 且

$p$ 应小于或等于 0.01）。

概率分布函数 (PDF): 对离散随机变量 (RV) 的数学描述，以方程（公式）或表格的形式给出，列出实验的所有可能结果以及与每个结果相关的概率。

随机变量 (RV)

正在研究的群体中感兴趣的特征；变量的常用表示法是大写拉丁字母

$X, Y, Z$ ，...；来自域的特定值（变量所有可能值的集合）的常用表示法是小写拉丁字母

$x, y$ ，以及

$z$ 。例如，如果

$X$ 是家庭中孩子的数量，则

$x$ 表示一个特定的整数 0、1、2、3... 统计中的变量与中间代数中的变量在以下两个方面有所不同。

随机变量 (RV) 的域不一定是数字集；域可以用文字表示；例如，如果 $X =$ 头发颜色，则该域为 {黑色、金色、灰色、绿色、橙色}。
只有在进行实验之后，我们才能分辨出随机变量 $X$ 需要多少特定值 x。