3.4: 列联表和概率树

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Nov 1, 2022
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- 3.3: 概率的两个基本规则
- 3.5: 维恩图

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应急表

列联表提供了一种描绘数据的方法，有助于计算概率。该表有助于很容易地确定条件概率。该表显示了与两个可能相互依赖或依赖的不同变量相关的样本值。稍后，我们将再次使用应急表，但采用另一种方式。

示例 $\PageIndex{20}$

假设一项针对超速违规行为和使用手机的司机的研究得出了以下虚构数据：

\ (\ pageIndex {2}\) “>

桌子 $\PageIndex{2}$
	去年的超速违规行为	去年没有超速违规行为	总计
开车时使用手机	25	280	305
开车时不使用手机	45	405	450
总计	70	685	755

样本中的总人数为 755 人。行总数分别为 305 和 450。列总数分别为 70 和 685。请注意 305 + 450 = 755 和 70 + 685 = 755。

使用表格计算以下概率。

a. 查找 P（司机是手机用户）。

回答

解决方案 3.20

一个。 $\frac{\text { number of cell phone users }}{\text { total number in study }}=\frac{305}{755}$

b. 找到 P（司机去年没有违规行为）。

回答

解决方案 3.20

b。 $\frac{\text { number that had no violation }}{\text { total number in study }}=\frac{685}{755}$

c. Find P（司机去年没有违规行为 $\cap$ 是手机用户）。

回答

解决方案 3.20

c。 $\frac{280}{755}$

d. 查找 P（司机是手机用户， $\cup$ 司机去年没有违规行为）。

回答

解决方案 3.20

d。 $\left(\frac{305}{755}+\frac{685}{755}\right)-\frac{280}{755}=\frac{710}{755}$

e. Find P（司机是一名手机用户， $|$ 司机去年有违规行为）。

回答

解决方案 3.20

e. $\frac{25}{70}$ （样本空间减少为违规司机人数。）

f. Find P（司机去年没有违规行为 $|$ 司机不是手机用户）

回答

解决方案 3.20

f. $\frac{405}{450}$ （样本空间减少为非手机用户的司机人数。）

练习 $\PageIndex{20}$

该@@ 表 $\PageIndex{3}$ 显示了运动前伸展运动的运动员人数以及过去一年中受伤的人数。

\ (\ pageIndex {3}\) “>

	去年受伤	去年没有受伤	总计
伸展运动	55	295	350
不伸展	231	219	450
总计	286	514	800

表 3.3

什么是 P（运动员锻炼前的伸展运动）？
什么是 P（运动员运动前伸展运动 || 去年没有受伤）？

示例 $\PageIndex{21}$

该表 $\PageIndex{4}$ 显示了 100 名徒步旅行者的随机样本以及他们偏爱的徒步区域。

\ (\ pageIndex {4}\) 徒步区域偏好 “>

性别	海岸线	靠近湖泊和溪流	在山峰上	总计
女	18	16	___	45
男	___	___	14	55
总计	___	41	___	___

表 3.4 徒步区偏好

a. 填写表格。

回答

解决方案 3.21

一个。

\ (\ pageIndex {5}\) 徒步区域偏好 “>

桌上 $\PageIndex{5}$ 徒步区偏好
性别	海岸线	靠近湖泊和溪流	在山峰上	总计
女	18	16	11	45
男	16	25	14	55
总计	34	41	25	100

b. “女性” 和 “偏爱海岸线” 事件是独立的事件吗？

假设 F = 是女性，让 C = 更喜欢海岸线。

查找 $P(F\cap C)$ 。
查找 P (F) P (C)

这两个数字是一样的吗？如果是，则 F 和 C 是独立的。如果不是，则 F 和 C 不是独立的。

回答

解决方案 3.21

b。

1。

$P(F\cap C)=\frac{18}{100}$ = 0.18

2。 P (F) P (C)

$\left(\frac{45}{100}\right)\left(\frac{34}{100}\right)$ = (0.45) (0.34) = 0.153

$P(F\cap C)$ ≤ P (F) P (C)，因此事件 F 和 C 不是独立的。

c. 找出一个人是男性的概率，因为该人更喜欢在湖泊和溪流附近徒步旅行。让 M = 是男性，让 L = 更喜欢在湖泊和溪流附近徒步旅行。

用什么词告诉你这是有条件的？
填空并计算概率：P (___|___) = ___。
这个问题的样本空间是不是全部 100 名徒步旅行者？如果不是，那是什么？

回答

解决方案 3.21

c。

1. “给定” 一词告诉你这是有条件的。

2.P (M||L) = $\frac{25}{41}$

3.不，这个问题的样本空间是 41 名喜欢湖泊和溪流的徒步旅行者。

d. 找出一个人是女性或更喜欢在山峰上徒步旅行的概率。假设 F = 是雌性，让 P = 更喜欢山峰。

找到 P (F)。
找到 P (P)。
查找 $P(F\cap P)$ 。
查找 $P(F\cup P)$ 。

回答

解决方案 3.21

d。

P (F) = $\frac{45}{100}$
P (P) = $\frac{25}{100}$
$P(F\cap P)$ = $\frac{11}{100}$
$P(F\cup P)$ = $\frac{45}{100}+\frac{25}{100}-\frac{11}{100}=\frac{59}{100}$

练习 $\PageIndex{21}$

$\PageIndex{6}$ 该@@ 表显示了 200 名骑自行车者的随机样本以及他们偏爱的路线。假设 M = 雄性，H = 丘陵路径。

\ (\ pageIndex {6}\) “>

桌子 $\PageIndex{6}$
性别	湖道	丘陵路径	树木繁茂的小路	总计
女	45	38	27	110
男	26	52	12	90
总计	71	90	39	200

在雄性中，骑自行车的人喜欢丘陵路径的概率是多少？
这些事件 “是男性的” 和 “更喜欢丘陵之路” 的独立事件吗？

示例 $\PageIndex{22}$

Muddy Mouse 生活在一个有三扇门的笼子里。如果 Muddy 走出第一扇门，他被猫艾丽莎抓住的概率为 1515，未被抓住的概率为 4545。如果他走出第二扇门，他被艾丽莎抓住的概率是1414，他没有被抓住的概率是3434。艾丽莎抓住 Muddy 从第三扇门出来的概率是 1212，而她没抓住 Muddy 的概率是 1212。 Muddy 同样有可能选择三扇门中的任何一扇门，因此选择每扇门的概率为 1313。

\ (\ pageIndex {7}\) Door Choice “>

桌 $\PageIndex{7}$ 门选择
被抓到与否	一号门	二号门	三号门	总计
抓到了	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	____
没被抓住	$\frac{4}{15}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{6}$	____
总计	____	____	____	1

第一个条目 $\frac{1}{15}=\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)$ 是 $P(Door One\cap Caught)$
条目 $\frac{4}{15}=\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)$ 是 $P(Door One\cap Not Caught)$

验证其余条目。

a. 完成概率列联表。计算总数的条目。验证右下角的条目是否为 1。

回答

解决方案 3.22

一个。

\ (\ pageIndex {8}\) 门选择 “>

桌 $\PageIndex{8}$ 门选择
被抓到与否	一号门	二号门	三号门	总计
抓到了	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{19}{60}$
没被抓住	$\frac{4}{15}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{41} {60}$
总计	$\frac{5}{15}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{2}{6}$	1

b. Alissa 没抓住 Muddy 的概率是多少？

回答

解决方案 3.22

b。 $\frac{41}{60}$

c. 鉴于 Muddy 被 Alissa 抓住，Muddy 选择 Door One\ cap Door Two 的概率是多少？

回答

解决方案 3.22

c。 $\frac{9}{19}$

示例 $\PageIndex{23}$

该@@ 表 $\PageIndex{9}$ 包含了 2008 年至 2011 年美国每 10 万居民的犯罪数量。

\ (\ pageIndex {9}\) 2008-2011 年美国每 10 万居民的犯罪指数比率 “>

表 2008-2011 年 $\PageIndex{9}$ 美国每 10 万居民的犯罪指数率
年	抢劫	盗窃	强奸	车辆
2008	145.7	732.1	29.7	314.7
2009	133.1	717.7	29.1	259.2
2010	119.3	701	27.7	239.1
2011	113.7	702.2	26.8	229.6
总计

合计每列和每行。总数据 = 4,520.7

查找 $P(2009\cap Robbery)$ 。
查找 $P(2010\cap Burglary)$ 。
查找 $P(2010\cup Burglary)$ 。
查找 P (2011|Rape)。
找到 P (车辆|2008)。

回答

解决方案 3.23

0.0294
0.1551
0.7165
0.2365
0.2575

练习 $\PageIndex{23}$

该@@ $\PageIndex{10}$ 表列出了一组参与观察性研究的人的体重和身高。

\ (\ pageIndex {10}\) “>

桌子 $\PageIndex{10}$
体重/身高	高	中等	短
肥胖	18	28	14
正常	20	51	28
体重不足	12	25	9
总计

找到每行和每列的总数
找出从该组中随机选择的个体身高大的概率。
找出从该组中随机选择的个体肥胖且身材高大的概率。
找出从该组中随机选择的个体在肥胖的情况下该人身高大的概率。
找出从该组中随机选择的个体在身高的情况下为肥胖的概率。
找出从该组中随机选择的个体身高且体重不足的概率。
肥胖和高个子活动是独立的吗？

树图

有时，当概率问题很复杂时，绘制情况图可能会有所帮助。树形图可用于可视化和求解条件概率。

树图

树形图是一种特殊类型的图形，用于确定实验结果。它由标有频率或概率的 “分支” 组成。树形图可以使某些概率问题更易于可视化和解决。以下示例说明了如何使用树图。

示例 $\PageIndex{24}$

在骨灰盒里，有 11 个球。三个球是红色（R），八个球是蓝色（B）。抽两个球，一次一个，替换。 “带替换” 意味着你在选择第二个球之前先把第一个球放回骨灰盒里。下面是使用显示所有可能结果的频率的树图。

这是一张树形图，其分支显示了每次抽奖的频率。第一个分支显示两条线：8B 和 3R。第二分支具有一组两条线（8B和3R），用于第一分支的每条线。沿每行相乘得出 64BB、24BR、24RB 和 9RR。 — 图 $\PageIndex{2}$ 总计 = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

第一组分支代表第一次抽奖。第二组分支代表第二次抽奖。每种结果都是不同的。实际上，我们可以将每个红球列为 R1、R2 和 R3，将每个蓝球列为 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7 和 B8。然后九个 RR 结果可以写成：

R1R1; R1R2; R1R3; R2R1; R2R2; R2R3; R3R1; R3R2; R3R3

其他结果是相似的。

骨灰盒里总共有 11 个球。抽两个球，一次一个，替换。有 11 (11) = 121 个结果，相当于样本空间的大小。

a. 列出 24 个 BR 结果：B1R1、B1R2、B1R3、...

回答

解决方案 3.24

a. B1R1；B1R2；B1R3；B2R1；B2R2；B2R3；B3R1；B3R2；B3R3；B4R1；B4R2；B5R3；B6R1；B6R2；B7R1；B7R2；B7R3；B7R3；B7R3；B7R3；B8R2 R1; B8R2; B8R3

b. 使用树形图计算 P (RR)。

回答

解决方案 3.24

b. P (RR) = $\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right) = \frac{9}{121}$

c. 使用树形图计算 P (RB\ cup BR) P (RB\ cup BR)。

回答

解决方案 3.24

c. $P(RB\cup BR)$ = $\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right)=\frac{48}{121}$

d. 使用树图计算 $P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw)$ 。

回答

解决方案 3.24

d。 $P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)=\frac{24}{121}$

e. 使用树形图计算 P（第 2 次抽奖时为 R |第 1 次抽奖时计算 b）。

回答

解决方案 3.24

e. P（第二次抽奖时为 R |第一次抽奖时为 b）= P（第 2 局为 R |1 日为 B）= $\frac{24}{88} = \frac{3}{11}$

这个问题是有条件的。样本空间已缩小到第一次抽奖时已经有蓝色的结果。有 24 + 64 = 88 个可能的结果（24 BR 和 64 BB）。在88种可能的结果中，有24种是BR。 $\frac{24}{88} = \frac{3}{11}$ 。

f. 使用树形图计算 P (BB)。

回答

解决方案 3.24

f. P (BB) = $\frac{64}{121}$

g. 使用树形图计算 P（第 2 张抽奖时为 B |第一次抽奖时为 R）。

回答

解决方案 3.24

g. P（第二次抽奖时为 B |第一次抽奖时为 R）= $\frac{8}{11}$

有 9 + 24 个结果在第一轮抽奖中有 R（9 RR 和 24 RB）。然后，样本空间为 9 + 24 = 33。33 个结果中有 24 个在第二次抽奖中有 B。那么概率就是 $\frac{24}{33}$ 。

练习 $\PageIndex{24}$

在标准牌组中，有 52 张牌。12 张牌是面部卡牌（事件 F），40 张牌不是面部卡牌（事件 N）。抽两张牌，一次一张，替换。所有可能的结果都以频率形式显示在树图中。使用树图计算 P (FF)。

这是一张树形图，其分支显示了每次抽奖的频率。第一个分支显示两条线：12F 和 40N。对于第一分支的每条线，第二分支有一组两条线（12F 和 40N）。沿每条线相乘得出 144FF、480FN、480NF 和 1,600NN。 — 图 $\PageIndex{3}$

示例 $\PageIndex{25}$

一个骨灰盒里有三个红色弹珠和八个蓝色弹珠。从骨灰盒中抽出两个弹珠，一次一个，这次无需替换。 “不替换” 意味着在选择第二个大理石之前，你不会把第一个球放回去。以下是这种情况的树形图。分支用概率而不是频率标记。树枝末端的数字是通过将两个对应分支上的数字相乘来计算的，例如 $\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}$ 。

这是一张树图，其分支显示了每次抽奖的概率。第一个分支显示两条线：B 8/11 和 R 3/11。第二个分支每条第一分支线有一组 2 条线。 B 8/11 以下是 B 7/10 和 R 3/10。 R 3/11 以下是 B 8/10 和 R 2/10。沿每条线乘以得出 BB 56/110、BR 24/110、RB 24/110 和 RR 6/110。 — 数字 $\PageIndex{4}$ 总计 = $\frac{56+24+24+6}{110}=\frac{110}{110}=1$

注意

如果你在第一个抽奖中从三个红色可能性中抽出一个红色，那么在第二次抽奖中还有两个红色弹珠可以抽出。画完第一块大理石后，请勿将其放回或更换。你在没有替换的情况下抽奖，所以在第二轮抽奖中，骨灰盒里还剩十个弹珠。

使用树图计算以下概率。

a. P (RR) = ________

回答

解决方案 3.25

a. P (RR) = $\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}$

b. 填写空白：

$P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)$ + (___) (___) = $\frac{48}{110}$

回答

解决方案 3.25

b。 $P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{10}\right)=\frac{48}{110}$

c. P（第 2 层为 R |1 号为 B）=

回答

解决方案 3.25

c. P（第 2 层为 R |1 号为 B）= $\frac{3}{10}$

d. 填写空白。

$P(Ron 1st\cap Bon 2nd)$ = (___) (___) = $\frac{24}{100}$

回答

解决方案 3.25

d。 $P(R \text{ on 1st }\cap B \text{ on 2nd}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)=\frac{24}{110}$

e. 找到 P (BB)。

回答

解决方案 3.25

e. P (BB) = $\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{7}{10}\right)$

f. 找到 P（第 2 位为 B |1 号为 R）。

回答

解决方案 3.25

f. 使用树图，P（2 号为 B |1 号为 R）= P（R|B）= $\frac{8}{10}$ 。

如果我们使用概率，我们可以用以下通用方式标记树。

这是两步实验的树状图。第一个分支显示第一个结果：P (B) 和 P (R)。第二个分支对第一个分支的每条线有一组 2 条线：给定 B = P (BB) 的 B 概率、给定 B = P (RB) 的 R 概率、给定 R = P (BR) 的 B 概率以及给定 R = P (RR) 的 R 概率。

P (R|R) 这里的意思是 P（2 号为 R |1 号为 R）
P (B|R) 这里的意思是 P（2 号为 B |1 号为 R）
P (R|B) 这里的意思是 P（2 号为 R |1 号为 B）
P (B|B) 这里表示 P（2 号为 B |1 号为 B）

练习 $\PageIndex{25}$

在标准牌组中，有 52 张牌。十二张牌是面部卡片 (F)，40 张牌不是面部卡片 (N)。抽两张牌，一次一张，无需替换。树图上标有所有可能的概率。

这是一张树形图，其分支显示了每次抽奖的频率。第一个分支显示两条线：F 12/52 和 N 40/52。第二个分支的每条线都有一组 2 条线（F 11/52 和 N 40/51）。沿每条线乘以得出 FF 121/2652、FN 480/2652、NF 480/2652 和 NN 1560/2652。 — 图 $\PageIndex{5}$

查找 $P(FN\cup NF)$ 。
找到 P (N|F)。
找到 P（最多一张面部卡片）。
提示：“最多一张面部卡片” 表示零张或一张面部卡片。
找到 P（至少在面部卡片上）。
提示：“至少一张面部卡片” 表示一张或两张面部卡片。

示例 $\PageIndex{26}$

人道协会有一窝可供收养的小猫有四只虎斑小猫和五只黑色小猫。一家人进来随机选择两只小猫（无需替换）进行收养。

这是一张树图，其树枝显示了选择小猫的概率。第一个分支显示两条线：T 4/9 和 B 5/9。第二个分支每条第一分支线有一组 2 条线。 T 4/9 之下是 T 3/8 和 B 5/8。 B 5/9 之下是 T 4/8 和 B 4/8。沿每条线乘以找出可能组合的概率。

两只小猫都是虎斑猫的概率是多少？

$a \cdot\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) b \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right) c \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right) d \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)$
每种颜色选择一只小猫的概率是多少？

a. $\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)$ b. $\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)$ c. $\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right)$ d. $\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)$
当选择黑色小猫作为第一只小猫时，虎斑猫被选为第二只小猫的概率是多少？
选择两只相同颜色的小猫的概率是多少？

回答

解决方案 3.26

a.c、b.d、c. $\frac{4}{8}$ 、d。 $\frac{32}{72}$

练习 $\PageIndex{26}$

假设一个盒子里有四个红球和三个黄球。从盒子里抽出两个球，无需替换。每种颜色选择一个球的概率是多少？