3.5: 维恩图

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维恩图是代表实验结果的图片。它通常由一个代表样本空间 S 的盒子以及圆形或椭圆组成。圆形或椭圆代表事件。维恩图还可以帮助我们将常用的英语单词转换为有助于提高精度的数学术语。

维恩图以他们的发明家约翰·文恩命名，他是剑桥大学的数学教授，英国国教牧师。他的主要工作是在 19 世纪 70 年代后期完成的，催生了整个数学分支和处理逻辑问题的新方法。我们将使用这种强有力的方法开发刚才介绍的概率规则来演示概率假设，包括加法规则、乘法规则、补码规则、独立性和条件概率。

示例 3.27

假设一个实验的结果为 1、2、3、...、12，其中每个结果的发生概率相等。让事件\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)和事件\(B = \{6, 7, 8, 9\}\)。然后\(A\)相交\(B = A \cap B=\{6\}\)并合\(A\)并\(B = A\cup B=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)。维恩图如下所示：

维恩图。代表集合 A 的椭圆包含值 1、2、3、4、5 和 6。代表集合 B 的椭圆也包含 6 以及 7、8 和 9。值 10、11 和 12 存在，但不包含在任何一个集合中。 — 图 3.6

图 3.6 显示了这些数字之间最基本的关系。首先，数字分组称为集合；集合 A 和集合 B。有些数字在两个集合中；我们说集合 A\(\cap \) 中的集合 B 中。英语单词 “and” 表示包含，意思是 A 和 B 同时具有 A 和 B 的特征，或者在本例中，是 A 和 B 的一部分。这个条件被称为交叉点这两套。属于两个集合的所有成员构成两个集合的交点。交叉点写成交点\(\cap\)的数学符号在\(A\cap B\)哪里。语句 A\ cap BA\ cap B 被读为 “A 相交 B” 你可以通过考虑两条街道的交叉点来记住这一点。

还有一些数字构成一个群组，要获得成员资格，该号码必须属于一个或另一个组。该号码不必同时出现在两组中，而只能在两组中的任何一组中。这些数字被称为两组的 UNION，在本例中，它们是数字 1-5（仅来自 A）、7-9（仅来自集合 B）以及 6，在集合 A 和 B 中都有。因此\(\cup \)，UNION 的符号为 1-9，但不包括\(A\cup B=\)数字 10、11 和 12。值 10、11 和 12 是宇宙的一部分，但不在这两组中。

将英语单词 “AND” 翻译成数学逻辑符号\ cap，交叉点，将单词 “OR” 翻译成数学符号\ cup，union，为讨论概率和逻辑问题提供了一种非常精确的方式。图 3.6 中维恩图三个区域的通用术语如图 3.7 所示。

练习 3.27

假设一个实验的结果为黑色、白色、红色、橙色、黄色、绿色、蓝色和紫色，其中每个结果出现的几率相等。假设事件 C = {绿色、蓝色、紫色}，事件 P = {红色、黄色、蓝色}。然后\(C\cap P=\{blue\}\)和\(C \cup P=\{\text { green, blue, purple, red, yellow }\}\)。画一张代表这种情况的维恩图。

示例 3.28

掷出两枚公平的硬币。让 A = 第一枚硬币的尾巴。假设B =第二枚硬币的尾巴。然后 A = {TT, TH} 和 B = {TT, HT}。因此，\(A\cap B=\{TT\}\)。 \(A\cup B=\{TH, TT, HT\}\)。

当你掷两枚公平硬币时，样本空间为 X = {HH、HT、TH、TT}。结果 HH 既不在 A 也不是 B 中。维恩图如下所示：

这是维恩图。代表集合 A 的椭圆包含尾巴 + 头和尾 + 尾巴。代表集合 B 的椭圆还包含 Tails + Tails 以及 Heads + Tails。宇宙 S 包含 Heads + Heads，但这个值不包含在集合 A 或 B 中 — 图 3.7

练习 3.28

掷出一个公平的六面骰子。假设 A = 滚动一个质数的点。假设 B = 滚动的点数为奇数。然后 A= {2、3、5} 和 B = {1、3、5}。因此，\(A\cap B=\{3, 5\}\)。 \(A\cup B=\{1, 2, 3, 5\}\)。掷出公平骰子的样本空间为 S = {1、2、3、4、5、6}。画一张代表这种情况的维恩图。

示例 3.29

患有O型血且Rh因子（Rh-）阴性的人可以向任何血型的人献血。百分之四的非裔美国人有O型血液和阴性的RH因子，5−10％的非裔美国人有Rh-因子，51％的非裔美国人有O型血。

这是一张空的维恩图，显示了两个重叠的圆圈。左边的圆圈标记为 O，右边的圆圈标记为 RH-。 — 图 3.8

“O” 圈代表患有 O 型血的非裔美国人。 “Rh-” 椭圆形代表带有 Rh-因子的非裔美国人。

我们将取5％和10％的平均值，并使用7.5％作为具有Rh-因子的非裔美国人的百分比。假设 O = 有 O 型血的非裔美国人，R = 含有 Rh-factor 的非裔美国人。

P (O) = ___________
P (R) = ___________
\(P(O\cap R)=\)_________
\(P(O\cup R)=\)____________
在维恩图中，使用完整的句子描述重叠区域。
在维恩图中，使用完整的句子描述矩形中但位于圆形和椭圆之外的区域。

回答

解决方案 3.29

a. 0.51；b. 0.075；c. 0.04；d. 0.545；e. 该区域代表有 O 型血和 Rh-因子的非裔美国人。f. 该区域代表既没有 O 型血也没有 Rh-因子的非裔美国人。

示例 3.30

工厂有50％的工人从事第二份工作，25％的配偶也在工作，5％的工人从事第二份工作，并且有配偶也在工作。画一张显示关系的维恩图。让 W = 工作第二份工作，S = 配偶也在工作。

回答

当地大学的学生@@ 中有40％ 属于俱乐部，50％的学生从事兼职工作。 百分之五的学生从事兼职工作，属于俱乐部。画一张显示关系的维恩图。假设 C = 学生属于俱乐部，PT = 学生兼职工作。

这是一张维恩图，其中一组包含俱乐部中的学生，另一组包含兼职的学生。两组学生都是俱乐部会员，同时兼职工作。宇宙被标记为S — 图 3.9

如果随机选择了学生，请找到

学生加入俱乐部的概率。 P (C) = 0.40
学生兼职工作的概率。 P (PT) = 0.50
学生加入俱乐部并兼职工作的概率。 \(P(C\cap PT)=0.05\)
鉴于学生从事兼职工作，该学生加入俱乐部的概率。 \(P(C | P T)=\frac{P(C \cap P T)}{P(P T)}=\frac{0.05}{0.50}=0.1\)
学生加入俱乐部或从事兼职工作的概率。 \(P(C \cup P T)=P(C)+P(P T)-P(C \cap P T)=0.40+0.50-0.05=0.85\)

为了求解示例 3.30，我们必须借鉴上一节中的条件概率的概念。在那里，我们使用树形图来跟踪概率的变化，因为样本空间在绘制时发生了变化，没有替换。简而言之，条件概率是指在其他事件已经发生的情况下发生某些事情的可能性。换句话说，某件事发生的概率取决于其他事情也属实的情况。在示例 3.30 中，概率 P (C||PT) 是随机抽取的学生是俱乐部成员的条件概率，条件是该学生也在兼职工作。这使我们能够看到维恩图和概率假设之间的关系。

练习 3.30

在书店中，顾客购买小说的概率为0.6，顾客购买非虚构类书籍的概率为0.4。假设客户同时购买两者的概率为 0.2。

画一张代表情况的维恩图。
找出客户购买小说或非虚构类书籍的可能性。
在维恩图中，使用完整的句子描述重叠区域。
假设有些客户只购买光盘。在你的维恩图中画一个代表这个事件的椭圆。

示例 3.31

观察到一组 20 只德国牧羊犬。12 只为雄性，8 只为雌性，10 只为棕色，5 只有白色的毛皮。使用维恩图回答以下问题。

画一张维恩图，简单地显示公狗和母狗的集合。

回答

解决方案 3.31

下面的维恩图演示了相互排斥事件的情况，其中结果是独立事件。如果狗不能既是雄性又是雌性，那么就没有十字路口。身为男性就排除了女性身份，女性排除了成为男性：在这种情况下，特征性别是相互排斥的。维恩图将其显示为两个没有交叉点的集合。据说交叉点是使用数学符号的空集。

画第二张维恩图，说明其中 10 只公狗是棕色的。

回答

解决方案 3.31

下面的维恩图显示了雄性和棕色之间的重叠，其中放置了数字 10。这代表\(\text{ Male}\cap \text{Brown }\)：男性和棕色。这是这两个特征的交集。要获得 Male 和 Brown 的结合，那么只需两个圆圈区域减去重叠部分即可。恰如其分地说，\( \text{ Male}\cup \text{ Brown }=\text { Male }+\text { Brown }-\text { Male } \cap \text { Brown}\)将告诉我们这两套组合中的狗的数量。如果我们不减去十字路口，我们会重复计算一些狗。


回答: 解决方案 3.31

图 3.12

概率加法规则

我们之前遇到了加法规则，但没有维恩图的帮助。维恩图有助于可视化概率计算中固有的计数过程。要重述概率加法规则：

\[P(A \cup B)=P(\mathrm{A})+P(B)-P(A \cap B)\nonumber\]

请记住，概率只是我们感兴趣的物体相对于物体总数的比例。这就是为什么我们可以看到维恩图的用处。示例 3.31 显示了如何使用维恩图通过提醒我们减去棕色和雄性的交叉点来计算棕色和雄性结合中的狗的数量。我们可以直接在加法规则中看到这对概率的影响。

示例 3.32

让我们抽取50名参加统计课的学生的样本。20名是新生，30名是大二学生。15名学生在课程中得到 “B”，5名学生都得到 “B” 分并且是新生。

计算选择获得 “B” 或新生的学生的概率。我们正在将 OR 一词翻译成加法规则的数学符号，即两组的并集。

回答

解决方案 3.32

我们知道样本中有50个学生，所以我们知道分数的分母可以给出概率。我们只需要找到符合我们感兴趣特征的学生人数，即任何新生和任何获得 “B” 成绩的学生使用概率加法规则，我们可以直接跳到概率。

假设 “A” = 新生人数，让 “B” = “B” 的成绩下面我们可以看到使用维恩图解决这个问题的过程。

这个\(P(A)=\frac{20}{50}=0.40, P(B)=\frac{15}{50}=0.30, \text { and } P(A \cap B)=\frac{5}{50}=0.10\)

因此，\(P(A \cap B)=0.40+0.30-0.10=0.60\)

如果两个事件是相互排斥的，那么，就像我们绘制公狗和母狗的例子一样，加法规则简化为公狗\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)−0\)。这是真的，因为正如我们之前看到的，互斥事件的结合是空集，即。下图对此进行了演示。

使用维恩图的表示法重述概率乘法规则，我们有：

\[P(A\cap B)=P(A|B)⋅P(B)\nonumber\]

乘法规则可以用一点代数修改为以下条件规则。然后可以使用维恩图来演示该过程。

条件规则：\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

使用上面示例 3.32 中的相同事实，找出某人如果是 “新生” 获得 “B” 的概率。

\[P(A | B)=\frac{0.10}{0.30}=\frac{1}{3}\nonumber\]

如果两个事件是独立的，则还必须更改乘法规则。独立事件被定义为条件概率只是相关事件的概率的情况。正式而言，事件的独立性被定义为\(P(A|B)=P(A)\)或\(P(B|A)=P(B)\)。掷硬币时，第二次翻转的结果与第一次翻转的结果无关；硬币没有记忆。因此，独立事件的概率乘法则变为：

\[P(A\cap B)=P(A)⋅P(B)\nonumber\]

记住这一点的一种简单方法是考虑 “and” 这个词的意思。我们看到，乘法规则已将 “and” 一词翻译成交点的维恩符号。因此，成绩必须满足上例中新生和 “B” 成绩这两个条件。满足两个条件比仅仅满足一个或另一个条件更难，可能性也更小。我们可以尝试看一下概率乘法规则的逻辑，因为分数相乘会变小。

当我们希望根据列联表中排列的数据计算概率时，使用维恩图开发概率规则会有所帮助。

示例 3.33

表 3.11 来自于 200 人的样本，他们被问及完成了多少教育。这些列代表他们完成的最高学历，各行按男性和女性将个人分开。

表 3.11
	还不到高中毕业生	高中毕业生	一些大学	大学毕业生	总计
男	5	15	40	60	120
女	8	12	30	30	80
总计	13	27	70	90	200

现在，我们可以用这个表来回答概率问题。以下示例旨在帮助理解上述格式，同时将知识与维恩图和概率规则联系起来。

被选中的人既完成大学学业又是女性的概率是多少？

回答

解决方案 3.33

这是一项简单的任务，即在表格上找到两个特征相交的值，然后应用概率假设，即一个事件的概率是与我们感兴趣的事件相匹配的结果占所有可能的总数的比例结果。

\(P(\text {College Grad } \cap \text { Female })=\frac{30}{200}=0.15\)

选择女性或大学毕业生的概率是多少？

回答

解决方案 3.33

此任务涉及使用加法规则来求解此概率。

\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female })=P(F)+P(C G)-P(F \cap C G)\)

\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female }) =\frac{80}{200}+\frac{90}{200}-\frac{30}{200}=\frac{140}{200}=0.70\)

如果我们只从男性群体中进行选择，选择高中毕业生的概率是多少？

回答

解决方案 3.33

在这里，我们必须使用条件概率规则（修改后的乘法规则）来求解这个概率。

\(P (\text{HS Grad } | \text { Male }）=\frac{P(\mathrm{HS} \text { Grad } \cap \mathrm{Male})}{\mathrm{P}(\mathrm{Male})}=\frac{\left(\frac{15}{200}\right)}{\left(\frac{120}{200}\right)}=\frac{15}{120}=0.125\)

我们能否得出结论，这200人所达到的教育水平与个人的性别无关？

回答

解决方案 3.33

有两种方法可以进行此测试。第一种方法旨在分别测试两个事件的交集是否等于事件的乘积，记住如果两个事件独立于\(P(A)^{*} P(B)=P(A \cap B)\)。为简单起见，我们可以使用上面的计算值。

是吗\(P(\text { College Grad } \cap \text { Female })=P(C G) \cdot P(F)\)？

\(\frac{30}{200} \neq \frac{90}{200} \cdot \frac{80}{200}\)因为 0.15 ≤ 0.18。

因此，这里的性别和教育不是独立的。

第二种方法是测试 A 给定 B 的条件概率是否等于 A 的概率。同样，为简单起见，我们可以使用上面已经计算出的值。

是吗\(P(H S \text { Grad } | \text { Male })=P(H S \text { Grad) }\)？

\(\frac{15}{120} \neq \frac{27}{200}\)因为 0.125 ≤ 0.135。

因此，这里的性别和教育也不是独立的。