3.1：概率术语

Last updated

Nov 1, 2022
Page ID
204852
Save as PDF
- 3.0：概率简介
- 3.2：独立和互斥的事件

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

概率是一种衡量标准，它与我们对特定实验或活动结果的确定程度有关。实验是在受控条件下进行的有计划的操作。如果结果不是预先确定的，则该实验被称为偶然实验。两次掷一枚硬币就是一个实验的例子。

实验的结果称为结果。实验的样本空间是所有可能结果的集合。表示样本空间的三种方法是：列出可能的结果、创建树图或创建维恩图。大写字母 $S$ 用于表示样本空间。例如，如果你掷出一枚公平的硬币 $S = \{H, T\}$ ， $H =$ 结果是正 $T =$ 面和反面。

事件是结果的任意组合。大写字母 like $A$ an $B$ d 表示事件。例如，如果实验是掷出一枚公平的硬币， $A$ 那么事件可能最多只能得到一个头。写入事件 $A$ 的概率 $P(A)$ 。

任何结果的概率是该结果的长期相对频率。 概率介于零和一之间（即零和一，以及这些值之间的所有数字）。 $P(A) = 0$ 意味着事件 $A$ 永远不会发生。 $P(A) = 1$ 意味着事件 $A$ 总是会发生。 $P(A) = 0.5$ 表示 $A$ 该事件发生或不发生的可能性相同。例如，如果您反复掷一枚公平硬币（从20次到2,000次到20,000次），则头部的相对频率接近0.5（头部的概率）。

同样可能性意味着实验的每个结果都以相等的概率出现。例如，如果你掷出一个公平的六面骰子，则每张面（1、2、3、4、5 或 6）出现的可能性与其他任何面孔一样。如果你抛出一枚公平的硬币，头部（H）和尾巴（T）的可能性相同。如果您在考试中随机猜出对/错题的答案，则选择正确答案或错误答案的可能性相同。

要计算样本空间中所有结果的可能性相等时事件 A 的概率，请计算事件 A 的结果数，然后除以样本空间中的结果总数。例如，如果你抛出一角钱和一分钱，那么样本空间就是 $T =$ 尾巴和正面 $\{HH, TH, HT, TT\}$ $H =$ 的地方。样本空间有四个结果。 A = 得到一个头。有两个结果符合这个条件 $\{HT, TH\}$ ，所以 $P(A) = \frac{2}{4} = 0.5$ 。

假设你掷出一个漂亮的六面骰子，面 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 上有数字。让事件 $E =$ 滚动一个至少为五的数字。有两个结果 $\{5, 6\}$ 。 $P(E) = \frac{2}{6}$ 如果你只掷出几次骰子，那么如果你观察到的结果与概率不符，你也不会感到惊讶。如果你要大量掷骰子，你会预计，总的来说， $\frac{2}{6}$ 掷骰子会产生 “至少五个” 的结果。你没想到 $\frac{2}{6}$ 。随着重复次数的增加，获得该结果的 $\frac{2}{6}$ 长期相对频率将接近理论概率。

概率实验的这一重要特征被称为大数定律，它指出，随着实验重复次数的增加，实验中获得的相对频率往往越来越接近理论概率。尽管结果不是根据任何设定的模式或顺序发生的，但总体而言，长期观测到的相对频率将接近理论概率。（通常使用 “经验” 一词而不是 “观察” 一词。）

重要的是要认识到，在许多情况下，结果的可能性并不相同。硬币或骰子可能不公平，也可能是有偏见的。欧洲的两位数学教授让他们的统计系学生测试了比利时的一欧元硬币，他们发现在250次试验中，有56％的时间获得了头部，44％的时间获得了尾巴。数据似乎表明硬币不是公平的硬币；更多的重复将有助于就这种偏见得出更准确的结论。有些骰子可能有偏差。看看你在家玩的游戏中的骰子；每张脸上的斑点通常是雕刻出来的小洞，然后涂上油漆以使斑点可见。你的骰子可能有偏差，也可能没有偏差；由于面部洞数不同，结果可能会受到轻微重量差异的影响。赌博赌场赚很多钱取决于掷骰子的结果，因此赌场骰子的制作方式有所不同，以消除偏见。赌场骰子有平坦的表面；这些洞完全由油漆填充，其密度与骰子所用材料的密度相同，因此每个面出现的可能性相同。稍后我们将学习用于处理可能性不相同的事件的概率的技巧。

“ $\cup$ ” 活动：联盟

$A \cup B$ 如果结果在 A 中或者在 B 中或者同时在 A 和 B 中，则结果在事件中。例如，let an $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ d $B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$ 。 $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 。请注意，4 和 5 没有被列出两次。

“ $\cap$ ” 活动：十字路口

$A \cap B$ 如果结果同时在 A 和 B 中，则结果在事件中。例如，分别 $B$ 使用 let $A$ 和 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ b $\{4, 5, 6, 7, 8\}$ e 和。然后 $A \cap B = \{4, 5\}$ 。

事件 A 的补数表示为 A′（读作 “A 素数”）。 A′ 由不在 A 中的所有结果组成 $P(A) + P(A′) = 1$ 。请注意。例如，let $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 和 let $A = \{1, 2, 3, 4\}$ 。然后， $A′ = \{5, 6\}$ 。 $P(A) = \frac{4}{6}$ $P(A′) = \frac{2}{6}$ 、和 $P(A) + P(A′) = \frac{4}{6}+\frac{2}{6}=1$

写出 $A$ 给 $B$ 定条件概率 $P(A|B)$ 。 $P(A|B)$ 是指在事件 $A$ $B$ 已经发生的情况下该事件发生的概率。 条件会缩小样本空间。 我们从缩小的样本空间中计算 A 的概率 $B$ 。要计算的公式 $P(A|B)$ $P(B)$ 是 $P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 其中大于零。

例如，假设我们抛出一个公平的六面骰子。样本空间 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 。假设 $A =$ 脸是 2 或 3， $B =$ 脸是均匀的 $(2, 4, 6)$ 。为了进行计算 $P(A|B)$ ，我们计算样本空间中结果 2 或 3 的数量 $B = \{2, 4, 6\}$ 。然后我们将其除以结果的数量 $B$ （而不是 $S$ ）。

我们使用公式得到相同的结果。请记住，这 $S$ 有六个结果。

$P(A|B) = \frac{\frac{(\text { the number of outcomes that are } 2 \text { or } 3 \text { and even in } S)}{6}}{\frac{(\text { the number of outcomes that are even in } S)}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{3}$

赔率

事件的赔率以成功与失败的比率表示概率。这在各种赌博形式中很常见。从数学上讲，事件的赔率可以定义为：

$\frac{P(A)}{1-P(A)}\nonumber$

成功概率在哪里 $P(A)$ ，当然 $1 − P(A)$ 是失败的概率。赔率总是以 “分子到分母” 的形式引用，例如 2 比 1。这里获胜的概率是输的两倍；因此，获胜概率为0.66。获胜概率为0.60将产生有利于以3比2获胜的赔率。虽然在赌博场所计算赔率可能有助于确定赔率金额，但它对理解概率或统计理论没有帮助。

了解术语和符号

仔细阅读每个问题以思考和理解事件是什么，这一点很重要。理解措辞是解决概率问题的第一个非常重要的步骤。如有必要，请多次重读问题。明确识别感兴趣的事件。确定措辞中是否有表示概率是有条件的条件；仔细确定条件（如果有）。

解决方案 3.3

$P(M) = 0.52$
$P(F) = 0.48$
$P(R) = 0.87$
$P(L) = 0.13$
$P(M \cap R) = 0.43$
$P(F \cap L) = 0.04$
$P(M \cup F) = 1$
$P(M \cup R) = 0.96$
$P(F \cup L) = 0.57$
$P(M') = 0.48$
$P(R|M) = 0.8269$ （四舍五入到小数点后四位）
$P(F|L) = 0.3077$ （四舍五入到小数点后四位）
$P(L|F) = 0.0833$