2.5: 几何平均值

平均值（算术）、中位数和模态都是数据 “中心”，即 “平均值” 的度量。 他们都在用自己的方式试图测量数据中的 “共同” 点，即 “正常” 点。 如果是算术平均值，则通过找到所有点的线性距离相等的值来求解。 我们可以想象，所有数据值都通过加法合并，然后以相等的数量分配回每个数据点。 所有值的总和是以相等金额重新分配的金额，因此总和保持不变。

几何均值不是重新分配值的总和，而是将所有单个值相乘然后将它们重新分配成相等份的乘积，从而使总乘积保持不变。 这可以从几何平均值的公式中看出，\(\tilde{x}\):（发音为\(x\) -tilde）

\[\tilde{x}=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\nonumber\]

哪里\(\pi\)是另一个数学运算符，它告诉我们用大写希腊西格玛告诉我们将所有\(x_{i}\)数字相加的方式将所有\(x_{i}\)数字相乘。 请记住，分数指数调用数字的第 n 个根，因此 1/3 的指数是该数字的立方根。

几何均值回答了这样一个问题：“如果所有数量都有相同的值，那么要获得相同的乘积，该值必须是多少？” 几何均值之所以得名，是因为当以这种方式进行重新分布时，边形成一个几何形状，所有边的长度都相同。 要了解这一点，请以数字 10、51.2 和 8 为例。 几何平均值是将这三个数字相乘（4,096）并取立方根的乘积，因为这个乘积要分布在三个数字之间。 因此，这三个数字的几何平均值为 16。 这描述了一个体积为 4,096 个单位的立方体 16x16x16。

在《经济与金融》中，几何平均值与处理增长有关：市场的增长、投资、人口和其他变量的增长，涉及人们感兴趣的增长。 想象一下，我们的4,096个单位（可能是美元）的盒子是三年后的投资价值，而以百分比表示的投资回报是我们示例中的三个数字。 几何平均值将为我们提供问题的答案，平均回报率是多少：16％。 这三个数字的算术平均值为 23.6%。 之所以出现这种差异（16 和 23.6），是因为算术平均值是加法的，因此不考虑投资增长过程中嵌入的利息，即复利。 在了解年增长率的情况下询问人口平均增长率或销售额或市场渗透率等时，也会出现同样的问题。 几何平均收益率或任何其他增长率的公式为：

\[r_{s}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1\nonumber\]

操作几何平均值的公式还可以计算两个周期之间的平均增长率，只知道初始值 a0a0 和结束值 anan 以及周期数 nn。 以下公式提供了此信息：

\[\left(\frac{a_{n}}{a_{0}}\right)^{\frac{1}{n}}=\tilde{x}\nonumber\]

最后，我们注意到几何均值的公式要求所有数字均为正数，大于零。 当然，原因是负数的根未定义，无法在数学理论之外使用。 但是，有一些方法可以避免这个问题。 对于回报率和其他简单的增长问题，我们可以将负值转换为有意义的正等效值。 想象一下，过去三年的年回报率分别为+ 12％、-8％和+ 2％。 使用十进制乘数等价物 1.12、0.92 和 1.02，可以计算出 1.0167 的几何平均值。 从该值中减去 1 得出净人口增长率（或财务回报）的几何平均值 +1.67%。 从这个例子中我们可以看出，几何平均值为我们提供了以下公式，用于计算一系列年收益率的几何（平均）回报率：

\[r_{s}=\tilde{x}-1\nonumber\]

其中\(r_{s}\)是平均回报率，\(\tilde{x}\)是一定时间段内收益的几何平均值。 请注意，每个时间段的长度必须相同。

通常，应将百分比值转换为其十进制等效乘数。 重要的是要认识到，在处理百分比时，百分比值的几何平均值不等于十进制乘数等价物的几何平均值，相关的是十进制乘数等效几何平均值。